Wartości funkcji trygonometrycznych
Zadanie 14, czerwiec 2021, poziom rozszerzony
Na okręgu jest opisany czworokąt \(ABCD\). Bok \(AD\) tego czworokąta jest dwa razy dłuższy od boku \(AB\), a przekątna \(BD\) ma długość równą \(6\). Ponadto spełnione są następujące warunki:
\[\cos(\angle ADB)=\frac78,\qquad |\angle BCD|=90^\circ\qquad\text{oraz}\qquad |AB|>\sqrt{15}.\]
Oblicz długość boku \(BC\) tego czworokąta.
Odpowiedź
\[|BC|=-2+\sqrt{14}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Oznaczmy \(a=|AB|\). Wtedy \(|AD|=2a\). Z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABD\):
\[a^2=(2a)^2+6^2-2\cdot2a\cdot6\cdot\frac78,\]
\[a^2-7a+12=0.\]
Stąd \(a=3\) lub \(a=4\). Warunek \(|AB|>\sqrt{15}\) daje \(|AB|=4\), a więc \(|AD|=8\). Ponieważ czworokąt jest opisany na okręgu, sumy długości przeciwległych boków są równe:
\[|AB|+|CD|=|BC|+|AD|,\]
czyli \(|CD|=|BC|+4\). Trójkąt \(BCD\) jest prostokątny, zatem
\[|BC|^2+(|BC|+4)^2=36.\]
Po uproszczeniu
\[|BC|^2+4|BC|-10=0,\]
więc \(|BC|=-2\pm\sqrt{14}\). Długość jest dodatnia, dlatego
\[|BC|=-2+\sqrt{14}.\]
Klucz i zasady oceniania
**5 pkt** – poprawna metoda i wynik \(|BC|=-2+\sqrt{14}\)
**4 pkt** – rozwiązanie obu wariantów po nieuwzględnieniu warunku \(|AB|>\sqrt{15}\) i zapisanie dwóch dodatnich kandydatów
**3 pkt** – zastosowanie własności czworokąta opisanego i twierdzenia Pitagorasa, prowadzące do układu dla \(|BC|\) i \(|CD|\)
**2 pkt** – obliczenie \(|AB|=4\) oraz \(|AD|=8\)
**1 pkt** – zapisanie poprawnego równania z twierdzenia cosinusów w trójkącie \(ABD\)
**0 pkt** – rozwiązanie niespełniające powyższych kryteriów albo brak rozwiązania
Wymagania podstawy programowej
**Wymagania ogólne:**
IV. rozumowanie i argumentacja - łączenie kilku twierdzeń geometrycznych w jednym rozwiązaniu.
**Wymagania szczegółowe:**
stosowanie twierdzenia cosinusów i Pitagorasa oraz własności sum długości przeciwległych boków czworokąta opisanego na okręgu.
