Graniastosłupy
Zadanie 25, czerwiec 2020, poziom podstawowy
Dwa stożki o takich samych podstawach połączono podstawami. Stosunek wysokości tych stożków jest równy \(3:2\). Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12 \mathrm{cm}^{3}\). Objętość bryły utworzonej z połączonych stożków jest równa
A. \(20 \mathrm{cm}^{3}\)
B. \(30 \mathrm{cm}^{3}\)
C. \(39 \mathrm{cm}^{3}\)
D. \(52{,}5 \mathrm{cm}^{3}\)
Odpowiedź
**B.** \(30\,\mathrm{cm}^{3}\)
Rozwiązanie krok po kroku
Oba stożki mają wspólną podstawę, więc ich objętości \(V=\frac13\pi r^{2}h\) różnią się wyłącznie wysokością — są do niej wprost proporcjonalne.
Stosunek wysokości wynosi \(3:2\), więc taki sam jest stosunek objętości. Objętość stożka o krótszej wysokości jest równa \(12\,\mathrm{cm}^{3}\), zatem
\[\frac{V_{\text{dłuższy}}}{12}=\frac32\quad\Longrightarrow\quad V_{\text{dłuższy}}=18\,\mathrm{cm}^{3}.\]
Objętość całej bryły:
\[V=12+18=30\,\mathrm{cm}^{3}.\]
**Odpowiedź.** \(V=30\,\mathrm{cm}^{3}\), czyli wariant **B**
Klucz i zasady oceniania
**1 pkt** – wskazanie odpowiedzi **B**
**0 pkt** – odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi
Wymagania podstawy programowej
**Wymaganie ogólne:** II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.
**Wymaganie szczegółowe:** G11. Bryły — zdający oblicza pole powierzchni i objętość graniastosłupa prostego, ostrosłupa, walca, stożka i kuli, także w zadaniach osadzonych w kontekście praktycznym (G11.2).
