Rachunek prawdopodobieństwa
Zadanie 28, zbiór zadań z informatora 2025, poziom rozszerzony
Niech \(n\) będzie ustaloną dodatnią liczbą naturalną. Ze zbioru
\[\mathbb{M}=\{1,2,3,\ldots,3n+1\}\]
losujemy jednocześnie trzy liczby. Zdarzenie \(A\) polega na wylosowaniu trzech liczb, których suma przy dzieleniu przez \(3\) daje resztę \(1\).
Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia \(A\). Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\[P(A)=\frac{3n^2-1}{(3n+1)(3n-1)}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
W zbiorze \(\mathbb{M}\) jest \(n\) liczb dających resztę \(0\), \(n+1\) liczb dających resztę \(1\) oraz \(n\) liczb dających resztę \(2\) modulo \(3\). Suma trzech reszt jest równa \(1\) modulo \(3\) w przypadkach \((0,0,1)\), \((1,1,2)\) i \((2,2,0)\). Zatem
\[|A|=\binom n2\binom{n+1}1+\binom{n+1}2\binom n1+\binom n2\binom n1=\frac{n(3n^2-1)}2.\]
Wszystkich wyników jest
\[\binom{3n+1}{3}=\frac{(3n+1)n(3n-1)}2.\]
Stąd
\[P(A)=\frac{|A|}{\binom{3n+1}{3}}=\frac{3n^2-1}{(3n+1)(3n-1)}.\]
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik
**3 pkt** – rozpatrzenie wszystkich trzech możliwych układów reszt i poprawne zapisanie \(|A|\)
**2 pkt** – rozpatrzenie dwóch z trzech możliwych przypadków
**1 pkt** – wyznaczenie liczby wszystkich trójelementowych podzbiorów \(\mathbb{M}\)
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych.
**Wymagania szczegółowe:**
XI.1 R) Zdający liczy sytuacje z użyciem reguł dodawania i mnożenia oraz kombinacji.
XI.2 R) Stosuje symbol Newtona i jego własności.
XII.1) Oblicza prawdopodobieństwo w modelu klasycznym.
