Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie trójkąty prostokątne \(ABC\) o przeciwprostokątnej \(AB\) i obwodzie równym \(4\). Niech \(x=|AC|\).
**a)** Wykaż, że pole \(P\) trójkąta \(ABC\) jako funkcja zmiennej \(x\) jest określone wzorem
\[P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}.\]
**b)** Wyznacz dziedzinę funkcji \(P\).
**c)** Oblicz długości boków tego z rozpatrywanych trójkątów, który ma największe pole. Oblicz to największe pole.
Odpowiedź
**a)** \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\).
**b)** \(D_P=(0,2)\).
**c)** Największe pole ma trójkąt o bokach \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\) i \(4\sqrt2-4\). Pole to wynosi \(4(3-2\sqrt2)\).
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(b=|BC|\) i \(c=|AB|\). Z obwodu \(x+b+c=4\), więc \(c=4-x-b\). Twierdzenie Pitagorasa daje
\[(4-x-b)^2=x^2+b^2.\]
Po uproszczeniu
\[b(4-x)=8-4x,\qquad b=\frac{8-4x}{4-x}.\]
Zatem
\[P(x)=\frac12xb=\frac{x(4-2x)}{4-x}.\]
Warunki \(x>0\), \(b>0\) i \(c>0\) prowadzą do dziedziny
\[D_P=(0,2).\]
Dla \(x\in(0,2)\):
\[P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}.\]
Jedynym miejscem zerowym pochodnej w dziedzinie jest
\[x=4-2\sqrt2.\]
Pochodna jest dodatnia na \((0,4-2\sqrt2)\) i ujemna na \((4-2\sqrt2,2)\), więc w tym punkcie funkcja osiąga największą wartość. Wówczas
\[b=4-2\sqrt2,\qquad c=x\sqrt2=4\sqrt2-4,\]
a największe pole wynosi
\[P_{\max}=\frac12(4-2\sqrt2)^2=4(3-2\sqrt2).\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt łącznie:** \(2\) pkt za podpunkt a), \(1\) pkt za podpunkt b) i \(4\) pkt za podpunkt c).
**Podpunkt a): 2 pkt** – pełne wyprowadzenie wzoru \(P(x)=\frac{x(4-2x)}{4-x}\)
**1 pkt** – poprawne użycie obwodu i twierdzenia Pitagorasa
**Podpunkt b): 1 pkt** – dziedzina \((0,2)\)
**Podpunkt c): 4 pkt** – poprawne uzasadnienie maksimum, długości boków \(4-2\sqrt2\), \(4-2\sqrt2\), \(4\sqrt2-4\) oraz pole \(4(3-2\sqrt2)\)
**3 pkt** – zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie maksimum dla \(x=4-2\sqrt2\)
**2 pkt** – wyznaczenie miejsca zerowego pochodnej w dziedzinie
**1 pkt** – poprawna pochodna \(P'(x)=\frac{2x^2-16x+16}{(4-x)^2}\)
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - modelowanie problemu geometrycznego funkcją i przeprowadzenie optymalizacji.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie twierdzenia Pitagorasa, wyznaczanie dziedziny funkcji, obliczanie pochodnej funkcji wymiernej, badanie monotoniczności i rozwiązywanie zadań optymalizacyjnych.
