Równania i nierówności
Zadanie 11, maj 2007, poziom podstawowy
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \((a_n)\) dla \(n\geqslant1\), w którym \(a_1=x\), \(a_2=14\), \(a_3=y\). Oblicz \(x\) oraz \(y\), jeżeli wiadomo, że \(x+y=35\).
Odpowiedź
\(x=7\) oraz \(y=28\).
Rozwiązanie krok po kroku
Ciąg \((a_n)\) jest geometryczny, więc kwadrat wyrazu środkowego równa się
iloczynowi wyrazów sąsiednich:
\[a_2^{2}=a_1\cdot a_3,\qquad 14^{2}=x\cdot y,\qquad xy=196.\]
Razem z warunkiem \(x+y=35\) daje to układ
\[\begin{cases}x+y=35,\\xy=196.\end{cases}\]
Liczby \(x\) i \(y\) są więc pierwiastkami równania
\[t^{2}-35t+196=0.\]
Wyróżnik \(\Delta=1225-784=441\), \(\sqrt{\Delta}=21\), więc
\[t=\frac{35-21}{2}=7\qquad\text{lub}\qquad t=\frac{35+21}{2}=28.\]
Ciąg jest rosnący, więc \(a_1<a_2\), czyli \(x<14\). Stąd \(x=7\) i \(y=28\).
Sprawdzenie: ciąg \((7,14,28)\) jest geometryczny o ilorazie \(2>1\), więc rosnący,
a \(7+28=35\).
**Odpowiedź.** \(x=7\), \(y=28\).
Klucz i zasady oceniania
*CKE opublikowała przy tym zadaniu przykładowe rozwiązanie, bez rozpisania punktów na poszczególne kroki. Poniżej tok rozwiązania z arkusza; podziału punktacji nie dopisujemy, bo nie ma go w źródle.*
**Zadanie 11.** (\(4\) pkt)
Dany jest rosnący ciąg geometryczny \((a_{n})\) dla \(n\ge 1\), w którym \(a_{1}=x\), \(a_{2}=14\), \(a_{3}=y\). Oblicz \(x\) oraz \(y\), jeżeli wiadomo, że \(x+y=35\).
Wykorzystuję własności ciągu geometrycznego do zapisania układu równań uwzględniającego warunki zadania: \(\begin{cases}x+y=35\\ x\cdot y=14^{2}\end{cases}\)
Doprowadzam układ równań do równania postaci: \(x^{2}-35x+196=0\).
Rozwiązaniem równania są liczby: \(x_{1}=7\), \(x_{2}=28\).
Wyznaczam pary liczb, które są rozwiązaniem układu równań: \(\begin{cases}x_{1}=7\\ y_{1}=28\end{cases}\) oraz \(\begin{cases}x_{2}=28\\ y_{2}=7\end{cases}\).
Rosnący ciąg geometryczny otrzymamy, gdy \(x=7\), \(y=28\).
Wymagania podstawy programowej
Formuła 2005: klucz CKE nie wyodrębnia wymagania szczegółowego przy tym zadaniu; dziedzina jest przypisana na podstawie treści zadania i modelu odpowiedzi.
