Stereometria
Zadanie 27, czerwiec 2026, poziom podstawowy
Odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) jest średnicą podstawy walca. Odcinek \(BD\) ma długość \(4\sqrt{3}\). Miara kąta \(ABD\) jest równa \(30^{\circ}\) (zobacz rysunek).
Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego walca. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
W trójkącie prostokątnym \(ABD\) mamy \(AD=4\sqrt{3}\sin30^{\circ}=2\sqrt{3}\) oraz \(AB=4\sqrt{3}\cos30^{\circ}=6\), więc promień podstawy jest równy \(r=3\). Objętość walca wynosi \(V=\pi r^{2}AD=18\sqrt{3}\pi\), a pole powierzchni całkowitej \(P_c=2\pi r^{2}+2\pi r\cdot AD=18\pi+12\sqrt{3}\pi=6\pi(3+2\sqrt{3})\).
Rozwiązanie krok po kroku
Z rysunku odczytujemy, że odcinek \(AD\) jest wysokością walca, a odcinek \(AB\) — średnicą podstawy. Wysokość jest prostopadła do płaszczyzny podstawy, więc trójkąt \(ABD\) ma kąt prosty przy wierzchołku \(A\), a \(BD\) jest jego przeciwprostokątną.
Z definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym
\[|AD|=|BD|\sin30^{\circ}=4\sqrt3\cdot\frac12=2\sqrt3,\qquad|AB|=|BD|\cos30^{\circ}=4\sqrt3\cdot\frac{\sqrt3}2=6.\]
Odcinek \(AB\) jest średnicą, więc promień podstawy wynosi \(r=3\), a wysokość walca \(H=2\sqrt3\).
Objętość walca:
\[V=\pi r^{2}H=\pi\cdot9\cdot2\sqrt3=18\sqrt3\,\pi.\]
Pole powierzchni całkowitej:
\[P_c=2\pi r^{2}+2\pi rH=18\pi+2\pi\cdot3\cdot2\sqrt3=18\pi+12\sqrt3\,\pi=6\pi\left(3+2\sqrt3\right).\]
**Odpowiedź.** \(V=18\sqrt3\,\pi\) oraz \(P_c=18\pi+12\sqrt3\,\pi\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wyznaczenie \(r=3\) albo \(H=2\sqrt3\), ewentualnie zapisanie układu zależności trygonometrycznych
**2 pkt** – wyznaczenie \(r=3\) i \(H=2\sqrt3\)
**3 pkt** – poprawne obliczenie objętości \(18\sqrt3\,\pi\) albo pola całkowitego \(18\pi+12\sqrt3\,\pi\)
**4 pkt** – poprawne obliczenie obu wielkości
Wymagania podstawy programowej
IV. Rozumowanie i argumentacja. X.4) i X.5) Zdający rozpoznaje kąty w walcu oraz oblicza objętość i pole powierzchni walca z wykorzystaniem trygonometrii.
