Optymalizacja
Zadanie 15, próbna marzec 2021, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty \(ABC\), których wierzchołki \(A\) i \(B\) leżą na wykresie funkcji \(f\) określonej wzorem
\[f(x)=\frac9{x^4}\qquad\text{dla }x\neq0.\]
Punkt \(C\) ma współrzędne \(C=(0,-\frac13)\), a punkty \(A\) i \(B\) są położone symetrycznie względem osi \(Oy\) (zobacz rysunek). Oblicz współrzędne wierzchołków \(A\) i \(B\), dla których pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.
Odpowiedź
\[A=\left(3,\frac19\right),\qquad B=\left(-3,\frac19\right),\qquad P_{\min}=\frac43.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Niech \(A=(a,\frac9{a^4})\), gdzie \(a>0\). Z symetrii względem osi \(Oy\):
\[B=\left(-a,\frac9{a^4}\right).\]
Podstawa \(AB\) ma długość \(2a\), a wysokość opuszczona z punktu \(C=(0,-\frac13)\) jest równa \(\frac9{a^4}+\frac13\). Pole trójkąta wynosi więc
\[P(a)=\frac12\cdot2a\left(\frac9{a^4}+\frac13\right)=\frac9{a^3}+\frac a3,\qquad a>0.\]
Obliczamy pochodną:
\[P'(a)=-\frac{27}{a^4}+\frac13=\frac{a^4-81}{3a^4}.\]
Dla \(a>0\) jedynym miejscem zerowym pochodnej jest \(a=3\). Pochodna jest ujemna w \((0,3)\) i dodatnia w \((3,+\infty)\), zatem funkcja \(P\) osiąga minimum dla \(a=3\). Wtedy
\[A=\left(3,\frac19\right),\qquad B=\left(-3,\frac19\right),\]
\[P_{\min}=P(3)=\frac9{27}+1=\frac43.\]
Klucz i zasady oceniania
**6 pkt** – wyznaczenie \(A=(3,\frac19)\), \(B=(-3,\frac19)\) i \(P_{\min}=\frac43\)
**5 pkt** – uzasadnienie, że funkcja pola osiąga minimum dla \(a=3\)
**4 pkt** – obliczenie jedynego dodatniego miejsca zerowego pochodnej: \(a=3\)
**3 pkt** – wyznaczenie pochodnej \(P'(a)=-\frac{27}{a^4}+\frac13\)
**2 pkt** – zapisanie \(P(a)=\frac9{a^3}+\frac a3\) wraz z dziedziną \(a>0\)
**1 pkt** – poprawne zapisanie wzoru na pole albo dziedziny funkcji pola
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja.
**Wymagania szczegółowe:**
R11.6 stosowanie pochodnych do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.
