Ciąg arytmetyczny
Zadanie 34, maj 2015, poziom podstawowy
W nieskończonym ciągu arytmetycznym \((a_n)\), określonym dla \(n\geq1\), suma jedenastu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa \(187\). Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i dziewiątego wyrazu tego ciągu jest równa \(12\). Wyrazy \(a_1,a_3,a_k\) ciągu \((a_n)\), w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg, trzywyrazowy ciąg geometryczny \((b_n)\). Oblicz \(k\).
Odpowiedź
\[k=11.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(r\) będzie różnicą ciągu. Ze wzoru na sumę
\[S_{11}=\frac{11}{2}(2a_1+10r)=11(a_1+5r)=187,\]
więc \(a_1+5r=17\). Warunek średniej daje
\[\frac{a_1+a_3+a_9}{3}=a_1+\frac{10}{3}r=12.\]
Rozwiązanie układu to \(r=3\), \(a_1=2\), zatem \(a_3=8\) i \(a_k=2+3(k-1)\). Ponieważ \(a_1,a_3,a_k\) tworzą ciąg geometryczny,
\[a_3^2=a_1a_k.\]
Stąd \(64=2[2+3(k-1)]\), czyli \(32=3k-1\) i \(k=11\).
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wykorzystanie warunku \(S_{11}=187\)
**2 pkt** – zapisanie równania wynikającego ze średniej wyrazów \(a_1,a_3,a_9\)
**3 pkt** – wyznaczenie \(a_1=2\) i \(r=3\)
**4 pkt** – zastosowanie warunku \(a_3^2=a_1a_k\)
**5 pkt** – obliczenie \(k=11\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. użycie i tworzenie strategii.
**Wymagania szczegółowe:**
5.3 i 5.4 zdający stosuje wzory dla ciągu arytmetycznego i geometrycznego.
