Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 12.2, czerwiec 2025, poziom rozszerzony
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o polu powierzchni całkowitej równym \(24\sqrt{3}\). Objętość \(V\) graniastosłupa w zależności od długości \(a\) krawędzi podstawy jest określona wzorem
\[V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\]
dla \(a\in(0,4\sqrt{3})\).
Wyznacz długość krawędzi podstawy tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość. Zapisz obliczenia.
Odpowiedź
\(V'(a)=6-\frac{3a^{2}}{8}\). W przedziale \(a\in(0,4\sqrt{3})\) jedyny punkt krytyczny to \(a=4\); pochodna zmienia tam znak z dodatniego na ujemny. Największa objętość wynosi \(V(4)=24-8=16\).
Rozwiązanie krok po kroku
**Krok \(1\).** Metoda: szukamy wartości największej funkcji \(V\) na przedziale \((0,4\sqrt3)\), badając znak jej pochodnej. Funkcja jest wielomianem, więc jest różniczkowalna w całej dziedzinie.
**Krok \(2\).** Wyznaczamy pochodną funkcji \(V(a)=6a-\frac{1}{8}a^{3}\):
\[V^{\prime}(a)=6-\frac{3}{8}a^{2}\qquad\text{dla}\ a\in\left(0,4\sqrt3\right).\]
**Krok \(3\).** Obliczamy miejsca zerowe pochodnej:
\[6-\frac{3}{8}a^{2}=0,\qquad a^{2}=16,\qquad a=-4\ \text{lub}\ a=4.\]
Wartość \(a=-4\) odrzucamy, bo nie należy do dziedziny; zostaje \(a=4\in\left(0,4\sqrt3\right)\) (bo \(4\sqrt3\approx 6{,}93\)).
**Krok \(4\).** Badamy znak pochodnej. Dla \(a\in(0,4)\) mamy \(a^{2}\lt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\gt 0\); dla \(a\in\left(4,4\sqrt3\right)\) mamy \(a^{2}\gt 16\), więc \(V^{\prime}(a)\lt 0\).
**Krok \(5\).** Zatem funkcja \(V\) rośnie w przedziale \((0,4\rangle\) i maleje w przedziale \(\langle 4,4\sqrt3)\), a więc w punkcie \(a=4\) osiąga wartość największą.
**Krok \(6\).** Obliczamy tę wartość:
\[V(4)=6\cdot 4-\frac{1}{8}\cdot 4^{3}=24-8=16.\]
**Uwaga.** Samo wskazanie miejsca zerowego pochodnej nie wystarcza — trzeba zbadać jej znak po obu stronach punktu \(a=4\) i stąd wywnioskować, że to maksimum, a nie minimum.
**Odpowiedź.** Objętość jest największa dla krawędzi podstawy \(a=4\) i wynosi wtedy \(V(4)=16\).
Klucz i zasady oceniania
**4 pkt** – uzasadnienie, że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\) oraz obliczenie \(V(4)=16\).
**3 pkt** – uzasadnienie (np. poprzez badanie monotoniczności funkcji), że funkcja \(V\) przyjmuje wartość największą dla \(a=4\).
**2 pkt** – obliczenie miejsca zerowego pochodnej funkcji \(V\): \(a=4\).
**1 pkt** – wyznaczenie pochodnej funkcji \(V\), np. \(V'(a)=6-\tfrac{3}{8}a^2\).
**0 pkt** – rozwiązanie, w którym zastosowano niepoprawną metodę, albo brak rozwiązania.
Uwagi:
1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja osiąga wartość największą dla wyznaczonej wartości \(a\), przy której pochodna się zeruje, można uznać sytuację, gdy zdający bada znak pochodnej ORAZ: opisuje (słownie lub graficznie – np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji \(V\) LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jednocześnie jej największa wartość, LUB zapisuje, że dla wyznaczonej wartości \(a\) funkcja \(V\) ma maksimum lokalne i jest to jedyne ekstremum tej funkcji. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji, która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak, i zaznaczając na rysunku (np. znakami „+” i „-”) znak pochodnej.
2. Jeżeli zdający przedstawi niepełne uzasadnienie, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej, 1 punkt za obliczenie długości krawędzi podstawy oraz objętości graniastosłupa o największej objętości).
3. Jeżeli zdający nie uzasadnia istnienia największej wartości funkcji, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie (1 punkt za poprawne wyznaczenie pochodnej, 1 punkt za obliczenie miejsca zerowego pochodnej).
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. Rozumowanie i argumentacja - stosowanie i tworzenie strategii przy rozwiązywaniu zadań, również w sytuacjach nietypowych.
**Wymagania szczegółowe:**
XIII.R4) Zdający oblicza pochodną funkcji potęgowej o wykładniku rzeczywistym oraz oblicza pochodną, korzystając z twierdzeń o pochodnej sumy, różnicy, iloczynu, ilorazu […];
XIII.R5) Zdający stosuje pochodną do badania monotoniczności funkcji;
XIII.R6) Zdający rozwiązuje zadania optymalizacyjne z zastosowaniem pochodnej.
