Strona główna › Materiał klasa po klasie

Matematyka klasa 5 — cały materiał roku

Piąta klasa to rok, w którym ułamek przestaje być obrazkiem podzielonej pizzy, a staje się liczbą, na której się liczy. Dochodzi mnożenie i dzielenie ułamków — działania, których w czwartej klasie nie było wcale. Geometria przestaje poprzestawać na rozpoznawaniu figur i zaczyna je mierzyć: kąty w stopniach, pola wzorami. A na sam koniec roku, jakby mimochodem, pojawia się minus przed liczbą.

Dział: Materiał klasa po klasiePoziom: klasa 5

Wyłącz kolory

1Co się zmienia wobec klasy czwartej

W czwartej klasie ułamek dało się przejść na intuicji: $\frac{1}{2}$ to połowa, $\frac{3}{4}$ to trzy ćwiartki. Dodawało się je tylko przy jednakowych mianownikach, a mnożyło wyłącznie przez liczbę naturalną. Piąta klasa domyka temat: wchodzą różne mianowniki, mnożenie ułamka przez ułamek i dzielenie ułamka przez ułamek.

To największy przeskok roku, bo tu po raz pierwszy reguła przestaje pasować do wyobrażenia. „Mnożenie powiększa” — a $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ daje $\frac{1}{4}$, czyli mniej. „Dzielenie pomniejsza” — a $2 : \frac{1}{2}$ daje $4$. Uczeń, który liczy poprawnie, ale nie ufa wynikowi, będzie go „poprawiał”.

Druga zmiana jest w geometrii. Czwarta klasa rozpoznaje i rysuje; piąta mierzy i liczy. Pojawia się kątomierz, stopnie, suma kątów trójkąta oraz pierwsze wzory na pola — równoległoboku, trójkąta, rombu i trapezu.

Trzecia jest cicha, ale zapowiada cały przyszły rok: w dziale „Matematyka i my” wchodzi pojęcie liczby ujemnej i liczby całkowite na osi. Na razie tylko porównywanie i dodawanie. Reszta — cztery działania, a potem ujemne ułamki — to już klasa 6.

2Liczby naturalne — porządki przed ułamkami

Najdłuższy dział roku, dwadzieścia cztery godziny, jest w dużej części powtórzeniem — ale powtórzeniem, po którym nic już nie wraca. To ostatni moment, żeby domknąć rachunki na liczbach naturalnych, zanim wszystko zacznie się dziać na ułamkach.

Wchodzi kolejność wykonywania działań w pełnej postaci, z nawiasami i potęgami. Samo pojęcie potęgi zostaje rozszerzone: dotąd był kwadrat i sześcian, teraz potęga o dowolnym naturalnym wykładniku.

Domykają się też cyfry rzymskie — w czwartej klasie tylko I, V i X, w piątej cały zakres wymagany przez podstawę, czyli do $3000$. (Sam system klasyczny sięga niewiele dalej, do $3999$, ale to już ciekawostka, nie wymaganie — piszę o niej przy cyfrach rzymskich). I cechy podzielności, tym razem z podzielnością przez $4$, a wraz z nimi liczby pierwsze i złożone.

Cztery algorytmy pisemne stają się narzędziem, a nie tematem:

• dodawanie pisemne i odejmowanie — powtórzenie z czwartej klasy,
• mnożenie sposobem pisemnym — teraz przez liczby wielocyfrowe,
• dzielenie pisemne — w czwartej klasie było nadobowiązkowe, w piątej jest obowiązkowe.

Warto zauważyć, po co to wszystko stoi na początku roku. Dzielenie pisemne będzie potrzebne przy zamianie ułamka zwykłego na dziesiętny, rozkład na czynniki pierwsze — przy skracaniu, a kolejność działań — w każdym dłuższym rachunku do końca szkoły.

3Ułamki — rok, w którym stają się liczbami

Dwa działy, trzydzieści godzin razem, i sedno całej piątej klasy.

W ułamkach zwykłych dochodzą różne mianowniki, a z nimi konieczność sprowadzania do wspólnego. Potem mnożenie i dzielenie — i tu leży pułapka, o której warto wiedzieć zawczasu.

Ta tabela jest ważniejsza, niż wygląda. Najczęstszy błąd roku polega na sprowadzaniu do wspólnego mianownika przed mnożeniem — czynność zbędna, ale nie fałszywa, więc uczeń dostaje poprawny wynik po dłuższej drodze i utrwala nawyk, który przy dzieleniu zaczyna szkodzić.

Równolegle idą ułamki dziesiętne: zamiana w obie strony, mnożenie i dzielenie. Program stawia tu jedno zastrzeżenie, o którym warto pamiętać: ułamek zwykły zamienia się na dziesiętny przez dzielenie, ale tylko wtedy, gdy rozwinięcie jest skończone. Ułamki okresowe to materiał klasy szóstej.

Dochodzi też porównywanie ułamków i zaznaczanie ich na osi liczbowej — umiejętność, która wygląda na drobiazg, a rozstrzyga połowę zadań z „która liczba jest większa”.

4Geometria — kąt dostaje miarę, figura dostaje wzór

Dział „Figury geometryczne” ma dwadzieścia jeden godzin i zaczyna się od kąta. Uczeń poznaje rodzaje kątów oraz kąty wierzchołkowe i przyległe — pierwszą parę zależności, z której coś się wylicza, zamiast tylko nazywać.

Stąd już blisko do sumy kątów trójkąta. To pierwsze w szkole twierdzenie, które realnie skraca pracę: znając dwa kąty, trzeci dostaje się bez mierzenia.

W tym samym dziale wchodzi klasyfikacja trójkątów i nierówność trójkąta, a także trzy czworokąty: równoległobok, romb i trapez.

Osobny dział, dwanaście godzin, dostają pola figur. Po prostokącie znanym z czwartej klasy przychodzą równoległobok, trójkąt, romb i trapez.

Wszystkie te wzory łączy jedna myśl i warto ją uczniowi pokazać, zamiast kazać zapamiętać pięć osobnych rzeczy: każdy z nich sprowadza figurę do prostokąta. Równoległobok po odcięciu trójkąta i przystawieniu go z drugiej strony staje się prostokątem — stąd $a \cdot h$. Trójkąt to połowa równoległoboku — stąd dzielenie przez dwa. Trapez to równoległobok o podstawie równej średniej obu podstaw — stąd $\frac{a+b}{2} \cdot h$.

5Minus na horyzoncie i pierwsza statystyka

Dział „Matematyka i my”, piętnaście godzin, wygląda na zbiór zadań praktycznych i w dużej części nim jest: obliczenia dotyczące czasu, miar, wag i pieniędzy. Ale kryją się w nim dwie rzeczy poważne.

Pierwsza to średnia arytmetyczna — pierwsze pojęcie statystyczne w całej szkole. Definicja jest prosta, kłopot sprawia co innego: średnia nie musi być żadną z danych liczb i nie musi być liczbą całkowitą. Średnia z ocen $4$ i $5$ to $4{,}5$, choć takiej oceny nie ma.

Druga to liczby całkowite. Program przewiduje tu pojęcie liczby ujemnej, umieszczanie liczb całkowitych na osi, porównywanie oraz dodawanie — i na tym poprzestaje. Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych, a potem ujemne ułamki, to dopiero klasa 6.

Ten podział jest sensowny i warto go znać, żeby nie wymagać za wiele. Piątoklasista ma zrozumieć, że $-5$ jest mniejsze od $-2$ — co samo w sobie kłóci się z odruchem, bo piątka jest większa od dwójki. Reguła znaków przy mnożeniu to zupełnie osobna trudność i przychodzi rok później.

6Bryły i objętość

Rok zamyka dziesięć godzin o figurach przestrzennych. Wchodzą jednostki objętości i pojemności, objętość prostopadłościanu oraz siatki — prostopadłościanu i graniastosłupów.

Objętość prostopadłościanu to jedyny wzór stereometryczny tego roku: $V = a \cdot b \cdot c$. Cała trudność siedzi obok wzoru, w jednostkach. Litr to decymetr sześcienny, a przelicznik między sąsiednimi jednostkami objętości wynosi $1000$, nie $100$ jak przy polach.

Siatki wracają w klasie szóstej przy graniastosłupach i ostrosłupach, a pole powierzchni liczy się dopiero tam. W piątej klasie siatka służy do zobaczenia bryły rozłożonej na płasko — i to wystarczy.

7Cały rok w jednej tabeli

Siedem działów, 112 godzin. W nawiasach liczba godzin przewidziana przez program; w prawej kolumnie strony z poszczególnymi tematami.

Trzy tematy roku nie mają u mnie osobnych stron: wysokość trójkąta, obliczanie ułamka danej liczby i siatki brył. Omawiam je w obrębie stron nadrzędnych — o trójkącie, o ułamkach i o prostopadłościanie.

8Przykłady krok po kroku

Trzy zadania z trzech miejsc, w których piątoklasiści zatrzymują się najczęściej: działania na ułamkach, suma kątów i pole trapezu.

9Najczęstsze błędy

Cztery pomyłki charakterystyczne dla piątej klasy. Trzy pierwsze biorą się z reguły, która w czwartej klasie była poprawna.

10Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-03. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.