Logarytmy
Zadanie 10, zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony
Ciąg geometryczny \((a_{n})\) jest określony wzorem \(a_{n}=3^{1-n}\) dla \(n\geq 1\).
a) Oblicz iloraz tego ciągu.
b) Oblicz \(\log_{3}{a_{1}}+\log_{3}{a_{2}}+\log_{3}{a_{3}}+\ldots+\log_{3}{a_{100}}\), czyli sumę logarytmów, o podstawie \(3\), stu początkowych, kolejnych wyrazów tego ciągu.
Odpowiedź
a) \(q=\frac13\).
b) Suma stu logarytmów jest równa \(-4950\).
Rozwiązanie krok po kroku
**a)** Iloraz ciągu geometrycznego to stosunek wyrazu następnego do poprzedniego:
\[q=\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{3^{1-(n+1)}}{3^{1-n}}=3^{(1-n-1)-(1-n)}=3^{-1}=\frac13.\]
**b)** Z definicji logarytmu \(\log_3 3^{k}=k\), więc \(\log_3 a_n=1-n\). Szukana suma jest sumą stu początkowych wyrazów ciągu **arytmetycznego** \((1-n)\) o pierwszym wyrazie \(0\) i różnicy \(-1\):
\[S=\sum_{n=1}^{100}(1-n)=100-\left(1+2+\ldots+100\right)=100-\frac{100\cdot101}{2}=100-5050=-4950.\]
**Odpowiedź.** a) \(q=\frac13\). b) Suma jest równa \(-4950\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**10.1. (1 pkt)** – wyznaczenie wyrazu \(a_{n+1}\): \(a_{n+1}=3^{-n}\).
**10.2. (1 pkt)** – obliczenie ilorazu ciągu \((a_{n})\): \(q=3^{-1}\) lub \(q=\frac{1}{3}\).
Jeśli zdający od razu poda prawidłowo iloraz ciągu to otrzymuje również punkt w czynności 10.1
**10.3. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów: \(S_{100}=\log_{3}1+\log_{3}(3)^{-1}+\log_{3}3^{-2}+\ldots.+\log_{3}3^{-99}\).
**10.4. (1 pkt)** – zapisanie sumy logarytmów w postaci: \(S_{100}=\log_{3}3^{-(1+2+3+\ldots 99)}=\log_{3}3^{50\cdot(-99)}\).
**10.5. (1 pkt)** – obliczenie sumy stu początkowych wyrazów ciągu: \(S_{100}=-4950\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
