Stereometria
Zadanie 22, maj 2018, poziom podstawowy
Na rysunku przedstawiono bryłę zbudowaną z walca i półkuli. Wysokość walca jest równa \(r\) i jest taka sama jak promień półkuli oraz taka sama jak promień podstawy walca. Objętość tej bryły jest równa
**A.** \(\frac53\pi r^3\)
**B.** \(\frac43\pi r^3\)
**C.** \(\frac23\pi r^3\)
**D.** \(\frac13\pi r^3\)
Odpowiedź
**A.** \(\frac53\pi r^3\)
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Bryła jest złożona z dwóch znanych brył, a jej objętość to po prostu suma objętości części:
\[V=V_{\text{walca}}+V_{\text{półkuli}}.\]
Kluczowa informacja z treści: promień podstawy walca, wysokość walca i promień półkuli to ta sama liczba \(r\).
**Krok \(2\).** Objętość walca liczymy ze wzoru \(V=\pi r^2 H\). Tu wysokość \(H=r\), więc
\[V_{\text{walca}}=\pi r^2\cdot r=\pi r^3.\]
**Krok \(3\).** Objętość całej kuli o promieniu \(r\) to \(\frac43\pi r^3\). Półkula to dokładnie połowa kuli:
\[V_{\text{półkuli}}=\frac12\cdot\frac43\pi r^3=\frac23\pi r^3.\]
**Krok \(4\).** Dodajemy obie objętości, sprowadzając do wspólnego mianownika:
\[V=\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac33\pi r^3+\frac23\pi r^3=\frac53\pi r^3.\]
**Uwaga.** Połowa kuli oznacza połowę **objętości**, a nie połowę promienia. Gdyby ktoś zmniejszył promień, wynik byłby zupełnie inny.
**Odpowiedź.** A: \(\dfrac53\pi r^3\)
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi A
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne II.** **G11.2:** zdający oblicza pole powierzchni i objętość walca, stożka i kuli.
