Stereometria
Zadanie 12.1, maj 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie stożki, których wysokość jest większa od \(5\), a odległość środka podstawy od tworzącej jest równa \(5\).
Wykaż, że objętość \(V\) stożka, jako funkcja wysokości \(h\) stożka, wyraża się wzorem
\[V(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\]
Odpowiedź
Jeżeli \(r\) jest promieniem podstawy, to z pola przekroju osiowego mamy \(rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}\). Po podniesieniu do kwadratu otrzymujemy \(r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25}\). Zatem \(V(h)=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}\).
Rozwiązanie krok po kroku
Rozpatrzmy przekrój osiowy stożka: trójkąt równoramienny o podstawie \(2r\) i wysokości \(h\). Odległość środka podstawy od tworzącej jest wysokością trójkąta prostokątnego o przyprostokątnych \(r\), \(h\) i przeciwprostokątnej \(l=\sqrt{r^{2}+h^{2}}\).
Porównując dwa wyrażenia na pole tego trójkąta, otrzymujemy
\[\frac12rh=\frac12\cdot5\cdot\sqrt{r^{2}+h^{2}}\quad\Longrightarrow\quad rh=5\sqrt{r^{2}+h^{2}}.\]
Po podniesieniu do kwadratu
\[r^{2}h^{2}=25r^{2}+25h^{2}\quad\Longrightarrow\quad r^{2}\left(h^{2}-25\right)=25h^{2}\quad\Longrightarrow\quad r^{2}=\frac{25h^{2}}{h^{2}-25},\]
co jest poprawne, bo z założenia \(h>5\), więc \(h^{2}-25>0\).
Podstawiając do wzoru na objętość:
\[V(h)=\frac13\pi r^{2}h=\frac{\pi}3\cdot\frac{25h^{3}}{h^{2}-25}.\]
**Odpowiedź.** Wzór jest udowodniony dla każdego \(h>5\).
Klucz i zasady oceniania
**2 pkt** – poprawne przekształcenia i przeprowadzenie pełnego rozumowania.
**1 pkt** – zapisanie związku między promieniem podstawy stożka a wysokością stożka, np. \(\tfrac{1}{2}rh=\tfrac{1}{2}\cdot5\cdot\sqrt{h^2+r^2}\), \(\left(\tfrac{5}{r}\right)^2+\left(\tfrac{5}{h}\right)^2=1\), \(\tfrac{r}{5}=\tfrac{h}{\sqrt{h^2-25}}\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - przeprowadzanie rozumowań, także kilkuetapowych, podawanie argumentów uzasadniających poprawność rozumowania, odróżnianie dowodu od przykładu.
**Wymagania szczegółowe:**
X.5) Zdający oblicza objętości […] stożka […].
