Zadanie 11 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Warunek dwóch różnych miejsc zerowych daje \(m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\). Warunek jednakowych znaków prowadzi do \(m\in(-8,2)\), a nierówność \((x_1-x_2)^{2}\leq180\) do \(m\in(-\infty,\frac{3}{2}]\cup[\frac{13}{4},+\infty)\). Część wspólna to \(m\in(-8,-3)\cup(1,\frac{3}{2}]\).

**Krok \(1\).** Metoda: zapisujemy trzy niezależne warunki — dwa różne miejsca zerowe (\(\Delta\gt 0\)), ten sam znak miejsc zerowych (\(x_{1}x_{2}\gt 0\)) oraz \((x_{1}-x_{2})^{2}\leqslant 180\). Dwa ostatnie przekładamy na parametr \(m\) wzorami Viète’a, a na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Obliczamy wyróżnik trójmianu \((2-m)x^{2}-2(2m+1)x+m+8\): \[\Delta=\left[-2(2m+1)\right]^{2}-4(2-m)(m+8)=4\left(4m^{2}+4m+1\right)-4\left(-m^{2}-6m+16\right),\] \[\Delta=16m^{2}+16m+4+4m^{2}+24m-64=20m^{2}+40m-60=20(m+3)(m-1).\] **Krok \(3\).** Rozwiązujemy warunek \(\Delta\gt 0\): \[20(m+3)(m-1)\gt 0\iff m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty).\] **Krok \(4\).** Miejsca zerowe mają ten sam znak dokładnie wtedy, gdy ich iloczyn jest dodatni. Ze wzoru Viète’a \(x_{1}x_{2}=\frac{m+8}{2-m}\), więc \[\frac{m+8}{2-m}\gt 0\iff (m+8)(2-m)\gt 0\iff m\in(-8,2).\] **Krok \(5\).** Przekształcamy trzeci warunek tak, by dało się użyć wzorów Viète’a: \[(x_{1}-x_{2})^{2}=(x_{1}+x_{2})^{2}-4x_{1}x_{2}=\frac{\Delta}{a^{2}}=\frac{20(m+3)(m-1)}{(2-m)^{2}}.\] **Krok \(6\).** Zapisujemy nierówność \((x_{1}-x_{2})^{2}\leqslant 180\) i mnożymy obie strony przez \((2-m)^{2}\gt 0\) (znak nierówności się nie zmienia, bo \(m\neq 2\)): \[20\left(m^{2}+2m-3\right)\leqslant 180(m-2)^{2},\] \[m^{2}+2m-3\leqslant 9m^{2}-36m+36,\] \[0\leqslant 8m^{2}-38m+39.\] **Krok \(7\).** Rozwiązujemy tę nierówność kwadratową: \[\Delta=(-38)^{2}-4\cdot 8\cdot 39=1444-1248=196,\qquad\sqrt{\Delta}=14,\] \[m=\frac{38-14}{16}=\frac{3}{2}\qquad\text{lub}\qquad m=\frac{38+14}{16}=\frac{13}{4},\] a ponieważ współczynnik przy \(m^{2}\) jest dodatni, \[m\in\left(-\infty,\ \frac{3}{2}\right\rangle\cup\left\langle\frac{13}{4},\ +\infty\right).\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy część wspólną wszystkich warunków (pamiętając o \(m\neq 2\)): \[\left[(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\right]\cap(-8,2)\cap\left[\left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right\rangle\cup\left\langle\tfrac{13}{4},+\infty\right)\right]=(-8,-3)\cup\left(1,\ \frac{3}{2}\right\rangle.\] **Uwaga.** Warunek „dokładnie dwa miejsca zerowe” to \(\Delta\gt 0\), a nie \(\Delta\geqslant 0\). Warto też zauważyć, że przedział \(\left\langle\frac{13}{4},+\infty\right)\) zostaje w całości odcięty przez warunek \(m\in(-8,2)\). **Odpowiedź.** \(m\in(-8,-3)\cup\left(1,\frac{3}{2}\right\rangle\).

Rozwiązanie zadania składa się z czterech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności \(\Delta>0\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwaga. Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\geq0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje 0 punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których miejsca zerowe funkcji \(f\) są tego samego znaku. Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – zapisanie i poprawne rozwiązanie nierówności \(\frac{m+8}{2-m}>0\): \(m\in(-8,2)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \((x_1-x_2)^2\leq180\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za trzeci etap rozwiązania: **3 pkt** – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\) równoważnej warunkowi \((x_1-x_2)^2\leq180\): \(m\in\left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right]\cup\left[\tfrac{13}{4},+\infty\right)\). **2 pkt** – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\) równoważnej warunkowi \((x_1-x_2)^2\leq180\), np. \(\left[\frac{2(2m+1)}{2-m}\right]^2-4\cdot\frac{m+8}{2-m}\leq180\) **1 pkt** – przekształcenie nierówności \((x_1-x_2)^2\leq180\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \((x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq180\) ALBO – przekształcenie nierówności \((x_1-x_2)^2\leq180\) do postaci \(\frac{\Delta}{a^2}\leq180\) (lub \(\frac{b^2-4ac}{a^2}\leq180\)). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Czwarty etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki: \(m\neq2\) oraz \(m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\) oraz \(m\in(-8,2)\) oraz \(m\in\left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right]\cup\left[\tfrac{13}{4},+\infty\right)\): \(m\in(-8,-3)\cup\left(1,\tfrac{3}{2}\right]\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(m\neq2\) oraz \(m\in(-\infty,-3)\cup(1,+\infty)\) oraz \(m\in(-8,2)\) oraz \(m\in\left(-\infty,\tfrac{3}{2}\right]\cup\left[\tfrac{13}{4},+\infty\right)\): \(m\in(-8,-3)\cup\left(1,\tfrac{3}{2}\right]\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Uwagi: 1. Jeżeli zdający w którymś z etapów I–III popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, to za IV etap otrzymuje 0 punktów. 2. Jeżeli zdający w etapach I–III nie popełni błędów innych niż rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I–III i warunku \(m\neq2\), to za IV etap otrzymuje 1 punkt; natomiast jeżeli otrzyma zbiory rozwiązań, które są rozłączne lub co najmniej jeden z nich jest zbiorem liczb rzeczywistych, to za IV etap otrzymuje 0 punktów. 3. Jeżeli zdający w III etapie rozwiązania popełni błąd – przyjmie, że \(x_1+x_2=\pm\frac{m+8}{2-m}\) lub \(x_1\cdot x_2=\pm\frac{2(2m+1)}{2-m}\), lub \(x_1+x_2=\pm\frac{b}{2a}\), to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za przekształcenie nierówności \((x_1-x_2)^2\leq180\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów. 4. Jeżeli zdający wprowadza dodatkowe założenie, które nie wynika z warunków zadania (np. \(x_1+x_2>0\)), to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 5 punktów (co najwyżej 1 punkt za I etap, co najwyżej 1 punkt za II etap i co najwyżej 3 punkty za III etap). 5. Jeżeli zdający podczas przekształcania nierówności \((x_1-x_2)^2\leq180\) do postaci pozwalającej na zastosowanie wzorów Viète’a popełni błąd, który nie jest błędem rachunkowym, ale otrzyma nierówność postaci \((x_1+x_2)^2+k\cdot x_1\cdot x_2\leq180\), gdzie \(k\neq-4\), to za III etap może otrzymać co najwyżej 2 punkty (1 punkt za poprawne zastosowanie wzorów Viète’a oraz 1 punkt za konsekwentne rozwiązanie nierówności do końca), a za IV etap otrzymuje 0 punktów.

**Wymagania ogólne:** III. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji - dobieranie i tworzenie modeli matematycznych przy rozwiązywaniu problemów praktycznych i teoretycznych; tworzenie pomocniczych obiektów matematycznych na podstawie istniejących, w celu przeprowadzenia argumentacji lub rozwiązania problemu. **Wymagania szczegółowe:** III.R3) Zdający stosuje wzory Viète’a dla równań kwadratowych; III.R5) Zdający analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami […].