Ciągi
Zadanie 26, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Dany jest trapez prostokątny \(ABCD\) o kątach prostych przy wierzchołkach \(A\) i \(D\). Ramię \(BC\) ma długość \(5\). W trapez wpisano okrąg o środku \(S\) i promieniu \(2\). Punkt \(P\) jest punktem styczności okręgu i dłuższej podstawy \(AB\) (zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąty \(BPS\) i \(BSC\) są podobne, oraz oblicz skalę tego podobieństwa. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[\triangle BPS\sim\triangle BSC,\qquad k=\frac{\sqrt5}{2}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokość trapezu jest równa średnicy okręgu, czyli \(4\). Po opuszczeniu z \(C\) prostopadłej \(CG\) na \(AB\), w trójkącie \(BGC\) mamy
\[|BG|=\sqrt{5^2-4^2}=3.\]
Z własności odcinków stycznych i czworokąta opisanego na okręgu otrzymujemy \(|FC|=1\), a więc \(|PB|=4\). Ponieważ \(|PS|=2\),
\[|BS|=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt5.\]
Dalej \(|CS|=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt5\). Zatem boki trójkąta \(BPS\) mają długości \(4,2,2\sqrt5\), a odpowiadające im boki trójkąta \(BSC\) mają długości \(2\sqrt5,\sqrt5,5\). Zachodzi
\[\frac{|BC|}{|BS|}=\frac{|CS|}{|PS|}=\frac{|BS|}{|BP|}=\frac{\sqrt5}{2}.\]
Na mocy cechy bok-bok-bok trójkąty są podobne, a skala podobieństwa trójkąta \(BSC\) do \(BPS\) wynosi \(k=\frac{\sqrt5}{2}\).
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – obliczenie skali podobieństwa
**4 pkt** – obliczenie długości odpowiedniego odcinka stycznej albo wskazanie skali na podstawie obliczonych stosunków
**3 pkt** – uzasadnienie podobieństwa trójkątów \(BPS\) i \(BSC\)
**2 pkt** – uzasadnienie, że \(\angle BSC=90^\circ\), albo obliczenie długości boków obu trójkątów
**1 pkt** – uzasadnienie równości odpowiednich kątów albo obliczenie boków trójkąta \(BPS\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.11) Zdający przeprowadza dowody geometryczne.
VIII.1 R) Stosuje własności czworokątów opisanych na okręgu.
