Zadanie 12.2 – matura z matematyki maj 2025, poziom rozszerzony

Pochodna funkcji \(V\) ma znak wyrażenia \(h^{2}-75\), więc funkcja maleje na \((5,5\sqrt{3})\) i rośnie na \((5\sqrt{3},+\infty)\). Minimum występuje dla \(h=5\sqrt{3}\), a jego wartość wynosi \(V_{\min}=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\).

**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości najmniejszej funkcji różniczkowalnej na przedziale otwartym, więc wyznaczamy pochodną (ze wzoru na pochodną ilorazu) i badamy jej znak. **Krok \(2\).** Zapisujemy wzór w wygodniejszej postaci, wyłączając stałą: \[V(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{3}}{h^{2}-25},\qquad h\in(5,+\infty).\] **Krok \(3\).** Różniczkujemy iloraz: \[\left(\frac{h^{3}}{h^{2}-25}\right)'=\frac{3h^{2}\left(h^{2}-25\right)-h^{3}\cdot 2h}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{4}-75h^{2}}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}=\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] Zatem \[V'(h)=\frac{25\pi}{3}\cdot\frac{h^{2}\left(h^{2}-75\right)}{\left(h^{2}-25\right)^{2}}.\] **Krok \(4\).** Dla \(h\gt 5\) czynniki \(\frac{25\pi}{3}\), \(h^{2}\) i \(\left(h^{2}-25\right)^{2}\) są dodatnie, więc znak pochodnej jest taki sam jak znak wyrażenia \(h^{2}-75\). **Krok \(5\).** Miejsca zerowe pochodnej: \(h^{2}=75\), czyli \(h=5\sqrt{3}\) (wartość \(-5\sqrt{3}\) nie należy do dziedziny, a \(h=0\) również nie). **Krok \(6\).** Znak: \(V'(h)\lt 0\) dla \(h\in\left(5,5\sqrt{3}\right)\) oraz \(V'(h)\gt 0\) dla \(h\in\left(5\sqrt{3},+\infty\right)\). Funkcja \(V\) maleje, a potem rośnie, więc w \(h=5\sqrt{3}\) osiąga minimum, a ponieważ jest to jedyne ekstremum, jest to zarazem wartość najmniejsza na całej dziedzinie. **Krok \(7\).** Obliczamy tę wartość. Mamy \(\left(5\sqrt{3}\right)^{3}=375\sqrt{3}\) oraz \(\left(5\sqrt{3}\right)^{2}-25=50\), więc \[V\left(5\sqrt{3}\right)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{25\cdot 375\sqrt{3}}{50}=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{9375\sqrt{3}}{50}=\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}.\] **Uwaga.** Dziedzina jest przedziałem otwartym, więc nie można powołać się na twierdzenie o wartościach największej i najmniejszej na przedziale domkniętym — uzasadnieniem musi być zmiana znaku pochodnej (funkcja dąży do \(+\infty\) zarówno przy \(h\to 5^{+}\), jak i przy \(h\to+\infty\)). **Odpowiedź.** Najmniejszą objętość ma stożek o wysokości \(h=5\sqrt{3}\), a objętość ta wynosi \(\frac{125\sqrt{3}\,\pi}{2}\).

**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)), np. \[V'(h)=\frac{\pi}{3}\cdot\frac{75h^{2}\cdot(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}.\] **2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\) (lub funkcji \(\frac{3}{\pi}\cdot V\)): \(h=5\sqrt{3}\). **3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\). **4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość najmniejszą dla \(h=5\sqrt{3}\) oraz obliczenie objętości stożka o takiej wysokości: \(V(5\sqrt{3})=\frac{125\sqrt{3}\pi}{2}\). Uwagi: 1. Jeżeli zdający wyznacza pochodną ilorazu jako iloraz pochodnych, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie. 2. Jeżeli z rozwiązania wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji oraz zdający poprawnie wyznacza pochodne funkcji \(25h^{3}\) oraz \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(a\cdot\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) (gdzie \(a\neq 0\)) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (za miejsce zerowe pochodnej, za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji, za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). Jeżeli z rozwiązania nie wynika, że zdający poprawnie stosuje wzór na pochodną ilorazu funkcji lub zdający błędnie wyznacza pochodną funkcji \(25h^{3}\) lub \(h^{2}-25\) i dalej popełnia błędy, otrzymując pochodną w postaci \(\frac{75h^{2}(h^{2}-25)-25h^{3}\cdot 2h}{(h^{2}-25)^{2}}\) lub \(\frac{B(h)}{(h^{2}-25)^{2}}\), gdzie \(B\) jest wielomianem stopnia czwartego, który w przedziale \((5,+\infty)\) ma dokładnie jeden pierwiastek, i konsekwentnie rozwiąże zadanie do końca, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości funkcji i za obliczenie najmniejszej wartości funkcji \(V\)). 3. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(h\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: – opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość, LUB – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(h\) funkcja \(V\) ma minimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej. 4. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktu za uzasadnienie istnienia najmniejszej wartości). 5. Jeżeli zdający, uzasadniając najmniejszą wartość funkcji, rozpatruje funkcję w \(\mathbb{R}\) lub \(\mathbb{R}_{+}\), to może uzyskać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie. 6. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia najmniejszej wartości funkcji, to może uzyskać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za pochodną i 1 punkt za miejsce zerowe pochodnej).

**Wymagania ogólne:** IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych. **Wymagania szczegółowe:** XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […]; XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji; XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.