Strona główna › Liczby i działania › Jednostki długości — zamiana krok po kroku

Jednostki długości — zamiana krok po kroku

Przy zamianie jednostek uczeń ma tak naprawdę jedno pytanie: mnożyć czy dzielić. Cała reszta to tabela przeliczników. Ta strona odpowiada najpierw na to pytanie, potem pokazuje, dlaczego przy jednostkach długości wystarcza przesunięcie przecinka — i gdzie w drabince czai się jedyny nieregularny skok.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Drabinka jednostek

Podstawa programowa szkoły podstawowej (wersja obowiązująca od 2025) wymienia je z nazwy — dział XII. Obliczenia praktyczne, punkt 6: „zamienia i prawidłowo stosuje jednostki długości: milimetr, centymetr, decymetr, metr, kilometr”. Pięć nazw i wszystkie warto znać razem z przelicznikami.

jednostkaskrótile w niej mniejszejile to metrów
milimetrmm—0,0010{,}001 m
centymetrcm1010 mm0,010{,}01 m
decymetrdm1010 cm0,10{,}1 m
metrm1010 dm11 m
kilometrkm10001000 m10001000 m

Trzy pierwsze szczeble — z milimetra na centymetr, dalej na decymetr i na metr — dzieli dziesiątka. To wygodne, bo daje się zapamiętać jako jeden rytm; czwarty szczebel z tego rytmu wypada.

Jedyny nieregularny skok w drabince

Między metrem a kilometrem NIE ma dziesiątki — jest tysiąc.

To najczęstsze źródło błędu w całym temacie. Uczeń przyzwyczaja się do „każdy szczebel razy dziesięć” i przy kilometrze mnoży przez 1010 zamiast przez 10001000 — wynik wychodzi sto razy za mały.

Powód jest historyczny: między metrem a kilometrem istnieją wprawdzie dekametr i hektometr, ale w szkole (i w praktyce) się ich nie używa. Zostaje więc skok o trzy zera.

Najużyteczniejsze przeliczniki warto mieć w pamięci gotowe:

1 cm=10 mm1 m=100 cm=1000 mm1 km=1000 m1\text{ cm} = 10\text{ mm} \qquad 1\text{ m} = 100\text{ cm} = 1000\text{ mm} \qquad 1\text{ km} = 1000\text{ m}

Dla wyobraźni: milimetr to grubość monety, centymetr — szerokość paznokcia, decymetr to mniej więcej długość dłoni, metr to duży krok, a kilometr — dziesięć minut spaceru.

2Mnożę czy dzielę

To jedyne pytanie, które naprawdę trzeba rozstrzygnąć, a odpowiedź mieści się w jednym zdaniu.

Reguła w jednym zdaniu

Z większej jednostki na mniejszą — MNOŻĘ. Bo małych jednostek mieści się w tej samej długości więcej.

Z mniejszej na większą — DZIELĘ. Bo dużych mieści się mniej.

Metr jest większy od centymetra, więc zamieniając metry na centymetry, mnożymy: 3\textcolor{#16A06A}{3} m =3⋅100=300= 3 \cdot 100 = \textcolor{#16A06A}{300} cm. Odwrotnie: 500\textcolor{#E0453A}{500} cm =500:100=5= 500 : 100 = \textcolor{#E0453A}{5} m.

Kontrola sensu jest natychmiastowa i nie wymaga rachunku. Zamieniasz na jednostkę mniejszą — liczba musi urosnąć. Zamieniasz na większą — musi zmaleć. Jeśli wyszło odwrotnie, pomyliłeś działanie.

zamianakierunekdziałanieprzykład
m → cmna mniejszą× 1003,53{,}5 m =350= 350 cm
km → mna mniejszą× 10000,750{,}75 km =750= 750 m
mm → mna większą: 100024002400 mm =2,4= 2{,}4 m
cm → mna większą: 100460460 cm =4,6= 4{,}6 m

Zwróć uwagę na trzeci wiersz: liczba 24002400 zmieniła się w 2,42{,}4 — zmalała, bo metr jest większy od milimetra. Sama wielkość liczby nic nie znaczy; znaczenie ma kierunek zamiany.

3Przecinek zamiast rachunku

Skoro wszystkie przeliczniki to 1010, 100100 i 10001000, to mnożenie i dzielenie sprowadza się do przesunięcia przecinka.

3,5 m→350 cm45 mm→4,5 cm→0,045 m3{,}5\text{ m} \to \textcolor{#16A06A}{350}\text{ cm} \qquad 45\text{ mm} \to \textcolor{#E0453A}{4{,}5}\text{ cm} \to \textcolor{#2F80D8}{0{,}045}\text{ m}

Liczbę zer w przeliczniku warto czytać wprost jako liczbę miejsc: z metrów na milimetry to trzy zera, czyli trzy miejsca. Z kilometrów na centymetry — pięć.

Jeśli przesuwanie przecinka jest jeszcze niepewne, opisuję je osobno przy ułamkach dziesiętnych i przy mnożeniu ułamków dziesiętnych.

Dlaczego z czasem tak nie wolno

Jednostki długości są dziesiętne — każdy szczebel to potęga dziesiątki, więc przecinek działa.

Jednostki czasu nie są: godzina ma 6060 minut, nie 100100. Dlatego 1,51{,}5 godziny to 11 h 3030 min, a zapis „1,301{,}30 h” nie znaczy godziny i trzydziestu minut. Piszę o tym przy jednostkach czasu.

To najważniejszy powód, żeby nie przenosić nawyków z jednego tematu na drugi.

4Skąd biorą się nazwy

Przedrostki nie są przypadkowe i znajomość czterech z nich zwalnia z zapamiętywania połowy tabeli.

przedrostekznaczeniez językaprzykład
mili-tysięczna częśćłac. mille — tysiącmilimetr =11000= \frac{1}{1000} m
centy-setna częśćłac. centum — stocentymetr =1100= \frac{1}{100} m
decy-dziesiąta częśćłac. decem — dziesięćdecymetr =110= \frac{1}{10} m
kilo-tysiąc razy więcejgr. chilioi — tysiąckilometr =1000= 1000 m

Te same przedrostki działają przy innych wielkościach, i to jest ich największa zaleta. Skoro „kilo-” znaczy tysiąc, to kilogram to tysiąc gramów, a kilobajt — tysiąc bajtów. Skoro „mili-” to tysięczna, to mililitr jest tysięczną częścią litra.

Warto zauważyć powiązanie, które porządkuje jeszcze więcej: litr to dokładnie objętość sześcianu o krawędzi 11 dm. Dlatego mililitr równa się centymetrowi sześciennemu — to nie zbieg okoliczności, tylko konstrukcja układu metrycznego.

Ten sam mechanizm rozpoznasz w słowie „centymetr” i „cent” (setna część dolara) albo w „milenium” (tysiąc lat). Nazwy jednostek są zbudowane z klocków, nie wymyślone osobno.

5Jednostki w zadaniach z treścią

W zadaniach największy kłopot sprawia nie sama zamiana, tylko moment, w którym trzeba ją wykonać.

Zasada jest jedna: najpierw sprowadź wszystko do tej samej jednostki, dopiero potem licz. Dodawanie 120120 cm i 3,43{,}4 m bez zamiany daje bezsensowną liczbę.

120 cm+3,4 m=120 cm+340 cm=460 cm=4,6 m120\text{ cm} + 3{,}4\text{ m} = 120\text{ cm} + \textcolor{#16A06A}{340}\text{ cm} = 460\text{ cm} = 4{,}6\text{ m}

Którą jednostkę wybrać? Zwykle tę mniejszą, bo wtedy unika się ułamków. Ale jeśli zadanie pyta o wynik w metrach, na końcu i tak trzeba wrócić — warto to zaplanować, zanim się zacznie.

  1. przeczytaj, w czym ma być odpowiedź — to często inna jednostka niż dane,
  2. zamień wszystkie dane na jedną jednostkę przed pierwszym działaniem,
  3. licz,
  4. wróć do jednostki, o którą pytano, i dopisz ją przy wyniku.

Zamiana jednostek wraca potem w niemal każdym dziale — przy obwodach figur, polach, w zadaniach o skali i o prędkości. Warto ją mieć opanowaną wcześnie, bo później jest tylko narzędziem, a nie tematem.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: zamiana w obie strony, przejście przez kilka szczebli i zadanie z treścią.

Przykład 1 W obie strony

Zamień: 3,53{,}5 m na centymetry oraz 24002400 mm na metry.

  1. Pierwsza zamiana: z metrów na centymetry, czyli na jednostkę mniejszą — mnożę.
  2. Przelicznik to 100100, więc przesuwam przecinek o dwa miejsca w prawo: 3,53{,}5 m =350= 350 cm.
  3. Kontrola: liczba urosła z 3,53{,}5 do 350350, a tak być powinno przy przejściu na mniejszą jednostkę ✓
  4. Druga zamiana: z milimetrów na metry, czyli na jednostkę większą — dzielę.
  5. Przelicznik to 10001000, więc przesuwam przecinek o trzy miejsca w lewo: 24002400 mm =2,4= 2{,}4 m.
  6. Kontrola: liczba zmalała z 24002400 do 2,42{,}4 ✓
  7. Kontrola sensu: 2,42{,}4 m to mniej więcej wysokość pokoju, a 24002400 mm to ta sama długość — zgadza się ✓

Odpowiedź: 3,53{,}5 m =350= 350 cm, 24002400 mm =2,4= 2{,}4 m

Obie kontrole zajmują sekundę i wyłapują najczęstszy błąd — pomylenie kierunku. Nie trzeba do nich niczego liczyć, wystarczy spojrzeć, czy liczba urosła, czy zmalała.

Przykład 2 Przez kilka szczebli naraz

Zamień 4545 mm na centymetry, decymetry i metry.

  1. Na centymetry: przelicznik 1010, jednostka większa, więc dzielę — przecinek o jedno miejsce w lewo: 4545 mm =4,5= 4{,}5 cm.
  2. Na decymetry: od milimetra do decymetra są dwa szczeble po dziesięć, czyli przelicznik 100100. Przecinek o dwa miejsca: 4545 mm =0,45= 0{,}45 dm.
  3. Na metry: przelicznik 10001000, przecinek o trzy miejsca: 4545 mm =0,045= 0{,}045 m.
  4. Kontrola kierunku: przy każdym kroku w górę drabinki liczba maleje — 4545, potem 4,54{,}5, potem 0,450{,}45, potem 0,0450{,}045 ✓
  5. Kontrola przez powrót: 0,0450{,}045 m ⋅1000=45\cdot 1000 = 45 mm ✓
  6. Kontrola sensu: 4545 mm to około szerokości dwóch palców, więc ułamek metra — zgadza się ✓

Odpowiedź: 4545 mm =4,5= 4{,}5 cm =0,45= 0{,}45 dm =0,045= 0{,}045 m

Zamiast przeskakiwać po jednym szczeblu, lepiej od razu policzyć przelicznik między jednostką wyjściową a docelową — liczba zer mówi wprost, o ile miejsc przesunąć przecinek.

Przykład 3 Zadanie z treścią

Jedna deska ma 120120 cm, druga 3,43{,}4 m. Ile mają razem? Podaj wynik w metrach.

  1. Dane są w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicam — bez tego dodawanie nie ma sensu.
  2. Wybieram centymetry, bo unikam wtedy ułamków: 3,43{,}4 m =340= 340 cm.
  3. Dodaję: 120+340=460120 + 340 = 460 cm.
  4. Zadanie pyta o metry, więc wracam: 460460 cm =4,6= 4{,}6 m.
  5. Kontrola: 1,21{,}2 m +3,4+ 3{,}4 m =4,6= 4{,}6 m — ten sam wynik drogą przez metry ✓
  6. Kontrola sensu: wynik musi być większy od dłuższej deski (3,43{,}4 m) i mniejszy od podwojonej (6,86{,}8 m) ✓

Odpowiedź: 4,64{,}6 m

Ostatnie dwa kroki są najczęściej pomijane. Uczeń liczy poprawnie 460460, po czym zapisuje „460460 m” albo zostawia centymetry, choć pytano o metry. Przeczytanie polecenia jeszcze raz na koniec kosztuje pięć sekund.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy kilometra i jest najczęstszy w całym temacie.

Mnożenie przez 10 zamiast przez 1000 przy kilometrze

Skąd się bierze: Drabinka mm–cm–dm–m ma równe szczeble po dziesięć, więc uczeń przenosi ten rytm dalej i liczy 22 km =20= 20 m. Tymczasem między metrem a kilometrem jest skok tysiąckrotny — wynik wychodzi sto razy za mały.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj kilometr osobno od reszty drabinki: 11 km =1000= 1000 m, zawsze trzy zera. Kontrola z życia: 11 km to około dziesięciu minut spaceru, więc 2020 m to na pewno nie dwa kilometry.

Pomylenie kierunku — mnożenie zamiast dzielenia

Skąd się bierze: Uczeń zamienia 500500 cm na metry i mnoży, dostając 5000050000 m. Kierunek został odwrócony: centymetr jest mniejszy od metra, więc liczba powinna zmaleć, a nie urosnąć.

Jak zrobić dobrze: Przed rachunkiem zdecyduj, czy idziesz na jednostkę mniejszą, czy większą, i sprawdź wynik: na mniejszą — liczba rośnie, na większą — maleje. Ta kontrola nie wymaga liczenia.

Dodawanie liczb w różnych jednostkach

Skąd się bierze: Do 120120 cm dodaje się 3,43{,}4 m i wychodzi 123,4123{,}4 — liczba, która nie znaczy nic. Dodawać wolno tylko wielkości wyrażone w tej samej jednostce.

Jak zrobić dobrze: Ujednolicaj przed pierwszym działaniem, nie po. Wybierz zwykle jednostkę mniejszą, żeby uniknąć ułamków, i dopiero na końcu wróć do tej, o którą pytano.

Podanie wyniku w niewłaściwej jednostce

Skąd się bierze: Rachunek jest poprawny, ale odpowiedź brzmi „460460 m” zamiast „4,64{,}6 m” albo zostaje w centymetrach, choć zadanie prosiło o metry. Punkt przepada mimo dobrego rozumowania.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz liczyć, podkreśl w poleceniu, w czym ma być odpowiedź. Na koniec przeczytaj polecenie jeszcze raz i sprawdź, czy jednostka przy wyniku się zgadza.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — długości przedmiotów i odległości w terenie

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Prawie każde zadanie z tego działu to jedno mnożenie — trzeba tylko wiedzieć, co przez co. Dlatego zielony jest wymiar na planie albo na rysunku (to, co mierzymy linijką), a czerwony — przelicznik skali, czyli liczba mówiąca, ile razy rzeczywistość jest większa. Wynik w terenie zostaje czarny, bo to on jest odpowiedzią.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2026)1 pkttrudniejsze

Jurek narysował na kratce położenia trzech obiektów: muzeum (MM), wieży widokowej (WW) i schroniska (SS). Wieża widokowa znajduje się 3 km na północ i 4 km na zachód od schroniska. Muzeum znajduje się 5 km na wschód od schroniska. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Schronisko, wieża widokowa i muzeum — kierunki i odległości4 km3 km5 kmN↑SWM
Odległość w linii prostej schroniska od muzeum jest równa odległości w linii prostej schroniska od wieży widokowej.PF
Odległość w linii prostej muzeum od wieży widokowej jest mniejsza niż 10 km.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Najwygodniej ustawić schronisko SS w początku układu: kierunek wschodni to „w prawo”, północny — „w górę”.
  2. S=(0, 0)S = (0,\ 0)  •  W=(−4, 3)W = (\textcolor{#16A06A}{-4},\ \textcolor{#16A06A}{3})  •  M=(5, 0)M = (\textcolor{#16A06A}{5},\ 0)
  3. Zdanie 1. Odległość SS od MM mierzymy wzdłuż linii wschód–zachód: 5\textcolor{#16A06A}{5} km.
  4. Odległość SS od WW liczymy z twierdzenia Pitagorasa (przesunięcie 4\textcolor{#16A06A}{4} km w bok i 3\textcolor{#16A06A}{3} km w górę):
  5. 42+32=16+9=25=5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{4}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = \textcolor{#E0453A}{5} km
  6. Obie odległości wynoszą 55 km ✓ — prawda. (To znajomy trójkąt 33–44–55.)
  7. Zdanie 2. Z WW do MM przesuwamy się o 4+5=9\textcolor{#16A06A}{4} + \textcolor{#16A06A}{5} = \textcolor{#16A06A}{9} km na wschód i 3\textcolor{#16A06A}{3} km na południe:
  8. 92+32=81+9=90≈9,5\sqrt{\textcolor{#16A06A}{9}^2 + \textcolor{#16A06A}{3}^2} = \sqrt{81 + 9} = \sqrt{90} \approx \textcolor{#E0453A}{9{,}5} km
  9. 9,5<10\textcolor{#E0453A}{9{,}5} < 10 ✓ — prawda.
  10. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Porównanie z 10 km można zrobić bez pierwiastkowania: 90\sqrt{90} wobec 1010 to to samo co 9090 wobec 100100. Mniejsza liczba pod pierwiastkiem — mniejsza odległość.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie przesunięć zamiast użycia Pitagorasa (9+3=129 + 3 = 12 km). Odległość „w linii prostej” to przeciwprostokątna, a nie suma drogi na wschód i na południe.

Zadanie 2 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Na planie miasta wykonanym w skali 1 : 5000 odległość w linii prostej między wejściem do papugarni a wejściem do muzeum zabawek jest równa 8,4 cm. Dokończ zdanie.
W terenie odległość między wejściami do tych obiektów jest w linii prostej równa
  • A. 4,24{,}2 m
  • B. 4242 m
  • C. 420420 m
  • D. 42004200 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Skala 1:50001 : \textcolor{#E0453A}{5000} znaczy: 1 cm na planie to 5000 cm w terenie.
  2. Krok 1 — mnożymy przez przelicznik.
  3. 8,4 cm⋅5000=42 000\textcolor{#16A06A}{8{,}4} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{5000} = 42\,000 cm
  4. Krok 2 — zamieniamy na metry. W metrze jest 100100 cm:
  5. 42 000:100=42042\,000 : 100 = 420 m.
  6. Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Skrót wart zapamiętania: przy skali 1:50001:5000 1 cm na planie to 50 m w terenie (bo 50005000 cm =50= 50 m). Wtedy 8,4⋅50=4208{,}4 \cdot 50 = 420 m — jednym mnożeniem.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na centymetrach albo podzielenie przez 10001000 zamiast przez 100100 (wychodzi wtedy 4242 m — odpowiedź B). Warto pilnować, w jakiej jednostce są odpowiedzi.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

Na planie miasta odległość w linii prostej od punktu oznaczającego przystanek autobusowy Dworzec do punktu oznaczającego przystanek Galeria jest równa 8 cm. Plan miasta został wykonany w skali 1 : 4000. Dokończ zdanie.
Odległość w linii prostej w terenie między tymi przystankami jest równa
  • A. 320320 m
  • B. 500500 m
  • C. 32003200 m
  • D. 50005000 m
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Skala 1:40001 : \textcolor{#E0453A}{4000} znaczy, że 11 cm na planie odpowiada 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm w terenie.
  2. Krok 1 — odległość w centymetrach.
  3. 8 cm⋅4000=32 000\textcolor{#16A06A}{8} \text{ cm} \cdot \textcolor{#E0453A}{4000} = 32\,000 cm
  4. Krok 2 — zamiana na metry.
  5. 32 000:100=32032\,000 : 100 = 320 m.
  6. Odpowiedź A.
  7. Szybciej: 4000\textcolor{#E0453A}{4000} cm =40= 40 m, więc 8⋅40=320\textcolor{#16A06A}{8} \cdot 40 = 320 m ✓

💡 Wskazówka: Odpowiedź 32003200 m (czyli ponad 3 km między dwoma przystankami w centrum miasta) powinna od razu wydać się podejrzana. Sprawdzanie, czy wynik ma sens, wyłapuje większość błędów jednostkowych.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie liczby centymetrów przez 1010 zamiast przez 100100 — stąd bierze się kusząca odpowiedź C.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Listewkę o długości 50 cm planowano pociąć na równe części. Iwona zaproponowała podział na kawałki po 5 cm i zaznaczyła na listewce czerwonym kolorem linie cięcia. Agata chciała podzielić tę samą listewkę na części po 2 cm i linie cięcia zaznaczyła na zielono. Ile razy linia czerwona pokrywała się z linią zieloną?
Listewka 50 cm z liniami cięcia co 5 cm i co 2 cmcięcia Iwony — co 5 cmcięcia Agaty — co 2 cm050 cm
  • A. 55
  • B. 44
  • C. 33
  • D. 22
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Linie pokrywają się tam, gdzie odległość od początku listewki jest jednocześnie wielokrotnością 5\textcolor{#16A06A}{5} i wielokrotnością 2\textcolor{#16A06A}{2} — czyli wielokrotnością ich najmniejszej wspólnej wielokrotności:
  2. NWW(5,2)=10\text{NWW}(\textcolor{#16A06A}{5}, \textcolor{#16A06A}{2}) = \textcolor{#E0453A}{10} cm
  3. Wypisujemy wielokrotności 10\textcolor{#E0453A}{10} mieszczące się na listewce:
  4. 10\textcolor{#E0453A}{10},  20\textcolor{#E0453A}{20},  30\textcolor{#E0453A}{30},  40\textcolor{#E0453A}{40} — to cztery miejsca.
  5. Uwaga na koniec listewki: 5050 cm to nie linia cięcia, tylko koniec deski — nikt tam nie tnie.
  6. Odpowiedź B — linie pokryły się 44 razy.

💡 Wskazówka: Kontrola: Iwona zaznaczyła 9 linii (5,10,…,455, 10, \ldots, 45), a Agata 24 (2,4,…,482, 4, \ldots, 48) — w obu przypadkach o jedną mniej, niż wychodzi z dzielenia, bo koniec listewki się nie liczy.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie 5050 cm i podanie odpowiedzi 55. Cięcie na nn równych części wymaga n−1n-1 nacięć — skrajny punkt to już brzeg materiału.

Zadania otwarte

Zadanie 5 (grudzień 2018)3 pkttrudniejsze

Agata przygotowuje kartkę okolicznościową w kształcie prostokąta o wymiarach 15 cm × 18 cm, ozdobioną wzorem z jednakowych kwadratów. Kwadraty są obrócone o 45°45° i stykają się wierzchołkami, tworząc łańcuszek wzdłuż krawędzi kartki: wzdłuż krótszego boku (15 cm) mieszczą się trzy takie kwadraty jeden za drugim, a wzdłuż dłuższego boku (18 cm) — cztery. Bok kwadratu wyraża się całkowitą liczbą centymetrów. Oblicz maksymalną długość boku jednego kwadratu. Do obliczeń przyjmij przybliżenie 2≈1,4\sqrt{2} \approx 1{,}4. Zapisz obliczenia.
Kartka 15 cm × 18 cm z łańcuszkiem obróconych kwadratów wzdłuż krawędzi15 cm18 cm
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3 cm

  1. Kwadraty stoją „na rogu”, więc wzdłuż krawędzi kartki każdy z nich zajmuje swoją przekątną, a nie bok.
  2. Krok 1 — przekątna kwadratu o boku aa.
  3. d=a2≈1,4 ad = \textcolor{#16A06A}{a}\sqrt2 \approx \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a}
  4. Krok 2 — warunek dla krótszego boku (15 cm). Trzy przekątne muszą się zmieścić:
  5. 3⋅1,4 a≤153 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  4,2 a≤154{,}2\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 15  →  a≤3,57…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}57\ldots
  6. Krok 3 — warunek dla dłuższego boku (18 cm). Tu przekątnych jest cztery:
  7. 4⋅1,4 a≤184 \cdot \textcolor{#E0453A}{1{,}4}\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  5,6 a≤185{,}6\,\textcolor{#16A06A}{a} \le 18  →  a≤3,21…\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21\ldots
  8. Krok 4 — wybieramy największą liczbę całkowitą. Muszą być spełnione oba warunki, więc decyduje ten ostrzejszy: a≤3,21\textcolor{#16A06A}{a} \le 3{,}21.
  9. Największa taka liczba całkowita to a=3\textcolor{#16A06A}{a} = 3 cm.
  10. Sprawdzenie: dla a=3a = 3 przekątna wynosi 4,24{,}2 cm, więc trzy przekątne to 12,6≤1512{,}6 \le 15 ✓, a cztery — 16,8≤1816{,}8 \le 18 ✓
  11. Dla a=4a = 4: przekątna 5,65{,}6 cm, trzy przekątne to już 16,8>1516{,}8 > 15 ✗ — nie mieści się.
  12. Odpowiedź: maksymalna długość boku kwadratu wynosi 3 cm.

💡 Wskazówka: Gdy warunki są dwa, zawsze wygrywa ostrzejszy — czyli ten, który dopuszcza mniej. Warto na koniec podstawić wynik do obu i sprawdzić, że oba są spełnione.

⚠ Najczęstszy błąd: użycie boku kwadratu zamiast przekątnej (3a≤153a \le 15 daje a≤5a \le 5). Skoro kwadraty są obrócone o 45°45°, wzdłuż krawędzi kartki układa się ich przekątna, czyli odcinek o około 40%40\% dłuższy od boku.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. P, P2. C3. A4. B5. 3 cm

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Ile centymetrów ma metr?

Sto. Metr to także 1010 decymetrów i 10001000 milimetrów. Zamieniając metry na centymetry, mnożysz przez 100100, czyli przesuwasz przecinek o dwa miejsca w prawo: 3,53{,}5 m to 350350 cm.

Kiedy mnożyć, a kiedy dzielić przy zamianie jednostek?

Z większej jednostki na mniejszą — mnożysz, bo małych mieści się więcej. Z mniejszej na większą — dzielisz. Kontrola bez rachunku: przy zamianie na mniejszą jednostkę liczba musi urosnąć, przy zamianie na większą — zmaleć.

Ile metrów ma kilometr?

Tysiąc — i to jedyny nieregularny skok w drabince jednostek długości. Wszystkie pozostałe szczeble (mm, cm, dm, m) dzieli dziesiątka, dlatego uczniowie często mnożą tu przez 1010 i otrzymują wynik sto razy za mały.

Co oznaczają przedrostki mili-, centy-, decy- i kilo-?

Mili- to tysięczna część, centy- setna, decy- dziesiąta, a kilo- tysiąc razy więcej. Działają tak samo przy innych wielkościach: kilogram to tysiąc gramów, a mililitr — tysięczna część litra.

Jak zamieniać jednostki, przesuwając przecinek?

Liczba zer w przeliczniku mówi, o ile miejsc przesunąć przecinek: przy ×10\times 10 o jedno, przy ×100\times 100 o dwa, przy ×1000\times 1000 o trzy — w prawo przy mnożeniu, w lewo przy dzieleniu. Działa to, bo jednostki długości są dziesiętne.

Czy tak samo zamienia się jednostki czasu?

Nie. Jednostki długości są dziesiętne, więc przecinek działa, ale godzina ma 6060 minut, nie 100100. Dlatego 1,51{,}5 godziny to 11 h 3030 min, a zapisu „1,301{,}30 h” nie należy czytać jako godziny i trzydziestu minut.

Jaka jest podstawowa jednostka długości?

Podstawową jednostką długości w układzie SI jest metr. Pozostałe — milimetr, centymetr, decymetr i kilometr — są jego wielokrotnościami albo częściami, a przeliczniki między sąsiednimi jednostkami wynoszą dziesięć, sto albo tysiąc.

Czytaj dalej

Jednostki czasuUkład niedziesiętny — tu przesuwanie przecinka nie zadziałaUłamki dziesiętnePrzesuwanie przecinka opisane od podstawObwody figurPierwsze miejsce, gdzie zamiana jednostek jest potrzebnaPola figurTam jednostki są kwadratowe i przeliczniki inne
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.