Liczby rzeczywiste
Zadanie 36, zadania dostosowane dla niesłyszących z informatora 2015, poziom podstawowy
W ciągu arytmetycznym \((a_n)\) dane są wyrazy: \(a_3=4\), \(a_6=19\). Ile wyrazów tego ciągu należy do przedziału \((0,200)\)?
Odpowiedź
Do przedziału \((0,200)\) należy \(40\) wyrazów ciągu.
Rozwiązanie krok po kroku
Dla ciągu arytmetycznego
\[a_3=a_1+2r=4,\qquad a_6=a_1+5r=19.\]
Po odjęciu równań otrzymujemy \(3r=15\), więc \(r=5\), a następnie \(a_1=-6\). Stąd
\[a_n=-6+5(n-1)=5n-11.\]
Warunek \(a_n\in(0,200)\) ma postać
\[0<5n-11<200,\]
czyli
\[\frac{11}{5}<n<\frac{211}{5}.\]
Naturalne indeksy spełniające ten warunek to \(n=3,4,\ldots,42\). Ich liczba wynosi
\[42-3+1=40.\]
Klucz i zasady oceniania
**Informator CKE podaje rozwiązanie wzorcowe bez osobnej tabeli punktacji: 4 pkt** – poprawna liczba \(40\) z pełnym rozwiązaniem nierówności dla indeksów
**3 pkt** – poprawny wzór \(a_n=5n-11\) i poprawny zakres indeksów z drobną usterką końcową
**2 pkt** – wyznaczenie \(r=5\) i \(a_1=-6\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie równań dla \(a_3\) i \(a_6\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu albo rozwiązanie błędne
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Modelowanie matematyczne. Zdający dobiera model matematyczny do prostej sytuacji i krytycznie ocenia trafność modelu.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3. Zdający stosuje wzór na \(n\)-ty wyraz i na sumę \(n\) początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego.
