Odczytywanie własności z wykresu
Zadanie 15, czerwiec 2018, poziom rozszerzony
Rozpatrujemy wszystkie możliwe drewniane szkielety o kształcie przedstawionym na rysunku, wykonane z listewek. Każda z tych listewek ma kształt prostopadłościanu o podstawie kwadratu o boku długości \(x\). Wymiary szkieletu zaznaczono na rysunku.
**a)** Wyznacz objętość \(V\) drewna potrzebnego do budowy szkieletu jako funkcję zmiennej \(x\).
**b)** Wyznacz dziedzinę funkcji \(V\).
**c)** Oblicz tę wartość \(x\), dla której zbudowany szkielet jest możliwie najcięższy, czyli kiedy funkcja \(V\) osiąga wartość największą. Oblicz tę największą objętość.
Odpowiedź
\[V(x)=8x^2(11-3x),\qquad D_V=\left(0,\frac52\right].\]
Największa objętość występuje dla
\[x=\frac{22}{9}\]
i wynosi
\[V_{\max}=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]
Rozwiązanie krok po kroku
Szkielet składa się z dwunastu listewek. Cztery mają długość \(6-2x\), cztery długość \(10-3x\), a cztery długość \(6-x\). Każda ma pole przekroju \(x^2\), zatem
\[V(x)=4x^2(6-2x)+4x^2(10-3x)+4x^2(6-x)=8x^2(11-3x).\]
Z warunków geometrycznych otrzymujemy \(x>0\), \(6\geq2x\) i \(10-2x\geq2x\), więc
\[D_V=\left(0,\frac52\right].\]
Liczymy pochodną:
\[V'(x)=8x(22-9x).\]
W dziedzinie funkcja rośnie dla \(0<x<\frac{22}{9}\) i maleje dla \(\frac{22}{9}<x\leq\frac52\). Maksimum osiąga zatem dla
\[x=\frac{22}{9}.\]
Jego wartość jest równa
\[V\left(\frac{22}{9}\right)=8\left(\frac{22}{9}\right)^2\left(11-3\cdot\frac{22}{9}\right)=\frac{42592}{243}=175\frac{67}{243}.\]
Klucz i zasady oceniania
**7 pkt** – wyznaczenie funkcji i jej dziedziny, pełna analiza maksimum oraz obliczenie \(V_{\max}=\frac{42592}{243}\)
**6 pkt** – poprawne ustalenie \(x=\frac{22}{9}\), bez poprawnego obliczenia największej objętości
**5 pkt** – uzasadnienie znakiem pochodnej, że maksimum występuje dla \(x=\frac{22}{9}\)
**4 pkt** – obliczenie miejsc zerowych pochodnej: \(0\) i \(\frac{22}{9}\)
**3 pkt** – zapisanie długości trzech rodzajów listewek, funkcji \(V(x)=8x^2(11-3x)\) oraz dziedziny \(D_V=(0,\frac52]\)
**2 pkt** – poprawne zapisanie funkcji objętości, nawet przy pominięciu lub błędzie w dziedzinie
**1 pkt** – poprawne zapisanie długości listewek: \(6-2x\), \(10-3x\), \(6-x\)
**0 pkt** – brak istotnego postępu
Klucz CKE dopuszcza również zapis dziedziny \((0,\frac52)\).
Wymagania podstawy programowej
Klucz CKE nie zawiera przy tym zadaniu osobnej tabeli wymagań.
**Klasyfikacja rzeczowa:** optymalizacja - modelowanie objętości bryły funkcją wielomianową, warunki geometryczne dziedziny, pochodna i badanie największej wartości funkcji.
