Zadanie 8 – matura z matematyki zestaw zadań marzec 2008 nr 2, poziom rozszerzony

\[V=144.\]

Oznaczmy przez \(a\) krawędź podstawy, a przez \(h\) wysokość graniastosłupa. Z rysunku odczytujemy, że \(A\) jest wierzchołkiem dolnej podstawy, a \(B\) i \(C\) to końce przekątnych dwóch sąsiednich ścian bocznych wychodzących z tego wierzchołka, leżące w górnej podstawie. Punkty \(B\) i \(C\) są wierzchołkami górnego sześciokąta oddalonymi od siebie o dwa boki, więc \[\lvert BC\rvert=a\sqrt3.\] Przekątne ścian bocznych są równe, więc trójkąt \(ABC\) jest równoramienny, a jego wysokość \(AM\) opuszczona na \(BC\) trafia w środek \(M\) odcinka \(BC\). Rzut \(M'\) punktu \(M\) na podstawę jest środkiem odpowiedniej przekątnej dolnego sześciokąta; odległość od \(A\) wynosi \(\lvert AM'\rvert=\frac a2\). Kąt nachylenia płaszczyzny przekroju do podstawy to \(\lvert\angle MAM'\rvert=\alpha\), zatem \[\operatorname{tg}60^{\circ}=\frac{h}{\frac a2},\qquad \sqrt3=\frac{2h}{a},\qquad h=\frac{a\sqrt3}{2}.\] Wysokość trójkąta \(ABC\): \[w=\lvert AM\rvert=\sqrt{\left(\tfrac a2\right)^2+h^2}=\sqrt{\tfrac{a^2}{4}+\tfrac{3a^2}{4}}=a.\] Pole przekroju: \[P_{ABC}=\tfrac12\cdot a\sqrt3\cdot a=\frac{a^2\sqrt3}{2}=8\sqrt3,\qquad a^2=16,\qquad a=4\] (bierzemy wartość dodatnią). Stąd \(h=2\sqrt3\). Pole sześciokąta foremnego o boku \(a\) wynosi \(\frac{3\sqrt3}{2}a^2\), więc \[P_p=\frac{3\sqrt3}{2}\cdot16=24\sqrt3,\qquad V=P_p\cdot h=24\sqrt3\cdot2\sqrt3=144.\] **Odpowiedź.** \(V=144\)

**1 pkt** – zaznaczenie na rysunku kąta \(\alpha\) między płaszczyzną przekroju a płaszczyzną podstawy i wprowadzenie oznaczeń. **2–3 pkt** – wyznaczenie \(\lvert BC\rvert=a\sqrt3\) oraz zależności \(h=\frac{a\sqrt3}{2}\). **4 pkt** – obliczenie \(a=4\) i \(h=2\sqrt3\) z pola przekroju. **5 pkt** – obliczenie objętości \(V=144\).

Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.