Ciąg geometryczny
Zadanie 17, sierpień 2024, poziom podstawowy
W ciągu geometrycznym \((a_n)\) dane są
\[a_2=2\qquad\text{oraz}\qquad a_5=54.\]
**Dokończ zdanie. Wybierz właściwą odpowiedź spośród podanych.**
Iloraz tego ciągu jest równy
**A.** \(3\)
**B.** \(9\)
**C.** \(\frac{52}{3}\)
**D.** \(27\)
Odpowiedź
**A.** \(3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** W ciągu geometrycznym każdy kolejny wyraz powstaje przez pomnożenie poprzedniego przez iloraz \(q\). Od \(a_2\) do \(a_5\) wykonujemy trzy takie mnożenia (\(a_2\to a_3\to a_4\to a_5\)), więc
\[a_5=a_2\cdot q^{3}.\]
Wykładnik to różnica numerów wyrazów: \(5-2=3\).
**Krok \(2\).** Podstawiamy dane \(a_2=2\) oraz \(a_5=54\):
\[54=2\cdot q^{3}.\]
**Krok \(3\).** Dzielimy obie strony przez \(2\):
\[q^{3}=27.\]
**Krok \(4\).** Szukamy liczby, której sześcian wynosi \(27\). Ponieważ \(3^{3}=27\) i jest to jedyny pierwiastek rzeczywisty stopnia nieparzystego, mamy
\[q=3.\]
**Krok \(5\).** Sprawdzenie: \(a_3=2\cdot3=6\), \(a_4=6\cdot3=18\), \(a_5=18\cdot3=54\). Zgadza się z danymi.
**Uwaga.** W ciągu geometrycznym wyrazy **mnożymy**, a nie dodajemy. Potraktowanie zadania jak ciągu arytmetycznego dałoby \(\frac{54-2}{3}=\frac{52}{3}\), czyli błędną odpowiedź C. Z kolei \(q^{3}\), a nie \(q^{2}\), bo między \(a_2\) i \(a_5\) są trzy kroki.
**Odpowiedź.** A: \(3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – odpowiedź poprawna: **A**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymagania szczegółowe:**
5.4) Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz ciągu geometrycznego.
