Stereometria
Zadanie 26, próbna grudzień 2024, poziom podstawowy
Objętość stożka o wysokości \(2\) jest równa \(8\pi\).
**Oblicz miarę kąta rozwarcia tego stożka. Zapisz obliczenia.**
Odpowiedź
\[120^\circ.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Ze wzoru na objętość stożka
\[V=\frac13\pi r^2H\]
otrzymujemy
\[8\pi=\frac13\pi r^2\cdot2.\]
Stąd
\[r^2=12,\qquad r=2\sqrt3.\]
Niech \(\alpha\) oznacza połowę kąta rozwarcia stożka. W przekroju osiowym
\[\tan\alpha=\frac{r}{H}=\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3,\]
więc \(\alpha=60^\circ\). Kąt rozwarcia ma zatem miarę
\[2\alpha=120^\circ.\]
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – zastosowanie poprawnej metody i poprawny wynik \(120^\circ\)
**1 pkt** – obliczenie kwadratu promienia podstawy stożka \(r^2=12\)
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja. 4. Stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
X.4) Zdający rozpoznaje w stożkach kąt rozwarcia i oblicza jego miarę.
X.5) Zdający oblicza objętość stożka.
