Zadanie 16 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

**a)** \(\displaystyle C=\left(\frac{m}{4-m},\frac{2m}{m-4}\right)\), więc dla \(m>4\) pole wynosi \(\displaystyle P(m)=\frac{m^2}{m-4}\). **b)** \(\displaystyle P'(m)=\frac{m(m-8)}{(m-4)^2}\), stąd minimum występuje dla \(m=8\) i ma wartość \(16\). Prosta \(BC\) ma równanie \(\displaystyle y=-\frac25x+\frac{16}{5}\).

**Krok \(1\).** Metoda w podpunkcie **a)**: wierzchołek \(C\) to punkt przecięcia prostej \(BD\) (bo \(D\) leży na boku \(BC\)) z prostą \(y=-2x\). Pole liczymy jako połowę iloczynu podstawy \(AB\) leżącej na osi \(Ox\) i wysokości równej odległości \(C\) od tej osi. **Krok \(2\).** Wyznaczamy współczynnik kierunkowy prostej \(BD\) dla \(B=(m,0)\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BD}=\frac{2-0}{3-m}=\frac{2}{3-m},\qquad\text{zatem}\qquad BD\colon y=\frac{2}{3-m}(x-m).\] Zauważmy, że \(m\gt 4\), więc \(3-m\neq 0\). **Krok \(3\).** Szukamy przecięcia z prostą \(y=-2x\): \[\frac{2}{3-m}\left(x_{C}-m\right)=-2x_{C}\ \Big/\cdot\frac{3-m}{2},\] \[x_{C}-m=-x_{C}(3-m),\qquad x_{C}(1+3-m)=m,\qquad x_{C}(4-m)=m.\] **Krok \(4\).** Stąd \[x_{C}=\frac{m}{4-m},\qquad y_{C}=-2x_{C}=\frac{2m}{m-4},\qquad\text{czyli}\qquad C=\left(\frac{m}{4-m},\ \frac{2m}{m-4}\right).\] **Krok \(5\).** Podstawa \(AB\) leży na osi \(Ox\) i ma długość \(m\) (bo \(m\gt 4\gt 0\)). Wysokość z \(C\) jest równa \(\lvert y_{C}\rvert=\frac{2m}{m-4}\) (dla \(m\gt 4\) liczba ta jest dodatnia). Zatem \[P(m)=\frac{1}{2}\cdot m\cdot\frac{2m}{m-4}=\frac{m^{2}}{m-4}.\] To należało wykazać. **Krok \(6\).** Metoda w podpunkcie **b)**: szukamy najmniejszej wartości funkcji \(P\) na przedziale \((4,+\infty)\), badając znak jej pochodnej. **Krok \(7\).** Liczymy pochodną ilorazu: \[P^{\prime}(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}=\frac{m^{2}-8m}{(m-4)^{2}}=\frac{m(m-8)}{(m-4)^{2}}.\] **Krok \(8\).** Wyznaczamy miejsca zerowe pochodnej w dziedzinie: mianownik jest dodatni, więc \[P^{\prime}(m)=0\iff m(m-8)=0\iff m=0\ \text{lub}\ m=8,\] a w przedziale \((4,+\infty)\) zostaje tylko \(m=8\). **Krok \(9\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(m\in(4,8)\) mamy \(m\gt 0\) i \(m-8\lt 0\), więc \(P^{\prime}(m)\lt 0\); dla \(m\in(8,+\infty)\) mamy \(P^{\prime}(m)\gt 0\). Zatem \(P\) maleje na \((4,8\rangle\) i rośnie na \(\langle 8,+\infty)\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga wartość najmniejszą \[P(8)=\frac{64}{8-4}=16.\] **Krok \(10\).** Dla \(m=8\) mamy \(B=(8,0)\), a prosta \(BC\) przechodzi przez \(B\) i \(D=(3,2)\): \[a_{BC}=\frac{2-0}{3-8}=-\frac{2}{5},\qquad y=-\frac{2}{5}(x-8),\qquad\text{czyli}\qquad y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}.\] **Uwaga.** Miejsce zerowe pochodnej to dopiero kandydat na minimum — o tym, że jest to wartość najmniejsza, przesądza dopiero zbadanie znaku pochodnej po obu stronach punktu \(m=8\). **Odpowiedź.** **a)** \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **b)** Pole jest najmniejsze dla \(m=8\) i wynosi wtedy \(16\); prosta \(BC\) ma równanie \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\).

**Część a)** **3 pkt** – wyznaczenie pola \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcji zmiennej \(m\): \(P(m)=\frac{m^{2}}{m-4}\). **2 pkt** – wyznaczenie pierwszej (lub drugiej) współrzędnej punktu \(C\): \(x_{C}=\frac{m}{4-m}\) (lub \(y_{C}=\frac{2m}{m-4}\)). **1 pkt** – wyznaczenie współczynnika kierunkowego prostej \(BD\): \(\frac{2}{3-m}\) ALBO – zapisanie równania prostej \(BD\) w postaci ogólnej, np. \(2x+(m-3)y-2m=0\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Część b)** **4 pkt** – wyznaczenie równania prostej \(BC\) w przypadku, gdy pole trójkąta \(ABC\) jest najmniejsze, np. \(y=-\frac{2}{5}x+\frac{16}{5}\). **3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej funkcji \(P\): \(P'(m)>0\) dla \(m\in(8,\,+\infty)\) oraz \(P'(m)<0\) dla \(m\in(4,\,8)\), oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej \(m\), dla której funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą, np. funkcja \(P\) zmiennej \(m\) (określona na przedziale \((4,\,+\infty)\)) jest rosnąca w przedziale \(\langle 8,\,+\infty)\) oraz malejąca w przedziale \((4,\,8\rangle\), więc w punkcie \(m=8\) osiąga najmniejszą wartość ALBO – uzasadnienie, że dla \(m=8\) funkcja \(P\) osiąga wartość najmniejszą (przy metodzie średnich liczbowych). **2 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej funkcji \(P\): \(m=8\) ALBO – obliczenie wartości \(m\), dla której zachodzi równość średniej arytmetycznej i geometrycznej liczb dodatnich \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(m=8\). **1 pkt** – wyznaczenie wzoru pochodnej funkcji \(P\), np. \(P'(m)=\frac{2m(m-4)-m^{2}\cdot 1}{(m-4)^{2}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+\frac{16}{m-4}}{2}\ge\sqrt{(m-4)\cdot\frac{16}{m-4}}\) ALBO – zapisanie nierówności między średnią arytmetyczną a geometryczną liczb \(m-4\), \(4\) oraz \(\frac{16}{m-4}\): \(\frac{m-4+4+\frac{16}{m-4}}{3}\ge\sqrt[3]{(m-4)\cdot 4\cdot\frac{16}{m-4}}\) **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi do części b):** 1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak i zaznaczając na rysunku, np. znakami „+” i „-”, znak pochodnej. 2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą dla wyznaczonej wartości \(m\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający: – opisuje (słownie lub graficznie - np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(P\) lub – zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(m\) funkcja \(P\) ma minimum lokalne i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość. Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 3. Jeżeli zdający, przy uzasadnieniu, że funkcja \(P\) przyjmuje najmniejszą wartość dla \(m=8\), nie ogranicza się do przedziału \((4,\,+\infty)\), to za część b) może otrzymać co najwyżej \(3\) punkty. 4. Akceptujemy przedziały monotoniczności \((4,\,8)\), \((8,\,+\infty)\). 5. Jeżeli zdający wyznaczy minimum lokalne i nie zapisze, że jest to wartość najmniejsza, to otrzymuje co najwyżej \(3\) punkty za część b).

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R11.6) Zdający stosuje pochodne do rozwiązywania zagadnień optymalizacyjnych.