Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 27, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Góra ma kształt stożka o kącie rozwarcia \(\alpha\). Tomek i Marek rozpoczynają wyprawę w punkcie \(P\), położonym dokładnie na północ od szczytu \(S\), na wysokości \(H_0\) metrów n.p.m. Chcą dojść do bazy \(B\), położonej dokładnie na południe od szczytu, na wysokości \(H_1\) metrów n.p.m. Szczyt leży na wysokości \(H_2\) metrów n.p.m. (zobacz rysunek).
Oblicz długość najkrótszej drogi, jaką muszą pokonać, aby dojść do bazy. Zapisz obliczenia.
**Wskazówka.** Powierzchnia boczna stożka po rozcięciu wzdłuż tworzącej i rozłożeniu jest wycinkiem koła. Najkrótsza droga do bazy jest równa najkrótszej drodze z punktu \(P\) do \(B\) na tym wycinku.
Odpowiedź
\[d=\frac{\sqrt{(H_2-H_0)^2+(H_2-H_1)^2-2(H_2-H_0)(H_2-H_1)\cos\left(\pi\sin\frac\alpha2\right)}}{\cos\frac\alpha2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Po rozwinięciu powierzchni bocznej stożka najkrótsza droga jest odcinkiem \(PB\). Jeżeli \(l\) i \(r\) oznaczają tworzącą i promień podstawy, to kąt wycinka wynosi \(2\pi\frac rl\), a ponieważ punkty leżą po przeciwnych stronach stożka,
\[\angle BSP=\pi\frac rl=\pi\sin\frac\alpha2.\]
W przekroju osiowym
\[|PS|=\frac{H_2-H_0}{\cos\frac\alpha2},\qquad |BS|=\frac{H_2-H_1}{\cos\frac\alpha2}.\]
Po zastosowaniu twierdzenia cosinusów w trójkącie \(BSP\) otrzymujemy podany wzór na \(d=|PB|\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – poprawna metoda i końcowy wzór.
**3 pkt** – kąt \(BSP\) na siatce oraz długości \(BS\) i \(PS\).
**2 pkt** – kąt \(BSP\) albo długości \(BS\), \(PS\).
**1 pkt** – zapisanie, że najkrótsza droga to odcinek \(PB\) na siatce stożka.
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu.
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VII. Trygonometria.
1R) Zdający stosuje miarę łukową […].
VIII. Planimetria.
2) Zdający […] stosuje twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa i twierdzenie cosinusów […];
6) Zdający stosuje wzory na pole wycinka koła i długość łuku okręgu.
