Stereometria
Zadanie 23, sierpień 2012, poziom podstawowy
Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Objętość tego stożka wyraża się wzorem
**A.** \(\frac{\sqrt3}{6}\pi a^3\)
**B.** \(\frac{\sqrt3}{8}\pi a^3\)
**C.** \(\frac{\sqrt3}{12}\pi a^3\)
**D.** \(\frac{\sqrt3}{24}\pi a^3\)
Odpowiedź
**D.** \(\frac{\sqrt3}{24}\pi a^3\)
Rozwiązanie krok po kroku
Przekrój osiowy jest trójkątem równobocznym o boku \(a\). Jego podstawa to średnica podstawy stożka, a wysokość — wysokość stożka:
\[r=\frac a2,\qquad H=\frac{a\sqrt3}2.\]
Objętość:
\[V=\frac13\pi\left(\frac a2\right)^{2}\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac13\pi\cdot\frac{a^{2}}4\cdot\frac{a\sqrt3}2=\frac{\sqrt3}{24}\pi a^{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=\frac{\sqrt3}{24}\pi a^{3}\), czyli wariant **D**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **D**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:** zdający wyznacza związki miarowe w bryłach obrotowych; na podstawie danych przekroju osiowego stożka oblicza jego objętość.
