Zadanie 15 – matura z matematyki maj 2023, poziom rozszerzony

\(\displaystyle m\in\left(\frac{11}{5},\frac94\right)\). Warunek dwóch różnych pierwiastków daje \(\displaystyle m\in(-\infty,2)\cup\left(\frac{11}{5},+\infty\right)\), a nierówność z wzorami Viète'a prowadzi do \(\displaystyle m\in\left(2,\frac94\right)\).

**Krok \(1\).** Metoda: dwa niezależne warunki — \(\Delta\gt 0\) dla istnienia dwóch różnych pierwiastków oraz warunek na sumę sześcianów, przepisany przez wzory Viète'a. Na końcu bierzemy część wspólną. **Krok \(2\).** Dla trójmianu \(x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}\), gdzie \(m\neq 2\), mamy \[\Delta=4^{2}-4\cdot 1\cdot\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)=16+\frac{4(m-3)}{m-2}=\frac{16(m-2)+4(m-3)}{m-2}=\frac{20m-44}{m-2}.\] **Krok \(3\).** Warunek \(\Delta\gt 0\) jest równoważny \((20m-44)(m-2)\gt 0\), czyli \((5m-11)(m-2)\gt 0\). Stąd \[m\in(-\infty,2)\cup\left(\tfrac{11}{5},+\infty\right).\] **Krok \(4\).** Ze wzorów Viète'a \(x_{1}+x_{2}=-4\) oraz \(x_{1}x_{2}=-\frac{m-3}{m-2}\). **Krok \(5\).** Sumę sześcianów zapisujemy przez sumę i iloczyn: \[x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})=-64+12x_{1}x_{2}=-64-\frac{12(m-3)}{m-2}.\] **Krok \(6\).** Warunek zadania: \[-64-\frac{12(m-3)}{m-2}\gt -28\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{12(m-3)}{m-2}\lt -36\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{m-3}{m-2}\lt -3.\] **Krok \(7\).** Przenosimy na jedną stronę i sprowadzamy do wspólnego mianownika: \[\frac{m-3}{m-2}+3\lt 0,\qquad \frac{m-3+3m-6}{m-2}\lt 0,\qquad \frac{4m-9}{m-2}\lt 0,\] skąd \((4m-9)(m-2)\lt 0\), czyli \(m\in\left(2,\tfrac{9}{4}\right)\). **Krok \(8\).** Bierzemy część wspólną zbiorów z Kroków \(3\) i \(7\). Ponieważ \(\tfrac{11}{5}=2{,}2\) oraz \(\tfrac{9}{4}=2{,}25\), otrzymujemy \[m\in\left(\tfrac{11}{5},\tfrac{9}{4}\right).\] **Uwaga.** Nierówności z niewiadomą w mianowniku nie wolno mnożyć przez \(m-2\), bo nie znamy znaku tego wyrażenia. Zamiast tego korzystamy z równoważności \(\frac../../{Q}\lt 0\iff P\cdot Q\lt 0\) (przy \(Q\neq 0\)). **Odpowiedź.** \(m\in\left(\frac{11}{5},\frac{9}{4}\right)\).

Rozwiązanie zadania składa się z trzech etapów. Pierwszy etap polega na rozwiązaniu nierówności \(\Delta>0\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne rozwiązanie nierówności \(\Delta>0\): \(m\in\left(-\infty,\,2\right)\cup\left(\frac{11}{5},\,+\infty\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwaga:** Jeżeli zdający rozwiązuje warunek \(\Delta\ge 0\), to za tę część rozwiązania otrzymuje \(0\) punktów. Drugi etap polega na wyznaczeniu tych wartości parametru \(m\), dla których jest spełniony warunek \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 3 punkty. Podział punktów za drugi etap rozwiązania: **3 pkt** – rozwiązanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\), wynikającej z warunku \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(2,\,\frac{9}{4}\right)\). **2 pkt** – zapisanie nierówności z jedną niewiadomą \(m\), wynikającej z warunku \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\), np. \(-64-3\cdot\left(-\frac{m-3}{m-2}\right)\cdot(-4)>-28\) ALBO – zapisanie nierówności \(\left(-2-\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}+\left(-2+\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}>-28\) i poprawne zastosowanie wzoru skróconego mnożenia na sześcian sumy/różnicy do co najmniej jednego ze składników sumy \(\left(-2-\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}+\left(-2+\sqrt{\frac{5m-11}{m-2}}\right)^{3}\). **1 pkt** – przekształcenie nierówności \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, np. \((x_{1}+x_{2})^{3}-3x_{1}x_{2}(x_{1}+x_{2})>-28\) ALBO – wyznaczenie pierwiastków trójmianu kwadratowego \(x^{2}+4x-\frac{m-3}{m-2}\) w zależności od \(m\): \(x_{1}=\frac{-4-\sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2\cdot 1}\), \(x_{2}=\frac{-4+\sqrt{\frac{20m-44}{m-2}}}{2\cdot 1}\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. Trzeci etap polega na wyznaczeniu wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie dwa warunki: \(\Delta>0\) i \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(\frac{11}{5},\,\frac{9}{4}\right)\). Za poprawne wykonanie tego etapu zdający otrzymuje 1 punkt. **1 pkt** – poprawne wyznaczenie wszystkich wartości parametru \(m\), które spełniają jednocześnie warunki \(\Delta>0\) i \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\): \(m\in\left(\frac{11}{5},\,\frac{9}{4}\right)\). **0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania. **Uwagi:** 1. Jeżeli zdający popełni w I i/lub II etapie jedynie błędy rachunkowe i otrzyma zbiory rozwiązań z I i II etapu, które nie są rozłączne i żaden z nich nie jest zbiorem liczb rzeczywistych, a następnie poprawnie wyznaczy część wspólną zbiorów rozwiązań z etapów I i II, to za III etap otrzymuje \(1\) punkt. 2. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd i przyjmie, że \(x_{1}+x_{2}=\pm\frac{m-3}{m-2}\) lub \(x_{1}\cdot x_{2}=\pm 4\), to za II etap może otrzymać co najwyżej \(1\) punkt, a za III etap otrzymuje \(0\) punktów. 3. Jeżeli zdający w II etapie rozwiązania popełni błąd, który nie jest rachunkowy (np. pominie istotne nawiasy przy przekształcaniu nierówności \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}>-28\) do postaci pozwalającej na bezpośrednie zastosowanie wzorów Viète’a, albo przyjmie, że \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=(x_{1}+x_{2})\left[(x_{1}+x_{2})^{2}-x_{1}\cdot x_{2}\right]\)), i konsekwentnie do popełnionego błędu doprowadzi rozwiązanie II etapu zadania do końca, to może uzyskać co najwyżej \(1\) punkt za II etap.

**Wymagania egzaminacyjne 2023 i 2024** **Wymagania ogólne:** III. Modelowanie matematyczne. **Wymagania szczegółowe:** R3.1) Zdający stosuje wzory Viète’a; R3.2) Zdający rozwiązuje równania i nierówności liniowe i kwadratowe z parametrem.