Strona główna › Liczby i działania › Oś liczbowa — liczby jako punkty

Oś liczbowa — liczby jako punkty

Oś liczbowa to prosty pomysł o ogromnych konsekwencjach: każdej liczbie odpowiada jeden punkt, a każdemu punktowi jedna liczba. Dzięki temu porównywanie liczb staje się patrzeniem, a odejmowanie — mierzeniem odległości. Ta strona pokazuje, co z tego wynika i dlaczego między dwiema liczbami jest ich nieskończenie wiele.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasa 4 – maturaZadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co to jest oś liczbowa

To prosta, na której zaznaczono punkt zerowy, kierunek i jednostkę — czyli odcinek odpowiadający liczbie jeden.

Te trzy elementy wystarczą, żeby każdej liczbie przypisać dokładnie jedno miejsce. Dwójka leży dwie jednostki na prawo od zera, minus trzy — trzy jednostki na lewo.

Przypisanie działa w obie strony i jest jednoznaczne. To właśnie czyni oś tak użyteczną: pytania o liczby zamieniają się w pytania o położenie.

Kierunek jest umowny, ale przyjęty powszechnie: w prawo rosną. Wszystko, co dalej powiemy o porównywaniu, opiera się na tej umowie.

Oś liczbowa jest też pierwszym krokiem do układu współrzędnych — tam osie są dwie i opisują punkty na płaszczyźnie.

2Porządek: co znaczy „większa”

Na osi porównywanie przestaje być regułą do zapamiętania, a staje się obserwacją.

Liczba położona bardziej w prawo jest większa. Zawsze, po obu stronach zera, bez wyjątków.

Stąd wynika własność, która bez osi wygląda jak paradoks: −7-7 jest mniejsze od −3-3, choć siódemka jest większa od trójki. Na osi minus siedem leży dalej w lewo.

Praktyczna wskazówka przy liczbach ujemnych: porównaj ich odległości od zera i odwróć wynik. Większa odległość od zera to mniejsza liczba.

Zero jest granicą — każda liczba ujemna jest mniejsza od każdej dodatniej i od samego zera.

To rozumienie porządku przydaje się później przy nierównościach: zapis x>3x > 3 oznacza cały fragment osi na prawo od trójki.

3Gdzie leży ułamek

Zaznaczenie ułamka to dwa kroki i warto je rozdzielić.

Krok pierwszy: ustal, między którymi liczbami całkowitymi leży. Ułamek niewłaściwy zamień na liczbę mieszaną — 74=134\tfrac{7}{4} = 1\tfrac{3}{4}, więc punkt jest między 11 a 22.

Krok drugi: podziel odcinek jednostkowy na tyle części, ile wynosi mianownik, i odlicz tyle, ile mówi licznik. Przy 34\tfrac{3}{4} dzielimy na cztery części i bierzemy trzecią kreskę.

Mianownik mówi więc, jak gęsto dzielimy, a licznik — którą kreskę wybieramy. To dosłowne odczytanie zapisu ułamka.

Przy ułamkach ujemnych działa ta sama zasada, tylko w lewo. Liczba −74-\tfrac{7}{4} leży między −2-2 a −1-1, bliżej dwójki ujemnej.

Kontrola sensowności: ułamek właściwy zawsze leży między zerem a jedynką, a ułamek większy od jedynki — na prawo od niej.

4Odległość i wartość bezwzględna

Oś nadaje sens pojęciu odległości między liczbami — i to jest jej druga wielka zaleta.

Odległość między dwiema liczbami to różnica większej i mniejszej. Jest zawsze nieujemna, bo odległość ujemna nie istnieje.

Gdy obie liczby są dodatnie, to zwykłe odejmowanie. Gdy jedna jest ujemna, odległości od zera się dodają: od −3-3 do 22 jest trzy plus dwa, czyli pięć jednostek.

Rachunek daje to samo: 2−(−3)=2+3=52 - (-3) = 2 + 3 = 5. Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej — i na osi widać dlaczego.

Wartość bezwzględna liczby to jej odległość od zera. Dlatego ∣−5∣=5|-5| = 5 i ∣5∣=5|5| = 5 — obie liczby leżą pięć jednostek od zera, tylko po przeciwnych stronach.

To pojęcie wchodzi już w klasie szóstej, razem z liczbami całkowitymi — podstawa programowa wymienia je w dziale „Liczby całkowite” dla klas IV–VI: „oblicza wartość bezwzględną”. Bywa mylące, dopóki nie zobaczy się go właśnie jako odległości.

5Między dwiema liczbami jest ich nieskończenie wiele

Własność, która na osi staje się oczywista, a bez niej brzmi abstrakcyjnie.

Między 00 a 11 leży 12\tfrac{1}{2}. Między 00 a 12\tfrac{1}{2} leży 14\tfrac{1}{4}. Między 00 a 14\tfrac{1}{4} — 18\tfrac{1}{8}. Ten podział można powtarzać bez końca.

Stąd wniosek: między dowolnymi dwiema różnymi liczbami mieści się nieskończenie wiele innych. Nie istnieje coś takiego jak „następna liczba po jednej drugiej”.

To odróżnia liczby wymierne od liczb naturalnych, gdzie po dwójce jest trójka i nic pomiędzy.

Co więcej, oś nie składa się z samych ułamków. Punkty takie jak pierwiastek z dwóch czy liczba π\pi też mają na niej swoje miejsca, choć nie da się ich zapisać ułamkiem.

Liczby, które wypełniają oś bez luk, nazywa się rzeczywistymi. Nazwa jest myląca — nie chodzi o realność, tylko o to, że pokrywają całą prostą.

6W której klasie się to pojawia

Oś liczbowa wchodzi wcześnie i wraca za każdym razem, gdy program poszerza zbiór liczb.

Ciekawostka dydaktyczna: to jedno z niewielu narzędzi używanych nieprzerwanie od czwartej klasy do matury i za każdym razem w tej samej postaci. Zmienia się tylko to, co się na niej zaznacza.

7Ćwicz dalej

Materiał jest rozdzielony według poziomu:

Test gotowości: między którymi liczbami całkowitymi leży −114-\tfrac{11}{4} i bliżej której z nich? Jeśli odpowiadasz „między −3-3 a −2-2, bliżej −3-3”, materiał tej strony jest opanowany — bo trzeba było naraz zamienić ułamek na liczbę mieszaną, odbić kierunek na ujemną stronę osi i porównać odległości.

8Przykłady krok po kroku

Trzy własne przykłady: zaznaczenie ułamka, porównanie ułamków ujemnych i odległość między liczbami po obu stronach zera.

Przykład 1 Zaznaczanie ułamka na osi

Gdzie na osi liczbowej leży 74\dfrac{7}{4}?

  1. Zamieniam ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: 74=134\dfrac{7}{4} = 1\dfrac{3}{4}.
  2. Część całkowita to 11, więc punkt leży między 11 a 22.
  3. Mianownik 44 mówi, że odcinek od 11 do 22 dzielę na cztery równe części.
  4. Licznik części ułamkowej to 33, więc odliczam trzy kreski od jedynki.
  5. Kontrola: 34\tfrac{3}{4} to więcej niż połowa, więc punkt musi leżeć bliżej dwójki ✓
  6. Mianownik powiedział, jak gęsto dzielić, licznik — którą kreskę wybrać.

Odpowiedź: Punkt leży między 11 a 22, w trzech czwartych drogi od jedynki.

Przykład 2 Porównanie ułamków ujemnych

Która liczba jest większa: −12-\dfrac{1}{2} czy −13-\dfrac{1}{3}?

  1. Porównuję odległości od zera: 12\tfrac{1}{2} i 13\tfrac{1}{3}. Połowa jest większa niż jedna trzecia.
  2. Przy liczbach ujemnych ten wynik odwracam — większa odległość od zera oznacza mniejszą liczbę.
  3. Zatem −12-\tfrac{1}{2} leży dalej w lewo, czyli jest mniejsze.
  4. Większa jest liczba −13-\dfrac{1}{3}.
  5. Kontrola na osi: idąc od −12-\tfrac{1}{2} w prawo, dochodzimy do −13-\tfrac{1}{3}, a w prawo znaczy w stronę liczb większych ✓
  6. Bez osi ten wynik wygląda na paradoks — z osią jest oczywisty.

Odpowiedź: Większa jest liczba −13-\dfrac{1}{3}.

Przykład 3 Odległość po obu stronach zera

Jaka jest odległość między liczbami −4-4 a 33 na osi liczbowej?

  1. Liczby leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległości od zera się dodają.
  2. Od −4-4 do 00 są cztery jednostki, od 00 do 33 — trzy jednostki.
  3. Razem: 4+3=74 + 3 = 7 jednostek.
  4. Rachunkowo to samo: 3−(−4)=3+4=73 - (-4) = 3 + 4 = 7 ✓
  5. Odległość wyszła dodatnia — i tak musi być, bo odległość ujemna nie istnieje.
  6. Zwróć uwagę, że wartość bezwzględna każdej z tych liczb to jej odległość od zera: ∣−4∣=4|-4| = 4, ∣3∣=3|3| = 3.

Odpowiedź: Odległość wynosi 77 jednostek.

9Najczęstsze błędy

Cztery błędy związane z osią liczbową. Pierwszy wraca aż do liceum.

Porównywanie liczb ujemnych po samych cyfrach

Skąd się bierze: Odruch podpowiada, że minus siedem jest większe od minus trzech, bo siedem jest większe od trzech. Na osi minus siedem leży jednak dalej w lewo, a w lewo znaczy w stronę liczb mniejszych.

Jak zrobić dobrze: Porównaj odległości od zera i odwróć wynik. Jeszcze prościej: wyobraź sobie oś i sprawdź, która liczba leży bardziej w prawo — ta jest większa, po obu stronach zera.

Dzielenie odcinka na złą liczbę części

Skąd się bierze: Przy zaznaczaniu ułamka mianownik mówi, na ile części dzielimy odcinek jednostkowy. Podzielenie go na tyle części, ile wynosi licznik, umieszcza punkt w zupełnie innym miejscu.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj role: mianownik dzieli, licznik odlicza. Przy trzech czwartych odcinek dzieli się na cztery części i bierze trzecią kreskę, nie odwrotnie.

Podawanie odległości jako liczby ujemnej

Skąd się bierze: Odejmowanie w niewłaściwej kolejności daje wynik ujemny, który zostaje zapisany jako odpowiedź. Odległość jest jednak zawsze nieujemna — nie ma minus pięciu jednostek między dwoma punktami.

Jak zrobić dobrze: Odejmuj mniejszą liczbę od większej albo policz odległości od zera i dodaj, jeśli liczby leżą po przeciwnych stronach. Wynik ujemny to zawsze sygnał odwróconej kolejności.

Szukanie „następnej liczby” po ułamku

Skąd się bierze: Wśród liczb naturalnych po dwójce jest trójka, więc odruch przenosi się na ułamki. Między dowolnymi dwiema różnymi liczbami mieści się jednak nieskończenie wiele innych, więc następnej po jednej drugiej po prostu nie ma.

Jak zrobić dobrze: Przy pytaniach o liczby leżące między dwiema podanymi szukaj przykładów, a nie następnika. Zawsze da się wskazać choćby ich średnią arytmetyczną, a potem powtarzać ten krok bez końca.

Karta pracy: oś liczbowa i ułamki na osi

Zestaw na wydruk: zaznaczanie ułamków zwykłych i dziesiętnych, porównywanie liczb ujemnych i odległość między liczbami po obu stronach zera. Klucz odpowiedzi na ostatniej stronie, żeby dziecko najpierw spróbowało samo.

Przejdź do kart pracy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty PP, RR i SS. Odcinek PSPS jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów PP i RR podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu SS jest równa
Oś liczbowa z punktami P, R i S P−3R7S?
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktPRS
Kreska od początku058
Współrzędna−37?
  • A. 1010
  • B. 1111
  • C. 1313
  • D. 1515
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

  1. Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
  2. Od PP do RR jest 5\textcolor{#E0453A}{5} działek, a wartość rośnie z −3-3 do 77, czyli o 7−(−3)=107 - (-3) = 10.
  3. Jedna działka: 10:5=210 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}.
  4. Teraz punkt SS — dzieli go od PP aż 8\textcolor{#E0453A}{8} działek: S=−3+8⋅2=−3+16=13S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13.
  5. Odpowiedź C.
  6. Można też krócej, licząc od RR: od RR do SS zostają 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, więc S=7+3⋅2=13S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13 ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między PP a RR jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty: RR, SS, TT, WW. Odcinek RWRW jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów SS i WW podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Oś liczbowa z punktami R, S, T i W R?S287T?W311
Dane z rysunku — wersja tekstowa
PunktRSTW
Kreska od początku0235
Współrzędna?287?311
Współrzędne punktów RR i TT różnią się o 24.PF
Współrzędna punktu RR jest równa 271.PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

  1. Zaczynamy od wartości jednej działki. Między SS (druga kreska) a WW (piąta kreska) są 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
  2. Jedna działka: 24:3=824 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}.
  3. Teraz odczytujemy pozostałe punkty. RR leży 2\textcolor{#E0453A}{2} działki przed SS: R=287−2⋅8=287−16=271R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271.
  4. TT leży 1\textcolor{#E0453A}{1} działkę za SS: T=287+8=295T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295.
  5. Zdanie 1: T−R=295−271=24T - R = 295 - 271 = 24 ✓ — prawda. (Widać to też od razu: RR i TT dzielą 3\textcolor{#E0453A}{3} działki, czyli 3⋅8=243 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24.)
  6. Zdanie 2: R=271R = 271 ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro SS i WW różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między SS a WW są trzy, tak samo jak między RR a TT (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami (−26)\left(-\dfrac{2}{6}\right) oraz (−16)\left(-\dfrac{1}{6}\right) znajduje się liczba
Oś liczbowa z podziałką co 1/6 i zaznaczonym przedziałem między −2/6 a −1/6−1−2/6−1/60
  • A. −14-\dfrac{1}{4}
  • B. −13-\dfrac{1}{3}
  • C. −512-\dfrac{5}{12}
  • D. −12-\dfrac{1}{2}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
  2. Granice przedziału: −26=−0,33…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots} oraz −16=−0,16…\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}
  3. A. −14=−0,25-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25} — leży między −0,33\textcolor{#16A06A}{-0{,}33} a −0,17\textcolor{#16A06A}{-0{,}17} ✓
  4. B. −13=−0,33…-\dfrac13 = -0{,}33\ldots — to dokładnie granica (bo 13=26\tfrac13 = \tfrac26), więc nie leży *między* ✗
  5. C. −512≈−0,42-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42 — za daleko w lewo ✗  ·  D. −12=−0,5-\dfrac12 = -0{,}5 — jeszcze dalej ✗
  6. Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to (−412,−212)\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right), a odpowiedzi to −312-\tfrac{3}{12}, −412-\tfrac{4}{12}, −512-\tfrac{5}{12}, −612-\tfrac{6}{12}. Od razu widać, że pasuje tylko −312-\tfrac{3}{12}.

⚠ Najczęstszy błąd: wybór −13-\tfrac13, bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu −26=−13-\tfrac26 = -\tfrac13 — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom −2,3-2{,}3 i 13\dfrac{1}{3}, jest równa
Oś liczbowa z punktami −2,3 oraz 1/3−3−2−101−2,31/3
  • A. −2,3−13-2{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • B. 2,3−132{,}3 - \dfrac{1}{3}
  • C. 13−2,3\dfrac{1}{3} - 2{,}3
  • D. 13+2,3\dfrac{1}{3} + 2{,}3
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

  1. Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
  2. Większa jest 13\textcolor{#16A06A}{\dfrac13} (dodatnia), mniejsza −2,3\textcolor{#E0453A}{-2{,}3} (ujemna).
  3. Odległość =13−(−2,3)= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}), a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
  4. =13+2,3= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3 — odpowiedź D.
  5. Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: 2,32{,}3 w lewo i 13\tfrac13 w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie −2,3-2{,}3 jako 2,32{,}3 i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia (1−56)−0,5\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5 znajduje się między
  • A. −1-1 i −0,5-0{,}5
  • B. −0,5-0{,}5 i 00
  • C. 00 i 0,50{,}5
  • D. 0,50{,}5 i 11
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw liczymy nawias: 1−56=161 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}.
  2. Teraz odejmujemy 0,5=12=360{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}.
  3. 16−36=−26=−13\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}.
  4. Zamieniamy na ułamek dziesiętny: −13≈−0,33-\dfrac13 \approx -0{,}33.
  5. Ta liczba leży między −0,5-0{,}5 a 00 — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią (16\tfrac16), a odejmujemy od niej 0,50{,}5 — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako 56\tfrac56 (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba 120\sqrt{120} znajduje się na osi liczbowej między
  • A. 1010 i 1111
  • B. 1111 i 1212
  • C. 1212 i 2020
  • D. 3030 i 4040
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

  1. Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
  2. 102=100\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}  oraz  112=121\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}.
  3. Skoro 100<120<121\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}, to po spierwiastkowaniu: 10<120<11\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}.
  4. Odpowiedź A.
  5. Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż 121\textcolor{#E0453A}{121}, więc 120≈10,95\sqrt{120} \approx 10{,}95.

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza 112=12111^2 = 121, 122=14412^2 = 144, 132=16913^2 = 169, 152=22515^2 = 225. Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb   0\;0,   34\;\dfrac{3}{4},   −52\;-\dfrac{5}{2},   −2  \;-2\; jest równa
Oś liczbowa z liczbami −5/2, −2, 0 i 3/4−3−2−101−5/2−203/4
  • A. 1341\dfrac{3}{4}
  • B. 3143\dfrac{1}{4}
  • C. 2342\dfrac{3}{4}
  • D. 1141\dfrac{1}{4}
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

  1. Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: 00,  34=0,75\tfrac34 = 0{,}75,  −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5,  −2-2.
  2. Rosnąco: −2,5<−2<0<0,75-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75.
  3. Największa to 34\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}, najmniejsza to −52\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}.
  4. Odległość =34−(−52)=0,75+2,5=3,25= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25.
  5. Zamieniamy na liczbę mieszaną: 3,25=3143{,}25 = 3\dfrac{1}{4} — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: −52=−2,5-\tfrac52 = -2{,}5 jest mniejsze od −2-2, mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie −2-2 za najmniejszą (bo 2<2,52 < 2{,}5 „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby 2342\tfrac34 — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C2. P, P3. A4. D5. B6. A
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

10Pytania i odpowiedzi

Co to jest oś liczbowa?

Prosta z zaznaczonym zerem, kierunkiem i jednostką. Te trzy elementy wystarczą, żeby każdej liczbie przypisać dokładnie jeden punkt, a każdemu punktowi jedną liczbę. Dzięki temu porównywanie liczb staje się patrzeniem, gdzie która leży.

Która liczba ujemna jest większa?

Ta leżąca bliżej zera. Minus trzy jest większe od minus siedmiu, bo na osi znajduje się bardziej w prawo. Przy porównywaniu liczb ujemnych porównaj odległości od zera i odwróć wynik — większa odległość oznacza mniejszą liczbę.

Gdzie na osi leży siedem czwartych?

Między jedynką a dwójką, w trzech czwartych drogi od jedynki. Zamień ułamek niewłaściwy na liczbę mieszaną: część całkowita mówi, między którymi liczbami całkowitymi szukać, mianownik na ile części dzielić odcinek, a licznik którą kreskę zaznaczyć.

Jak policzyć odległość między dwiema liczbami?

Odejmij mniejszą od większej — odległość jest zawsze nieujemna. Gdy liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległości od zera się dodają, co rachunkowo wychodzi tak samo, bo odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie dodatniej.

Co to jest wartość bezwzględna?

Odległość liczby od zera na osi. Dlatego wartość bezwzględna minus pięciu i pięciu jest taka sama i wynosi pięć — obie liczby leżą pięć jednostek od zera, tylko po przeciwnych stronach. Widziana jako odległość, przestaje być mylącym pojęciem.

Ile liczb mieści się między zerem a jedynką?

Nieskończenie wiele. Między zerem a jedynką leży jedna druga, między zerem a jedną drugą — jedna czwarta, i tak bez końca. Dlatego nie istnieje „następna liczba” po ułamku, w odróżnieniu od liczb naturalnych, gdzie po dwójce jest trójka.

Czytaj dalej

Oś liczbowa — zadania z egzaminu ósmoklasistySiedem zadań z arkuszy CKE z rysunkami i rozwiązaniamiUłamki — teoriaTrzy znaczenia ułamka, w tym punkt na osiUkład współrzędnych — teoriaDwie osie zamiast jednej i punkty na płaszczyźnieEgzamin ósmoklasisty z matematykiWszystkie działy, arkusze i sposób przygotowania
Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-30. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.