Ciąg geometryczny
Zadanie 35, sierpień 2021, poziom podstawowy
Dany jest ciąg \((a_n)\) określony wzorem
\[a_n=\frac{5-3n}{7}.\]
Trójka
\[(a_4,\ x^2+2,\ a_{11})\]
jest ciągiem geometrycznym. Oblicz \(x\) oraz iloraz \(q\) tego ciągu geometrycznego.
Odpowiedź
\[x=0,\qquad q=-2.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Obliczamy wskazane wyrazy ciągu:
\[a_4=\frac{5-3\cdot4}{7}=-1,\qquad a_{11}=\frac{5-3\cdot11}{7}=-4.\]
Liczby \(-1\), \(x^2+2\), \(-4\) są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego, więc kwadrat wyrazu środkowego jest iloczynem wyrazów skrajnych:
\[(x^2+2)^2=(-1)\cdot(-4)=4.\]
Ponieważ \(x^2+2\geq2\), otrzymujemy
\[x^2+2=2,\qquad x=0.\]
Trójka ma więc postać \((-1,2,-4)\), a jej iloraz wynosi
\[q=\frac2{-1}=-2.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i otrzymanie \(x=0\) oraz \(q=-2\)
**4 pkt** – rozwiązanie równania \((x^2+2)^2=4\) i otrzymanie \(x=0\) albo poprawne rozpatrzenie możliwych ilorazów z odrzuceniem \(q=2\)
**3 pkt** – zapisanie równania \((x^2+2)^2=(-1)(-4)\) albo równania \((-1)q^2=-4\)
**2 pkt** – obliczenie \(a_4=-1\) oraz \(a_{11}=-4\)
**1 pkt** – obliczenie jednego z wyrazów \(a_4\), \(a_{11}\) albo zapisanie własności \((x^2+2)^2=a_4a_{11}\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.1 i 5.4 wyznaczanie wyrazów ciągu danego wzorem oraz stosowanie własności ciągu geometrycznego i jego ilorazu.
