Strona główna › Wielkości i jednostki

Jednostki czasu — dlaczego liczymy do sześćdziesięciu

Czas jest w szkolnej matematyce jedyną wielkością, której nie mierzymy dziesiętnie — jeśli nie liczyć kątów, które dzielą z nim ten sam układ. Godzina ma sześćdziesiąt minut, a nie sto — i stąd biorą się wszystkie kłopoty z zapisem, odejmowaniem i przeliczaniem. Ta strona tłumaczy, skąd wzięła się ta liczba, jak przeliczać w obie strony i dlaczego „godzina trzydzieści” to nie $1{,}30$ .

Dział: Wielkości i jednostkiPoziom: klasa 4 – maturaZadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Skąd wzięło się sześćdziesiąt

Podział godziny na sześćdziesiąt minut nie jest przypadkiem ani kaprysem. Pochodzi od Babilończyków, którzy używali układu sześćdziesiątkowego.

Powód był praktyczny: sześćdziesiąt dzieli się bez reszty przez $2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20$ i $30$ . Dziesięć dzieli się tylko przez dwa i pięć.

To ogromna różnica w codziennym użyciu. Trzecią część godziny da się zapisać ładnie — dwadzieścia minut. Trzeciej części stu minut zapisać się nie da.

Ten sam układ przetrwał w pomiarze kątów: pełny obrót ma $360$ stopni, a stopień dzieli się na sześćdziesiąt minut kątowych.

Warto to opowiedzieć uczniom, bo zamienia arbitralną regułę w decyzję z uzasadnieniem. Sześćdziesiąt jest wygodniejsze niż sto — o ile pamięta się, że to inny układ.

2Przeliczniki, które wystarczą

Cały układ opiera się na kilku liczbach i warto je znać bez zastanowienia.

$1$ minuta $= 60$ sekund,
$1$ godzina $= 60$ minut $= 3600$ sekund,
$1$ doba $= 24$ godziny $= 1440$ minut,
$1$ tydzień $= 7$ dni,
$1$ rok $= 365$ dni (przestępny: $366$ ).

Kierunek zamiany rozstrzyga jedno pytanie: czy przechodzę do jednostki mniejszej, czy większej. Na mniejsze mnożę, na większe dzielę.

Kontrola jest natychmiastowa: ta sama chwila wyrażona w sekundach musi dać liczbę większą niż w minutach, bo sekunda jest krótsza.

Warte zapamiętania osobno: kwadrans to $15$ minut, czyli $900$ sekund. Pół godziny to $1800$ sekund. Te wartości wracają w zadaniach najczęściej.

3Dlaczego „godzina trzydzieści” to nie 1,30

Najczęstszy błąd w całym temacie i wart osobnego wyjaśnienia.

Zapis dziesiętny opiera się na setnych. Liczba $1{,}30$ to jedna cała i trzydzieści setnych, czyli trzydzieści procent godziny — a to osiemnaście minut, nie trzydzieści.

Poprawnie pół godziny to pięć dziesiątych, czyli $1{,}5$ h. Trzydzieści minut z sześćdziesięciu to połowa, a połowa zapisana dziesiętnie to $0{,}5$ .

Cztery wartości warto mieć w pamięci na stałe: $15$ min $= 0{,}25$ h, $20$ min $= \tfrac{1}{3}$ h, $30$ min $= 0{,}5$ h, $45$ min $= 0{,}75$ h.

Przy dwudziestu minutach lepiej pracować na ułamku $\tfrac{1}{3}$ niż na przybliżeniu $0{,}33$ — wynik wychodzi dokładny.

Zamiana na postać dziesiętną jest potrzebna tylko wtedy, gdy czas wchodzi do wzoru — na przykład na prędkość. Przy zwykłym dodawaniu i odejmowaniu czasu nic nie wnosi.

4Dodawanie i odejmowanie czasu

Rachunek na czasie różni się od zwykłego jedną rzeczą: przeniesienie następuje po sześćdziesięciu, nie po dziesięciu.

Dodawanie: dodaj osobno godziny, osobno minuty, a potem sprawdź, czy minut nie wyszło co najmniej sześćdziesiąt. Jeśli tak, odejmij $60$ i dolicz godzinę.

Odejmowanie: najbezpieczniejsza jest metoda dojścia do pełnej godziny. Z $9{:}40$ do $10{:}00$ jest $20$ minut, z $10{:}00$ do $13{:}15$ — trzy godziny i piętnaście minut.

Odejmowanie w słupku daje tu błędy, bo pożyczka wynosi $60$ , a nie $100$ . Metoda dojścia do pełnej godziny nie wymaga pamiętania o niczym.

Uwaga na przekroczenie północy: godzina przyjazdu wcześniejsza niż wyjazdu oznacza, że doba się zmieniła i trzeba doliczyć dwadzieścia cztery godziny.

5Kalendarz — gdzie regularność się kończy

Jednostki krótsze od doby są regularne. Powyżej zaczynają się wyjątki i warto o nich wiedzieć.

Miesiące mają od $28$ do $31$ dni, więc „miesiąc” nie jest jednostką o stałej długości. Dlatego w zadaniach o czasie liczy się dniami, a nie miesiącami.

Rok przestępny ma $366$ dni — dodatkowy dzień to $29$ lutego. Występuje co cztery lata, ale nie w latach podzielnych przez $100$ , chyba że dzielą się przez $400$ .

Stąd rok $1900$ nie był przestępny, a $2000$ był. Ta reguła istnieje, bo rok astronomiczny trwa nieco mniej niż $365{,}25$ dnia.

Praktyczna konsekwencja przy zadaniach kalendarzowych: licząc dni między datami, trzeba sprawdzić, czy w przedziale jest luty roku przestępnego.

Tydzień jest najbardziej regularną jednostką powyżej doby — zawsze siedem dni, bez wyjątków.

6Czas w praktyce

Kilka sytuacji, w których zamiana jednostek czasu robi realną różnicę.

Rozkłady jazdy — czas przejazdu jako różnica dwóch godzin, z uwzględnieniem przesiadek i przekroczenia północy.

Stawka godzinowa — praca przez $7$ godzin $30$ minut to $7{,}5$ godziny, a nie $7{,}30$ . Pomyłka kosztuje tu konkretne pieniądze.

Sport — wyniki podaje się w minutach i sekundach, a rekordy porównuje po zamianie wszystkiego na sekundy.

Gotowanie i rozkłady dnia — dodawanie odcinków czasu z przekroczeniem godziny.

Wspólna cecha: w każdej z tych sytuacji błąd polega na potraktowaniu czasu jak liczby dziesiętnej.

7W której klasie się to pojawia

Temat wchodzi bardzo wcześnie i wraca później jako narzędzie, nie jako lekcja.

klasa 1–3 — odczyt zegara, pełne godziny i kwadranse,
klasa 4 — zamiana jednostek czasu, dodawanie i odejmowanie,
klasa 5–6 — zadania kalendarzowe, obliczenia na rozkładach jazdy,
klasa 7–8 — czas we wzorze na prędkość, zamiana na postać dziesiętną.

Największa trudność pojawia się dopiero w klasie siódmej — gdy trzeba połączyć rachunek na czasie z zapisem dziesiętnym potrzebnym do wzorów.

8Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Egzamin ósmoklasisty — 9 zadań z arkuszy CKE o czasie i wydajności,
Zadania praktyczne — kalendarz, zegar i rozkłady jazdy,
Karta pracy PDF — osobnej karty o zamianie jednostek czasu jeszcze nie ma. Najbliżej tematu są karty z zegarem („Zegar — nauka godzin”, „Narysuj wskazówki”) na stronie kart pracy, ale to materiał dla przedszkola i klas 1–3, czyli poziom niższy niż ta strona.

Test gotowości — celowo inny przypadek niż w przykładach, bo sprawdza jedyną regułę tej strony, która nie ma wyżej rozpisanego rachunku: autobus odjeżdża o $22{:}50$ i jedzie $3$ godziny $25$ minut. O której jest na miejscu? Jeśli odpowiadasz $2{:}15$ następnego dnia, materiał jest opanowany — bo doliczasz przekroczenie północy, a nie zatrzymujesz się na wyniku $26{:}15$ .

9Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: zamiana na postać dziesiętną, dodawanie z przekroczeniem godziny i różnica czasów.

Przykład 1 Czas na postać dziesiętną

Zapisz $2$ godziny $45$ minut jako liczbę godzin w postaci dziesiętnej.

Godziny przepisuję bez zmian: $2$ .
Minuty zamieniam osobnym działaniem: $45 : 60 = 0{,}75$ godziny.
Razem: $2 + 0{,}75 = 2{,}75$ godziny.
Kontrola: $45$ minut to trzy kwadranse, czyli trzy czwarte godziny ✓
Zapis $2{,}45$ byłby błędem — oznaczałby dwie godziny i czterdzieści pięć setnych godziny, czyli $27$ minut.
Różnica między $2{,}45$ a $2{,}75$ to osiemnaście minut i właśnie tyle kosztuje ta pomyłka.

Odpowiedź: $2$ h $45$ min $= 2{,}75$ godziny.

Przykład 2 Dodawanie z przekroczeniem godziny

Film trwa $1$ godzinę $50$ minut, a po nim jest $35$ minut dyskusji. Ile trwa całe spotkanie?

Dodaję osobno godziny: $1$ godzina.
Dodaję osobno minuty: $50 + 35 = 85$ minut.
Minut wyszło więcej niż $60$ , więc zamieniam: $85 = 60 + 25$ , czyli godzina i $25$ minut.
Doliczam tę godzinę: $1 + 1 = 2$ godziny i $25$ minut.
Kontrola przez sekundy albo przez minuty łącznie: $110 + 35 = 145$ minut, a $145 : 60 = 2$ reszty $25$ ✓
Przeniesienie nastąpiło po sześćdziesięciu, nie po stu — na tym polega cała różnica wobec zwykłego dodawania.

Odpowiedź: Spotkanie trwa $2$ godziny $25$ minut.

Przykład 3 Różnica czasów

Pociąg wyjechał o $9{:}40$ , a przyjechał o $13{:}15$ . Ile trwała podróż?

Nie odejmuję w słupku — pożyczka przy czasie wynosi $60$ , nie $100$ , i tu najłatwiej o błąd.
Dochodzę do pełnej godziny: z $9{:}40$ do $10{:}00$ jest $20$ minut.
Z $10{:}00$ do $13{:}00$ są trzy godziny.
Z $13{:}00$ do $13{:}15$ jest $15$ minut.
Sumuję: $3$ godziny oraz $20 + 15 = 35$ minut.
Kontrola: gdyby ktoś odjął w słupku $13{:}15 - 9{:}40$ , dostałby $3{:}75$ — liczbę, która w zapisie czasu nie istnieje ✓

Odpowiedź: Podróż trwała $3$ godziny $35$ minut.

10Najczęstsze błędy

Cztery błędy związane z jednostkami czasu. Pierwszy jest najczęstszy w całej szkolnej matematyce jednostek.

Zapis godzin i minut jako liczby dziesiętnej

Skąd się bierze: Godzina trzydzieści bywa zapisywana jako jeden i trzydzieści setnych, choć oznacza to osiemnaście minut. Minuty liczy się do sześćdziesięciu, więc pół godziny to pięć dziesiątych, a nie trzydzieści setnych.

Jak zrobić dobrze: Zamieniaj minuty osobnym działaniem, dzieląc przez sześćdziesiąt. Cztery wartości warto znać na pamięć: kwadrans to ćwierć godziny, dwadzieścia minut to jedna trzecia, pół godziny to pięć dziesiątych, trzy kwadranse to siedemdziesiąt pięć setnych.

Odejmowanie czasu w słupku

Skąd się bierze: Słupek używa pożyczki równej dziesięć, a przy czasie sąsiednie jednostki dzieli sześćdziesiąt. Wynik wychodzi wtedy zawyżony i często ma postać niemożliwą, na przykład trzy godziny siedemdziesiąt pięć minut.

Jak zrobić dobrze: Dojdź najpierw do pełnej godziny, potem policz całe godziny, a na końcu dodaj pozostałe minuty. Ta metoda nie wymaga pamiętania o żadnej pożyczce.

Mnożenie zamiast dzielenia przy zamianie na większą jednostkę

Skąd się bierze: Kierunek zamiany łatwo pomylić, bo oba działania wyglądają w zapisie podobnie. Przeliczenie sekund na minuty przez mnożenie daje liczbę trzy tysiące sześćset razy za dużą — bo zamiast podzielić przez sześćdziesiąt, mnoży się przez sześćdziesiąt, a te dwa błędy się składają.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj, czy przechodzisz na jednostkę mniejszą, czy większą — na mniejsze mnożysz, na większe dzielisz. Kontrola: ta sama chwila w sekundach musi dać liczbę większą niż w minutach.

Traktowanie miesiąca jako jednostki o stałej długości

Skąd się bierze: Miesiące mają od dwudziestu ośmiu do trzydziestu jeden dni, więc liczenie „miesiąc to trzydzieści dni” daje wynik przybliżony. W zadaniach kalendarzowych ta różnica przesuwa datę o kilka dni.

Jak zrobić dobrze: Licz dniami, sprawdzając długość każdego miesiąca z osobna. Pamiętaj też o roku przestępnym — jeśli w przedziale jest luty, trzeba ustalić, czy ma dwadzieścia osiem czy dwadzieścia dziewięć dni.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — godziny, minuty i sekundy

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje wielkość, która się nie zmienia — i to ona rozwiązuje większość tych zadań. Raz jest to całkowita praca (liczba maszyn × czas — zawsze ta sama, choćbyśmy inaczej rozłożyli ją w czasie), raz pełny czas przeliczony na jedną jednostkę. Czerwona to wielkość, którą do niej dopasowujemy. Gdy ta sama barwa pojawia się po obu stronach — to ta sama wielkość zapisana inaczej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktłatwe

Martyna przez 20 minut słuchała kolejno nagrań ćwiczeń językowych. Czas odtwarzania nagrania każdego ćwiczenia w całości jest równy 250 sekund. Ile najwięcej ćwiczeń w całości Martyna mogła wysłuchać w tym czasie?

A. $4$
B. $5$
C. $8$
D. $12$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Czasy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy. Nagrania są w sekundach, zamieniamy więc minuty na sekundy.
$20$ minut $= 20 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{1200}$ sekund.
Sprawdzamy, ile razy mieści się w tym jedno nagranie: $\textcolor{#16A06A}{1200} : \textcolor{#E0453A}{250} = 4{,}8$ .
Kluczowe słowa: „ile najwięcej ćwiczeń w całości”. Ułamka nagrania nie liczymy — piąte ćwiczenie zostałoby przerwane.
Zatem Martyna wysłuchała 4 całe nagrania — odpowiedź A.
Sprawdzenie: $4 \cdot \textcolor{#E0453A}{250} = 1000$ s, czyli zostaje jeszcze 200 s — za mało na całe piąte nagranie (potrzeba 250 s).

💡 Wskazówka: Przy pytaniach „ile najwięcej całych” wynik dzielenia zawsze zaokrąglaj w dół, niezależnie od tego, co jest po przecinku. Nawet 4,99 znaczy „cztery”.

⚠ Najczęstszy błąd: zaokrąglenie $4{,}8$ w górę do 5 (kusząca odpowiedź B). Drugi błąd: pominięcie zamiany jednostek i dzielenie $250 : 20$ .

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Podróż pociągiem z Olsztyna do Gdyni planowo trwa 2 godziny i 54 minuty. Pewnego dnia pociąg wyjechał z Olsztyna punktualnie o wyznaczonej godzinie, ale przyjechał do Gdyni z czterominutowym opóźnieniem — o godzinie

17\!:\!31

. Dokończ zdanie.
Pociąg wyjechał z Olsztyna o godzinie

A. $14\!:\!27$
B. $14\!:\!41$
C. $14\!:\!31$
D. $14\!:\!33$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Najprościej zacząć od planowego przyjazdu. Pociąg spóźnił się 4 minuty, więc planowo miał być w Gdyni o $17\!:\!31 - 4$ min $= \textcolor{#16A06A}{17\!:\!27}$ .
Skoro wyjechał punktualnie, to od planowego przyjazdu odejmujemy planowy czas jazdy: $\textcolor{#16A06A}{17\!:\!27} - \textcolor{#E0453A}{2\text{ h }54\text{ min}}$ .
Odejmujemy etapami — najpierw godziny: $17\!:\!27 - 2$ h $= 15\!:\!27$ .
Potem minuty: $15\!:\!27 - 54$ min. Od $15\!:\!27$ cofamy 27 minut do $15\!:\!00$ , zostaje jeszcze $54 - 27 = 27$ minut — czyli $14\!:\!33$ .
Odpowiedź D.
Sprawdzenie drugą drogą: rzeczywisty czas jazdy to $2$ h $54$ min $+ 4$ min $= 2$ h $58$ min. Wtedy $17\!:\!31 - 2$ h $58$ min $= 14\!:\!33$ ✓

💡 Wskazówka: Odejmuj czas etapami: najpierw pełne godziny, potem minuty — i przy minutach cofaj się najpierw do pełnej godziny. To znacznie bezpieczniejsze niż liczenie „w pamięci naraz”.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie opóźnienia zamiast odjęcia (wyszłoby $14\!:\!41$ — kusząca odpowiedź B). Skoro pociąg przyjechał później, niż planowano, planowy przyjazd był wcześniej.

Zadanie 3 (czerwiec 2022)1 pkttrudniejsze

O godzinie

14\!:\!50

Maciek wyruszył pociągiem z Gdańska do Grudziądza. Najpierw dojechał do Iławy, gdzie po 50-minutowym oczekiwaniu wsiadł do pociągu do Grudziądza. Czas całej podróży przedstawiono na osi podzielonej na 20 jednakowych odstępów, z których:

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Etap	przejazd Gdańsk → Iława	oczekiwanie w Iławie	przejazd Iława → Grudziądz
Liczba odstępów	9	5	6

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przejazd z Iławy do Grudziądza trwał jedną godzinę.	P	F
Maciek przyjechał do Grudziądza o godzinie $18\!:\!10$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Cała sztuczka polega na ustaleniu, ile minut trwa jeden odstęp — a jedyną znaną wielkością jest oczekiwanie w Iławie.
Oczekiwanie zajmuje $\textcolor{#E0453A}{5}$ odstępów i trwa $\textcolor{#16A06A}{50}$ minut, więc jeden odstęp to $\textcolor{#16A06A}{50} : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{10}$ minut.
Zdanie 1. Przejazd z Iławy do Grudziądza to $\textcolor{#E0453A}{6}$ odstępów, czyli $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 60$ minut — dokładnie jedna godzina ✓ — prawda.
Zdanie 2. Cała podróż to $\textcolor{#E0453A}{20}$ odstępów, czyli $20 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 200$ minut $= 3$ godziny i 20 minut.
Dodajemy do godziny wyjazdu: $14\!:\!50 + 3$ h $= 17\!:\!50$ , a potem $+ 20$ min $= 18\!:\!10$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Gdy oś ma równe odstępy, zawsze najpierw znajdź wartość jednego odstępu — wystarczy jedna znana wielkość i liczba przypadających na nią odstępów. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że każdy z trzech etapów zajmuje po tyle samo odstępów (bo „oś podzielono równo”). Równe są odstępy, a nie etapy — etapy obejmują ich różną liczbę.

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Asia wzięła udział w zajęciach teatralnych. Zajęcia składały się z 2 części, każda trwała tyle samo minut. Pomiędzy pierwszą a drugą częścią była 10-minutowa przerwa. Zajęcia rozpoczęły się o godzinie

17\!:\!45

, a zakończyły o

19\!:\!05

. Dokończ zdanie.
Druga część zajęć rozpoczęła się o godzinie

A. $18\!:\!20$
B. $18\!:\!25$
C. $18\!:\!30$
D. $18\!:\!35$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw łączny czas zajęć: od $17\!:\!45$ do $19\!:\!05$ . Do $18\!:\!45$ mija godzina, a stamtąd do $19\!:\!05$ jeszcze 20 minut — razem $\textcolor{#16A06A}{80}$ minut.
Odejmujemy przerwę, żeby zostały same części: $\textcolor{#16A06A}{80} - 10 = \textcolor{#E0453A}{70}$ minut.
Obie części trwały tyle samo, więc każda: $\textcolor{#E0453A}{70} : 2 = 35$ minut.
Pierwsza część: od $17\!:\!45$ przez 35 minut, czyli do $18\!:\!20$ .
Potem 10 minut przerwy — druga część zaczyna się o $18\!:\!20 + 10$ min $= 18\!:\!30$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Rysuj sobie oś czasu z zaznaczonymi odcinkami: część — przerwa — część. Widać wtedy od razu, że przerwę trzeba odjąć przed dzieleniem na pół.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie godziny zakończenia pierwszej części ( $18\!:\!20$ — kusząca odpowiedź A) zamiast rozpoczęcia drugiej. Między nimi jest jeszcze 10 minut przerwy.

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pkttrudniejsze

Na treningu odmierzano 15-minutowe cykle ćwiczeń, następujące bezpośrednio jeden po drugim. Ola zaczęła ćwiczyć, gdy pierwszy cykl trwał już 2 minuty, a skończyła, gdy do końca trzeciego cyklu zostało jeszcze 7 minut. Ile łącznie minut Ola ćwiczyła na zajęciach?

A. $36$
B. $35$
C. $24$
D. $21$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Rozbijamy ćwiczenie Oli na trzy kawałki — po jednym z każdego cyklu.
Cykl 1: Ola weszła po 2 minutach, więc ćwiczyła $15 - 2 = 13$ minut.
Cykl 2: przećwiczyła go w całości — $15$ minut.
Cykl 3: skończyła, gdy zostało 7 minut, więc przećwiczyła $15 - 7 = 8$ minut.
Razem: $13 + 15 + 8 = 36$ minut — odpowiedź A.
Sprawdzenie inną drogą: trzy pełne cykle to $\textcolor{#16A06A}{45}$ minut. Ola opuściła $\textcolor{#E0453A}{2}$ minuty na początku i $\textcolor{#E0453A}{7}$ na końcu, czyli $\textcolor{#16A06A}{45} - \textcolor{#E0453A}{2} - \textcolor{#E0453A}{7} = 36$ ✓

💡 Wskazówka: Sposób „od całości”: policz wszystkie cykle, a potem odejmij to, czego Ola nie ćwiczyła (początek i koniec). Zwykle szybciej niż sumowanie kawałków.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie „do końca trzeciego cyklu zostało 7 minut” jako „ćwiczyła 7 minut trzeciego cyklu”. To odwrotnie — ćwiczyła $15 - 7 = 8$ minut.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)1 pktśrednie

Wydajność dużej pompy strażackiej to 24 000 litrów wody na minutę, natomiast wydajność małej pompy to 1200 litrów wody na minutę. Mała pompa w ciągu 1 godziny pracy zużywa 0,931 litra paliwa. Uzupełnij zdania.

W ciągu jednej godziny działania dużej pompy strażackiej przepłynie przez nią AB litrów wody niż w tym samym czasie przez małą pompę.

A. 200 razy więcej
B. 20 razy więcej

Mała pompa w ciągu 15 godzin pracy zużyje CD litrów paliwa.

C. więcej niż 14
D. mniej niż 14

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Obie wydajności podano w tych samych jednostkach (litry na minutę), więc czas w ogóle nie jest potrzebny — wystarczy je podzielić.
$\textcolor{#16A06A}{24\,000} : \textcolor{#E0453A}{1200} = 20$ — duża pompa przepuszcza 20 razy więcej wody, odpowiedź B.
Drugie zdanie. Zużycie paliwa przez 15 godzin: $15 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}931}$ .
Zamiast mnożyć dokładnie, warto oszacować: $0{,}931$ to trochę mniej niż $0{,}94$ , a $15 \cdot 0{,}94 = 14{,}1$ . To już blisko granicy, więc policzmy dokładnie.
$15 \cdot \textcolor{#16A06A}{0{,}931} = \textcolor{#16A06A}{13{,}965}$ litra — a to mniej niż 14, odpowiedź D.
Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Sprytne oszacowanie: gdyby pompa zużywała równo $0{,}933\ldots$ l/h, przez 15 godzin wyszłoby dokładnie 14 l. Skoro zużywa mniej ( $0{,}931$ ), to i suma jest mniejsza od 14.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: mnożenie przez 60 (bo „godzina”) po obu stronach i zgubienie się w zerach. Skoro porównujemy dwie wydajności w tych samych jednostkach, czas się skraca.

Zadanie 7 (grudzień 2017)1 pktśrednie

Tata Bartka analizuje bezpośrednie połączenia z Krakowa do Warszawy:

Wyjazd	Przyjazd	Środek transportu	Długość trasy	Cena biletu
1:35	6:30	autobus	298 km	27 zł
2:32	5:12	pociąg	293 km	60 zł
5:00	8:48	pociąg	364 km	65 zł
5:53	8:10	pociąg	293 km	49 zł

Oceń prawdziwość podanych zdań.

Za przejazd w najkrótszym czasie należy zapłacić 49 zł.	P	F
Zgodnie z rozkładem jazdy tylko przejazd autobusem trwa dłużej niż 4 godziny.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Tabela podaje godziny, ale nie czasy przejazdu — musimy je policzyć sami dla każdego wiersza.
Autobus: $1\!:\!35 \to 6\!:\!30$ — do $6\!:\!35$ byłoby równe 5 godzin, więc jest $\textcolor{#16A06A}{4\text{ h }55\text{ min}}$ .
Pociąg 1: $2\!:\!32 \to 5\!:\!12$ — to $\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }40\text{ min}}$ .
Pociąg 2: $5\!:\!00 \to 8\!:\!48$ — to $\textcolor{#16A06A}{3\text{ h }48\text{ min}}$ .
Pociąg 3: $5\!:\!53 \to 8\!:\!10$ — to $\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }17\text{ min}}$ .
Zdanie 1. Najkrótszy czas to $\textcolor{#16A06A}{2\text{ h }17\text{ min}}$ — ostatni wiersz, gdzie bilet kosztuje $\textcolor{#E0453A}{49}$ zł ✓ — prawda.
Zdanie 2. Ponad 4 godziny trwa tylko autobus ( $4$ h $55$ min); wszystkie pociągi mieszczą się poniżej ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kolumny „długość trasy” i „cena” są tu częściowo rozpraszaczami — do obu zdań potrzebne są przede wszystkim czasy przejazdu. Policz je najpierw dla wszystkich wierszy, dopiero potem czytaj zdania.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór najtańszego biletu (27 zł, autobus) jako „najszybszego” albo mylenie najdłuższej trasy (364 km) z najdłuższym czasem. Najdłuższy czas ma autobus, mimo że jego trasa nie jest najdłuższa.

Zadanie 8 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Sześć maszyn produkuje pewną partię jednakowych butelek przez 4 godziny. Każda z maszyn pracuje z taką samą stałą wydajnością. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Przez 8 godzin taką samą partię butelek wykonają 3 takie maszyny.	P	F
Połowę partii takich butelek 6 maszyn wykona przez 2 godziny.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Wprowadzamy pojęcie maszynogodziny — to praca jednej maszyny przez jedną godzinę. Cała partia wymaga stałej liczby maszynogodzin, niezależnie od tego, jak rozłożymy pracę.
Cała partia: $6 \text{ maszyn} \cdot 4 \text{ h} = \textcolor{#16A06A}{24}$ maszynogodziny.
Zdanie 1. Trzy maszyny przez 8 godzin dają $\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{8} = \textcolor{#16A06A}{24}$ maszynogodziny — dokładnie tyle, ile trzeba ✓ — prawda.
Zdanie 2. Połowa partii to połowa pracy: $\textcolor{#16A06A}{24} : 2 = \textcolor{#16A06A}{12}$ maszynogodzin.
Sześć maszyn przez 2 godziny daje $\textcolor{#E0453A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#16A06A}{12}$ maszynogodzin ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj regułę: liczba maszyn × czas = stała. Dwa razy mniej maszyn oznacza dwa razy dłuższy czas — to proporcjonalność odwrotna.

⚠ Częsty błąd: myślenie proporcjonalnością prostą („mniej maszyn, więc krócej”). Jest dokładnie odwrotnie — mniej maszyn oznacza, że pracują dłużej.

Zadanie 9 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Cztery pompy o jednakowej wydajności, pracując jednocześnie, wypompowały wodę zgromadzoną w zbiorniku w czasie 12 godzin. Ile takich pomp należałoby użyć, aby tę samą ilość wody wypompować w ciągu 6 godzin?

A. $2$
B. $3$
C. $6$
D. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Cała praca do wykonania: $4 \text{ pompy} \cdot 12 \text{ h} = \textcolor{#16A06A}{48}$ pompogodzin — i ta liczba się nie zmienia.
Szukamy, ile pomp wykona tę samą pracę w $\textcolor{#E0453A}{6}$ godzin: $\textcolor{#16A06A}{48} : \textcolor{#E0453A}{6} = 8$ pomp.
Odpowiedź D.
Można też krócej, przez proporcję: czas skrócono dwukrotnie (z 12 na 6 godzin), więc pomp musi być dwa razy więcej — $4 \cdot 2 = 8$ ✓

💡 Wskazówka: Sprawdzian zdroworozsądkowy: skoro chcemy zrobić to samo szybciej, potrzeba więcej pomp. To od razu skreśla odpowiedzi A i B, w których pomp jest mniej niż 4.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby pomp przez 2 (odpowiedź A) — czyli potraktowanie zależności jako wprost proporcjonalnej. Im krótszy czas, tym więcej potrzeba pomp.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A	2. D	3. P, P	4. C	5. A	6. B, D
7. P, P	8. P, P	9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

11Pytania i odpowiedzi

Dlaczego godzina ma sześćdziesiąt minut, a nie sto?

Bo podział pochodzi od Babilończyków, którzy używali układu sześćdziesiątkowego. Powód był praktyczny: sześćdziesiąt dzieli się bez reszty przez dwa, trzy, cztery, pięć, sześć, dziesięć, dwanaście, piętnaście, dwadzieścia i trzydzieści, a dziesięć tylko przez dwa i pięć. Ten sam układ przetrwał w pomiarze kątów.

Ile sekund ma kwadrans?

Dziewięćset. Kwadrans to piętnaście minut, a każda minuta ma sześćdziesiąt sekund. Warto pamiętać też, że pół godziny to tysiąc osiemset sekund, a cała godzina trzy tysiące sześćset.

Dlaczego godzina trzydzieści to nie jeden i trzydzieści setnych?

Bo zapis dziesiętny opiera się na setnych, a minuty liczy się do sześćdziesięciu. Trzydzieści setnych godziny to osiemnaście minut, a pół godziny to pięć dziesiątych. Różnica między tymi zapisami wynosi dwanaście minut i przy stawce godzinowej kosztuje realne pieniądze.

Jak dodać dwie godziny czterdzieści pięć minut i godzinę trzydzieści minut?

Dodaj osobno godziny i osobno minuty — wychodzą trzy godziny i siedemdziesiąt pięć minut. Ponieważ minut jest więcej niż sześćdziesiąt, zamień sześćdziesiąt z nich na jedną godzinę. Wynik to cztery godziny i piętnaście minut.

Który rok jest przestępny?

Ten podzielny przez cztery, ale nie przez sto — chyba że dzieli się przez czterysta. Dlatego rok tysiąc dziewięćsetny nie był przestępny, a dwutysięczny był. Reguła istnieje, bo rok astronomiczny trwa nieco mniej niż trzysta sześćdziesiąt pięć i ćwierć dnia.

Kiedy zamieniać czas na postać dziesiętną?

Tylko wtedy, gdy wchodzi on do wzoru, na przykład na prędkość. Przy zwykłym dodawaniu i odejmowaniu czasu przeliczanie na ułamki godziny wydłuża rachunek i dokłada okazje do zaokrągleń, nic nie wnosząc.

Czytaj dalej

Zamiana jednostek — zadania z egzaminu ósmoklasistyDziewięć zadań z arkuszy CKE o czasie i wydajności Prędkość, droga, czas — teoriaTu czas trzeba już zamienić na postać dziesiętną Obliczenia praktyczne na egzaminieKalendarz, zegar i zadania z rozkładami jazdy Egzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.