Funkcje
Zadanie 45.2, zbiór zadań z informatora 2023, poziom podstawowy
**Informacja do zadań \(45\).\(1\).–\(45\).\(2\).**
Hania zaprojektowała i wykonała czapeczkę na bal urodzinowy młodszego brata. Czapeczka miała kształt powierzchni bocznej stożka o średnicy podstawy \(d=20\,\mathrm{cm}\), wysokości \(H=25\,\mathrm{cm}\) i tworzącej \(l\). Żeby wykonać czapeczkę, Hania najpierw narysowała na kartonie figurę płaską \(ABS\) o kształcie wycinka koła o promieniu \(l\) i środku \(S\). Następnie wycięła tę figurę z kartonu, odpowiednio ją wymodelowała i skleiła odcinek \(SB\) z odcinkiem \(SA\). Do obliczeń przyjmij, że rzeczywiste figury są idealne.
**Zadanie \(45\).\(2\).**
**Oblicz miarę kąta \(\angle BSA\) wycinka koła, z którego powstała powierzchnia boczna stożka opisanego we wstępie do zadania. Miarę kąta \(\angle BSA\) podaj w zaokrągleniu do jednego stopnia.**
Odpowiedź
\[|\angle BSA|\approx134^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Promień podstawy stożka wynosi \(r=10\,\mathrm{cm}\). Z twierdzenia Pitagorasa tworząca ma długość
\[l=\sqrt{H^2+r^2}=\sqrt{25^2+10^2}=5\sqrt{29}.\]
Łuk \(AB\) wycinka po sklejeniu staje się okręgiem podstawy stożka. Jeśli \(\alpha=|\angle BSA|\), to
\[\frac{\alpha}{360^\circ}\cdot2\pi l=2\pi r.\]
Zatem
\[\alpha=\frac rl\cdot360^\circ=\frac{10}{5\sqrt{29}}\cdot360^\circ\approx133{,}7^\circ.\]
Po zaokrągleniu \(\alpha\approx134^\circ\).
Klucz i zasady oceniania
**3 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|\angle BSA|\approx134^\circ\)
**2 pkt** – wyprowadzenie \(\alpha=\frac rl\cdot360^\circ\) oraz równanie \(l^2=r^2+H^2\)
**1 pkt** – zapisanie równania długości łuku \(\frac{\alpha}{360^\circ}2\pi l=2\pi r\) albo równoważnego równania pól
**0 pkt** – niepoprawna metoda albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
II.1 i III.2 interpretowanie informacji oraz tworzenie modelu matematycznego.
**Wymagania szczegółowe:**
VIII.6 i X.6 długość łuku i pole wycinka koła oraz pola powierzchni stożka z wykorzystaniem poznanych twierdzeń.
