Strona główna › Liczby i działania › Mnożenie sposobem pisemnym

Mnożenie sposobem pisemnym

Mnożenie pisemne przez liczbę jednocyfrową to prosty rachunek. Prawdziwa trudność zaczyna się przy mnożniku wielocyfrowym, bo pojawia się wtedy krok, którego nie ma w żadnym innym działaniu pisemnym: drugi wiersz przesuwa się o jedno miejsce w lewo. Prawie nikt nie tłumaczy dlaczego — i stąd biorą się błędy.

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–5Zadań z E8: 6

Przejdź od razu do zadań (6) ↓

1Mnożnik jednocyfrowy i przeniesienia

Zaczynamy od prawej, czyli odwrotnie niż przy dzieleniu pisemnym. Mnożymy każdą cyfrę mnożnej przez mnożnik, idąc od jedności.

Weź $347 \cdot 6$ . Siedem razy sześć to $42$ — piszemy $2$ , a czwórkę przenosimy nad następną cyfrę. Cztery razy sześć to $24$ , plus przeniesione $4$ daje $28$ : piszemy $8$ , przenosimy $2$ . Trzy razy sześć to $18$ , plus $2$ daje $20$ .

347 \cdot 6 = 2082

Kolejność w kroku środkowym jest kluczowa: najpierw mnożymy, dopiero potem dodajemy przeniesienie. Dodanie go przed mnożeniem daje zupełnie inny wynik — o tym w sekcji o błędach.

Cały rachunek stoi na tabliczce mnożenia. Dziecko, które musi liczyć $4 \cdot 6$ na palcach, gubi po drodze przeniesienie, bo pamięć robocza jest zajęta czym innym.

2Mnożnik dwucyfrowy — dwa wiersze

Tu pojawia się to, co odróżnia mnożenie od pozostałych działań pisemnych: liczymy dwa razy i dodajemy wyniki.

Weź $34 \cdot 26$ . Mnożymy najpierw przez jedności mnożnika, potem przez dziesiątki — i te dwa iloczyny częściowe dodajemy.

krok	co liczymy	wynik
1	$34 \cdot 6$ (jedności)	$204$
2	$34 \cdot 20$ (dziesiątki)	$680$
3	suma iloczynów częściowych	$204 + 680 = 884$

34 \cdot 26 = 34 \cdot 6 + 34 \cdot 20 = 204 + 680 = 884

W zapisie pisemnym drugiego iloczynu nie liczymy jako $34 \cdot 20$ — liczymy $34 \cdot 2$ i przesuwamy wynik o jedno miejsce w lewo. To skrót, który daje ten sam efekt: $34 \cdot 2 = 68$ , a przesunięcie o miejsce robi z tego $680$ .

Przy mnożniku trzycyfrowym wierszy są trzy, a przesunięcia dwa: drugi wiersz o jedno miejsce, trzeci o dwa.

3Dlaczego wiersz się przesuwa

To nie jest umowa ani sztuczka zapisu — to konsekwencja tego, czym jest cyfra dziesiątek.

Dwójka w liczbie $26$ nie oznacza dwóch. Oznacza dwie dziesiątki, czyli dwadzieścia. Mnożąc przez nią, mnożymy tak naprawdę przez $20$ — a wynik mnożenia przez $20$ jest dziesięć razy większy niż mnożenia przez $2$ .

34 \cdot \textcolor{#16A06A}{20} = 34 \cdot 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 68 \cdot \textcolor{#16A06A}{10} = 680

Mnożenie przez dziesięć to dopisanie zera, czyli przesunięcie wszystkich cyfr o jedno miejsce w lewo. I dokładnie to robi puste miejsce pod drugim wierszem.

Jak to powiedzieć dziecku

„Drugi wiersz zaczynamy pisać o jedno okienko dalej, bo mnożymy nie przez dwa, tylko przez dwadzieścia.”

Niektórzy nauczyciele każą w tym miejscu wpisać zero zamiast zostawiać puste pole — i to jest dobra praktyka, bo pokazuje wprost, skąd przesunięcie się bierze.

Cała metoda to rozbicie mnożenia na sumę, czyli rozdzielność mnożenia względem dodawania: $34 \cdot 26$ to $34 \cdot (20 + 6)$ . Ten sam pomysł wróci w klasie siódmej przy wymnażaniu nawiasów.

4Zera w mnożniku

Zero w środku mnożnika to miejsce, w którym rachunek najczęściej się rozjeżdża.

Przy $128 \cdot 305$ mamy trzy cyfry mnożnika, więc trzy wiersze — ale środkowy to mnożenie przez zero, czyli same zera. Wielu uczniów pomija ten wiersz, przez co ostatni wiersz przesuwa się o jedno miejsce za mało.

128 \cdot 305 = 128 \cdot 5 + 128 \cdot 300 = 640 + 38400 = 39040

Bezpieczniej jest wiersz z zerami zapisać, choćby był bezużyteczny — wtedy przesunięcia liczą się same. Można też opuścić go świadomie, ale wówczas trzeba pamiętać, że ostatni wiersz przesuwa się o dwa miejsca, nie o jedno.

Zera na końcu mnożnika są łatwiejsze: $128 \cdot 300$ to $128 \cdot 3$ z dopisanymi dwoma zerami. Warto je odciąć na starcie i dopisać do wyniku — rachunek robi się wtedy o dwie kolumny krótszy.

5Szacowanie i sprawdzanie

W mnożeniu pisemnym błędy rzadko są drobne — zgubione przeniesienie albo przesunięcie zmienia wynik o rząd wielkości. Dlatego najskuteczniejszą kontrolą jest oszacowanie przed rachunkiem.

Zaokrąglij oba czynniki do wygodnych liczb i pomnóż w pamięci. Przy $34 \cdot 26$ szacujemy $30 \cdot 25 = 750$ — wynik powinien być w okolicach ośmiuset. Gdyby wyszło $200$ albo $8000$ , gdzieś zniknął albo doszedł rząd.

liczba cyfr wyniku — iloczyn liczby trzycyfrowej i dwucyfrowej ma cztery albo pięć cyfr, nigdy trzy,
ostatnia cyfra — jedności wyniku zależą tylko od jedności czynników; w $34 \cdot 26$ jest to cyfra jedności z $4 \cdot 6 = 24$ , czyli $4$ ✓
sprawdzenie dzieleniem — $884 : 26$ powinno dać $34$ .

Druga kontrola jest szczególnie tania: wystarczy pomnożyć w pamięci dwie ostatnie cyfry i porównać z wynikiem. Wyłapuje pomyłkę w pierwszym kroku, zanim rozniesie się na cały rachunek.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: mnożnik jednocyfrowy, dwucyfrowy i taki z zerem w środku.

Przykład 1 Mnożnik jednocyfrowy

Oblicz $347 \cdot 6$ .

Zaczynam od prawej: $7 \cdot 6 = 42$ . Piszę $2$ , przenoszę $4$ .
Następna cyfra: $4 \cdot 6 = 24$ . Najpierw mnożę, potem dodaję przeniesienie: $24 + 4 = 28$ . Piszę $8$ , przenoszę $2$ .
Ostatnia cyfra: $3 \cdot 6 = 18$ , plus przeniesione $2$ daje $20$ . Piszę $20$ .
Wynik: $2082$ .
Sprawdzenie szacowaniem: $350 \cdot 6 = 2100$ , a wyszło $2082$ — zgadza się co do rzędu ✓
Sprawdzenie ostatniej cyfry: jedności biorą się z $7 \cdot 6 = 42$ , więc wynik musi kończyć się dwójką ✓

Odpowiedź: $347 \cdot 6 = 2082$

Kolejność „mnożę, potem dodaję przeniesienie” jest tu jedynym miejscem, gdzie da się pomylić. Dodanie przeniesienia przed mnożeniem dałoby $4282$ — wynik ponad dwa razy za duży.

Przykład 2 Mnożnik dwucyfrowy

Oblicz $34 \cdot 26$ .

Mnożę przez jedności mnożnika: $34 \cdot 6 = 204$ . To pierwszy wiersz.
Mnożę przez cyfrę dziesiątek: $34 \cdot 2 = 68$ . To drugi wiersz — i zaczynam go pisać o jedno miejsce dalej w lewo, bo mnożę w istocie przez $20$ .
Przesunięty wiersz znaczy $680$ , a nie $68$ .
Dodaję iloczyny częściowe: $204 + 680 = 884$ .
Sprawdzenie rozpisaniem: $34 \cdot 26 = 34 \cdot 20 + 34 \cdot 6 = 680 + 204 = 884$ ✓
Sprawdzenie szacowaniem: $30 \cdot 25 = 750$ , więc wynik rzędu ośmiuset jest wiarygodny ✓

Odpowiedź: $34 \cdot 26 = 884$

Brak przesunięcia dałby $204 + 68 = 272$ — wynik ponad trzykrotnie za mały. To najczęstszy błąd przy mnożniku dwucyfrowym i najłatwiejszy do wyłapania szacowaniem.

Przykład 3 Zero w środku mnożnika

Oblicz $128 \cdot 305$ .

Mnożnik ma trzy cyfry, więc będą trzy wiersze — także ten dla zera.
Pierwszy wiersz: $128 \cdot 5 = 640$ .
Drugi wiersz: $128 \cdot 0 = 0$ , przesunięty o jedno miejsce. Same zera, ale zapisuję go, żeby nie zgubić przesunięcia.
Trzeci wiersz: $128 \cdot 3 = 384$ , przesunięty o dwa miejsca — bo trójka oznacza trzysta. To daje $38400$ .
Dodaję: $640 + 0 + 38400 = 39040$ .
Sprawdzenie szacowaniem: $130 \cdot 300 = 39000$ , a wyszło $39040$ ✓

Odpowiedź: $128 \cdot 305 = 39040$

Można pominąć wiersz z zerami, ale wtedy ostatni wiersz trzeba przesunąć o dwa miejsca. Zapisanie wiersza jest bezpieczniejsze, bo przesunięcia wychodzą wtedy same.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — dwa pierwsze są charakterystyczne wyłącznie dla mnożenia pisemnego.

Brak przesunięcia drugiego wiersza

Skąd się bierze: Uczeń mnoży przez cyfrę dziesiątek i zapisuje wynik równo pod pierwszym wierszem. Przy $34 \cdot 26$ daje to $\textcolor{#9b1c14}{204 + 68 = 272}$ zamiast $884$ — wynik ponad trzykrotnie za mały. Przyczyna jest zawsze ta sama: dwójkę w $26$ potraktowano jak dwa, a nie jak dwadzieścia.

Jak zrobić dobrze: Zanim zaczniesz drugi wiersz, powiedz na głos, przez co mnożysz: „przez dwadzieścia”, a nie „przez dwa”. Jeśli pomaga, wpisz zero w miejsce przesunięcia — wtedy widać, że wiersz znaczy $680$ .

Dodanie przeniesienia przed pomnożeniem

Skąd się bierze: Przy $347 \cdot 6$ po pierwszym kroku przenosimy $4$ . Uczeń dodaje ją do cyfry mnożnej i liczy $\textcolor{#9b1c14}{(4+4) \cdot 6 = 48}$ zamiast $4 \cdot 6 + 4 = 28$ . Wynik wychodzi $4282$ zamiast $2082$ — a rachunek wygląda porządnie.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj sztywną kolejność: pomnóż, potem dodaj przeniesienie. Przeniesienie to gotowe dziesiątki z poprzedniego kroku, nie część liczby, którą dopiero mnożysz.

Pominięcie wiersza dla zera w mnożniku

Skąd się bierze: Przy $128 \cdot 305$ uczeń opuszcza wiersz dla zera i pisze wiersz z trójką przesunięty tylko o jedno miejsce. Zamiast $38400$ wychodzi $3840$ , czyli dokładnie dziesięć razy za mało — a po dodaniu pierwszego wiersza cały wynik to $640 + 3840 = 4480$ zamiast $39040$ , prawie dziewięciokrotnie za mało.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj wiersz z zerami, choćby wydawał się bezużyteczny — przesunięcia policzą się same. Jeśli świadomie go pomijasz, przesuń następny wiersz o dwa miejsca zamiast o jedno.

Zgubienie przeniesienia przy ostatniej cyfrze

Skąd się bierze: Ostatnie przeniesienie nie ma już nad czym stanąć, więc bywa zapominane. Przy $347 \cdot 6$ trzeba dopisać całe $20$ z ostatniego kroku, a nie samo $0$ — pominięcie dwójki daje wynik krótszy o cyfrę.

Jak zrobić dobrze: Po ostatnim mnożeniu sprawdź, czy wynik ma sensowną liczbę cyfr. Iloczyn liczby trzycyfrowej i jednocyfrowej ma trzy albo cztery cyfry — jeśli wyszły trzy przy dużych czynnikach, brakuje przeniesienia.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zadania tekstowe

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje najważniejszą decyzję w każdym zadaniu tekstowym: zielona to wielkość, którą oznaczamy literą — zawsze ta, do której odnoszą się pozostałe. Czerwona to reszta, zapisana już przez nią. Dobry wybór zielonej rozwiązuje połowę zadania; zły — zamienia je w gąszcz ułamków.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (czerwiec 2023)3 pkttrudniejsze

Do księgarni dostarczono łącznie 240 książek w czterech językach. Książek w języku włoskim było 3 razy mniej niż w niemieckim, książek w angielskim było 2 razy więcej niż w niemieckim, a w francuskim o 20 więcej niż we włoskim. Oblicz, ile książek w języku francuskim dostarczono. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 40 książek

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę książek niemieckich — to do nich odnoszą się dwa pozostałe języki.
Włoskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}}$ . Angielskie: $\textcolor{#E0453A}{2n}$ . Francuskie: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3} + 20}$ .
Sumujemy wszystkie cztery: $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{n}{3}} + \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{2n} + \textcolor{#E0453A}{\left(\dfrac{n}{3} + 20\right)} = 240$ .
Mnożymy wszystko przez 3: $n + 3n + 6n + n + 60 = 720$ , czyli $11n = 660$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 60$ .
Włoskie: $60 : 3 = 20$ . Francuskie: $20 + 20 = 40$ .
Odpowiedź: dostarczono 40 książek w języku francuskim.
Sprawdzenie: $20 + 60 + 120 + 40 = 240$ ✓

💡 Wskazówka: Przy czterech wielkościach narysuj sobie krótką listę: „niemiecki = $n$ , włoski = …, angielski = …, francuski = …”. Dopiero potem sumuj — inaczej łatwo o pominięcie jednego składnika.

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $n = 60$ albo podanie liczby włoskich (20). Zadanie pyta o francuskie, więc trzeba zrobić jeszcze dwa kroki.

Zadanie 2 (czerwiec 2022)2 pktśrednie

W kasie są banknoty 20-złotowe i 50-złotowe. Liczba banknotów 20-złotowych jest taka sama jak liczba banknotów 50-złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów 50-złotowych jest o 6 tysięcy złotych większa od łącznej wartości banknotów 20-złotowych. Oblicz, ile banknotów 20-złotowych jest w kasie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 200 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę banknotów każdego rodzaju — jest ich tyle samo.
Wartość banknotów 50-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{50b}$ . Wartość 20-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{20b}$ .
Warunek: pięćdziesiątek jest o 6000 zł więcej: $\textcolor{#E0453A}{50\textcolor{#16A06A}{b}} - \textcolor{#E0453A}{20\textcolor{#16A06A}{b}} = 6000$ .
$30\textcolor{#16A06A}{b} = 6000$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 200$ .
Odpowiedź: w kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.
Sprawdzenie: $200 \cdot 50 = 10\,000$ zł, $200 \cdot 20 = 4000$ zł, a różnica to $6000$ zł ✓

💡 Wskazówka: Skoro banknotów jest po tyle samo, każda para (jedna dwudziestka + jedna pięćdziesiątka) daje różnicę 30 zł. Wystarczy więc podzielić $6000 : 30$ .

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie wartości zamiast odjęcia ( $70b = 6000$ ) albo pomylenie liczby banknotów z ich wartością. Sześć tysięcy to różnica kwot, nie liczba sztuk.

Zadanie 3 (maj 2021)2 pkttrudniejsze

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3,60 zł

Sprytne podejście: patrzymy na różnicę obu sytuacji, dzięki czemu nie musimy znać kwoty, którą Ania miała.
Gdyby kupiła 10 puszek, brakowałoby jej 11 zł. Kupując 6 puszek, zostało jej 3,40 zł.
Różnica w liczbie puszek: $10 - 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$ puszki.
Różnica w pieniądzach: od „zostało 3,40 zł” do „brakuje 11 zł” to $3{,}40 + 11 = \textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł.
Zatem $\textcolor{#E0453A}{4}$ puszki kosztują $\textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł, czyli jedna: $\textcolor{#16A06A}{14{,}40} : \textcolor{#E0453A}{4} = 3{,}60$ zł.
Odpowiedź: jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.
Sprawdzenie: Ania miała $6 \cdot 3{,}60 + 3{,}40 = 25$ zł. Na 10 puszek trzeba $36$ zł, więc brakowałoby jej $11$ zł ✓

💡 Wskazówka: Klasyczny schemat „za mało / za dużo”: dodaj brakującą kwotę do reszty, żeby otrzymać wartość różnicy w sztukach. Nie trzeba wtedy dwóch niewiadomych.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie $11 - 3{,}40$ zamiast dodania. Brakujące 11 zł i pozostałe 3,40 zł są po przeciwnych stronach — dlatego się sumują.

Zadanie 4 (marzec 2020)2 pktśrednie

Zmieszano 40 dag rodzynek w cenie 12 zł za kilogram oraz 60 dag pestek dyni w cenie 17 zł za kilogram. Ile kosztuje 1 kilogram tej mieszanki? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 zł

Najpierw zamieniamy jednostki: $40$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ kg, $60$ dag $= \textcolor{#16A06A}{0{,}6}$ kg.
Zauważ, że razem daje to $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} + \textcolor{#16A06A}{0{,}6} = \textcolor{#16A06A}{1}$ kg — czyli od razu dokładnie kilogram mieszanki.
Koszt rodzynek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 4{,}80$ zł.
Koszt pestek: $\textcolor{#16A06A}{0{,}6} \cdot \textcolor{#E0453A}{17} = 10{,}20$ zł.
Razem: $4{,}80 + 10{,}20 = 15$ zł — i to jest cena za cały kilogram mieszanki.
Odpowiedź: 1 kilogram mieszanki kosztuje 15 zł.

💡 Wskazówka: Sprawdź na początku, czy składniki sumują się do okrągłej masy — tutaj do 1 kg, więc na końcu nie trzeba nic przeliczać. To częsty zabieg w zadaniach o mieszankach.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie średniej cen $(12 + 17) : 2 = 14{,}50$ zł. To działałoby tylko przy równych masach — a tu pestek jest więcej, więc mieszanka jest droższa.

Zadanie 5 (czerwiec 2019)2 pktśrednie

Pan Jan wybrał z bankomatu 2900 zł. Na tę kwotę składały się łącznie 22 banknoty 200-złotowe i 100-złotowe. Ile banknotów 100-złotowych wybrał pan Jan? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę banknotów dwustuzłotowych. Skoro wszystkich jest 22, setek jest $\textcolor{#E0453A}{22 - d}$ .
Zapisujemy wartość: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 100\textcolor{#E0453A}{(22 - d)} = 2900$ .
Opuszczamy nawias: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 2200 - 100\textcolor{#16A06A}{d} = 2900$ .
$100\textcolor{#16A06A}{d} = 700$ , więc $\textcolor{#16A06A}{d} = 7$ banknotów po 200 zł.
Setek jest zatem $\textcolor{#E0453A}{22 - 7} = 15$ .
Odpowiedź: pan Jan wybrał 15 banknotów 100-złotowych.
Sprawdzenie: $7 \cdot 200 + 15 \cdot 100 = 1400 + 1500 = 2900$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na wszystkie setki”: gdyby wszystkie 22 banknoty były po 100 zł, dałyby 2200 zł. Brakuje 700 zł, a każda zamiana setki na dwusetkę dodaje 100 zł — stąd 7 dwusetek.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby banknotów 200-złotowych (7) zamiast setek. Warto podkreślić w treści, o które banknoty pyta zadanie.

Zadanie 6 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Bilet normalny na koncert kosztuje 45 zł, a cena biletu ulgowego stanowi

\dfrac{5}{9}

ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił 500 zł. Ile biletów każdego rodzaju zakupił Janek? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2 ulgowe i 10 normalnych

Krok 1 — cena biletu ulgowego: $\dfrac{5}{9} \cdot 45 = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
Krok 2 — oznaczenia. Niech $\textcolor{#16A06A}{u}$ to liczba biletów ulgowych (tych jest mniej). Normalnych jest pięć razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{5u}$ .
Krok 3 — równanie na koszt: $\textcolor{#E0453A}{25}\textcolor{#16A06A}{u} + 45 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\textcolor{#16A06A}{u}} = 500$ .
$25\textcolor{#16A06A}{u} + 225\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , czyli $250\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , więc $\textcolor{#16A06A}{u} = 2$ .
Biletów normalnych: $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot 2 = 10$ .
Odpowiedź: Janek kupił 2 bilety ulgowe i 10 normalnych.
Sprawdzenie: $2 \cdot 25 + 10 \cdot 45 = 50 + 450 = 500$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą tę wielkość, której jest mniej — wtedy drugą zapisujesz przez mnożenie. Gdybyśmy oznaczyli bilety normalne, ulgowe wyszłyby jako $\tfrac{n}{5}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie kroku z ceną ulgową i podstawienie $\tfrac59$ do równania kosztów. Najpierw policz konkretną cenę (25 zł), dopiero potem układaj równanie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. 40 książek

2. 200 banknotów

3. 3,60 zł

4. 15 zł

5. 15 banknotów

6. 2 ulgowe i 10 normalnych

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak mnożyć sposobem pisemnym?

Zacznij od prawej i mnóż każdą cyfrę mnożnej przez mnożnik, zapisując przeniesienia nad kolejnymi cyframi. Przy mnożniku wielocyfrowym powtórz to dla każdej cyfry mnożnika, przesuwając każdy kolejny wiersz o jedno miejsce w lewo, a na koniec dodaj wszystkie iloczyny częściowe.

Dlaczego drugi wiersz przesuwa się w lewo?

Bo cyfra dziesiątek nie oznacza swojej wartości, tylko dziesięć razy więcej. Mnożąc przez dwójkę w liczbie $26$ , mnożysz w istocie przez $20$ — a wynik jest wtedy dziesięć razy większy niż przy mnożeniu przez $2$ . Przesunięcie o jedno miejsce to właśnie to mnożenie przez dziesięć.

Co zrobić z zerem w mnożniku?

Najbezpieczniej zapisać cały wiersz zer i przesunąć go normalnie — przesunięcia następnych wierszy policzą się wtedy same. Można też ten wiersz pominąć, ale wówczas kolejny trzeba przesunąć o dwa miejsca, a nie o jedno. Pominięcie bez tej korekty jest częstym źródłem błędu.

Czy najpierw mnożymy, czy dodajemy przeniesienie?

Najpierw mnożymy cyfrę mnożnej przez mnożnik, a dopiero do gotowego iloczynu dodajemy przeniesienie. Odwrotna kolejność przy $347 \cdot 6$ daje $4282$ zamiast $2082$ . Przeniesienie to dziesiątki z poprzedniego kroku, nie część liczby, którą właśnie mnożysz.

Jak sprawdzić wynik mnożenia pisemnego?

Najszybciej oszacowaniem: zaokrąglij czynniki i pomnóż w pamięci — przy $34 \cdot 26$ szacunek $30 \cdot 25 = 750$ mówi, że wynik ma być rzędu ośmiuset. Dodatkowo sprawdź ostatnią cyfrę wyniku, bo zależy ona tylko od jedności czynników. Pewne, choć wolniejsze, jest sprawdzenie dzieleniem.

Przez jak duże liczby mnoży się w szkole podstawowej?

Podstawa programowa przewiduje mnożenie sposobem pisemnym przez liczby jedno-, dwu- i trzycyfrowe. Przy mnożniku trzycyfrowym wierszy jest trzy, a przesunięcia dwa: drugi wiersz o jedno miejsce, trzeci o dwa.

Czytaj dalej

Tabliczka mnożenia do 100Każdy krok tego algorytmu to jeden fakt z tabliczki Dzielenie pisemne liczbDziałanie odwrotne — i sposób sprawdzenia wyniku Odejmowanie sposobem pisemnymPrzeniesienie tutaj, pożyczanie tam — dwa lustrzane mechanizmy Kolejność wykonywania działańGdzie mnożenie stoi w wyrażeniu z kilkoma działaniami

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.