Liczby całkowite — zero, liczby dodatnie i ujemne

Q: Co to są liczby całkowite?

To liczby naturalne, liczby do nich przeciwne oraz zero: , -2, -1, 0, 1, 2, Nie mają części ułamkowej. Jest ich nieskończenie wiele w obie strony — nie istnieje ani największa, ani najmniejsza liczba całkowita.

Q: Czym różnią się liczby całkowite od naturalnych?

Naturalne to tylko 0, 1, 2, 3, , czyli nic na lewo od zera. Całkowite obejmują dodatkowo wszystkie liczby ujemne. Każda naturalna jest całkowita, ale -4 jest całkowita i nie jest naturalna.

Q: Czy -5 jest większe od -2?

Nie, jest mniejsze. Na osi liczbowej -5 leży dalej w lewo, a im bardziej w lewo, tym mniej. Myląca jest tu sama piątka — ale 5 zł długu to gorsza sytuacja niż 2 zł długu. Za to -5 leży dalej od zera niż -2, i to już jest inne pytanie.

Q: Czy zero jest liczbą dodatnią czy ujemną?

Ani jedną, ani drugą. Zero jest osobną kategorią — granicą między liczbami dodatnimi a ujemnymi. Jest też jedyną liczbą przeciwną samą do siebie.

Q: Dlaczego przy mnożeniu dwa minusy dają plus, a przy dodawaniu nie?

Bo to dwa różne działania. Dodanie długu do długu powiększa dług, więc (-3) + (-4) = -7. Mnożenie natomiast odwraca kierunek na osi, a odwrócenie dwa razy wraca do punktu wyjścia — stąd (-3) · (-4) = 12. Zawsze sprawdzaj znak działania między liczbami.

Q: W której klasie uczy się liczb ujemnych?

Pojęcie i cztery działania wchodzą w klasie szóstej. Potem wracają w wyrażeniach algebraicznych i równaniach w klasie siódmej, a wartość bezwzględna i potęgi liczb ujemnych w klasach siódmej i ósmej. Podstawa programowa nie przypisuje tego materiału do konkretnego rocznika.

Liczby ujemne to pierwszy moment w szkole, w którym oś liczbowa przestaje mieć początek. Wcześniej liczenie zaczynało się od zera i szło w prawo; teraz okazuje się, że w lewo też coś jest. Ta strona porządkuje cały dział: czym są liczby całkowite, jak je porównywać i gdzie szukać reguł dla każdego z czterech działań — bo każde z nich rządzi się inną regułą znaków i mieszanie ich to najczęstszy błąd w klasie szóstej.

Dział: Liczby całkowitePoziom: klasa 6Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Co to są liczby całkowite

Liczby całkowite to liczby naturalne, liczby do nich przeciwne oraz zero. Krótko: wszystko, co da się zaznaczyć na osi liczbowej w równych odstępach, bez części ułamkowej. Zero wymieniamy w tej definicji osobno tylko dla jasności — w polskiej szkole zero jest liczbą naturalną, więc mieści się już w pierwszym członie (a jako liczba przeciwna do samego siebie także w drugim).

\ldots,\ -3,\ -2,\ -1,\ \textcolor{#16A06A}{0},\ 1,\ 2,\ 3,\ \ldots

Wielokropki po obu stronach nie są ozdobnikiem — liczb całkowitych jest nieskończenie wiele w obie strony. Nie ma ani największej, ani najmniejszej.

Całkowite a naturalne — czym się różnią

Liczby naturalne to $0, 1, 2, 3, \ldots$ — tylko w prawo od zera.

Liczby całkowite to naturalne plus wszystkie ujemne: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$

Każda liczba naturalna jest całkowita, ale nie odwrotnie: $-4$ jest całkowita i nie jest naturalna.

Co nie jest liczbą całkowitą: $\frac{1}{2}$ , $0{,}7$ , $-2{,}5$ — wszystko, co ma część ułamkową. Zapis $\frac{6}{3}$ jest natomiast liczbą całkowitą, bo równa się $2$ ; liczy się wartość, nie zapis.

Ujemne liczby całkowite nie są abstrakcją — opisują wszystko, co ma dwa przeciwne kierunki: temperaturę poniżej zera, dług na koncie, piętra poniżej parteru, głębokość poniżej poziomu morza.

2Oś liczbowa i porównywanie

Na osi liczbowej liczby ustawione są rosnąco od lewej do prawej. To jedno zdanie rozstrzyga każde porównanie: większa jest ta liczba, która leży bardziej na prawo.

-5 < -2 < 0 < 3

Wśród liczb ujemnych działa to odwrotnie niż podpowiada intuicja: $-5$ jest mniejsze od $-2$ , choć piątka jest większa od dwójki. Na osi $-5$ leży dalej w lewo.

Dwie rzeczy, które łatwo pomylić

Która liczba jest większa — decyduje położenie na osi. $-5 < -2$ .

Która leży dalej od zera — decyduje wartość bezwzględna. Tu jest odwrotnie: $|-5| > |-2|$ .

Oba pytania są sensowne, tylko o co innego. Termometr pokazujący $-5^\circ$ wskazuje niższą temperaturę, ale większy mróz — i dokładnie ta dwuznaczność myli uczniów. Więcej: wartość bezwzględna.

Liczby przeciwne to para leżąca po dwóch stronach zera w tej samej odległości: $3$ i $-3$ , $17$ i $-17$ . Ich suma zawsze wynosi zero. Zero jest przeciwne samo do siebie i jest jedyną taką liczbą.

Zero nie jest ani dodatnie, ani ujemne. To osobna kategoria — granica między jednymi a drugimi.

3Cztery działania, dwie różne reguły znaków

To jest sedno całego działu i powód, dla którego warto zacząć od tej strony, zanim przejdzie się do szczegółów.

działanie	co się dzieje z dwoma minusami	przykład
dodawanie	sumują się — dwa długi to większy dług	$(-3) + (-4) = -7$
odejmowanie	odjęcie liczby ujemnej dodaje	$5 - (-3) = 8$
mnożenie	znoszą się — wynik dodatni	$(-3) \cdot (-4) = 12$
dzielenie	znoszą się — tak samo jak przy mnożeniu	$(-12) : (-4) = 3$

Pierwszy wiersz i trzeci mówią coś przeciwnego — i oba są prawdziwe. Wyjątkiem jest tu dodawanie: dwie liczby ujemne dają liczbę ujemną, dwa długi się sumują. W pozostałych trzech wierszach minus przy minusie podnosi wynik — przy mnożeniu i dzieleniu przez regułę znaków, a przy odejmowaniu dlatego, że odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby przeciwnej. Zapamiętuj więc nie „dwa minusy dają plus”, tylko „przy dodawaniu jest inaczej niż wszędzie indziej”.

Pytanie, które rozstrzyga za każdym razem: jaki znak działania stoi między liczbami? Nie znaki liczb, tylko znak między nimi. Kropka albo dwukropek — reguła znaków. Plus albo minus — modele osi i długów.

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnych — oś, długi i zamiana odejmowania na dodawanie liczby przeciwnej,
Mnożenie i dzielenie liczb ujemnych — reguła znaków wyprowadzona, parzystość minusów, pułapka $(-2)^2$ kontra $-2^2$ ,
Wartość bezwzględna — odległość od zera, kreski jako nawias, zadania z arkuszy CKE.

4Kolejność działań na liczbach całkowitych

Kolejność jest ta sama co przy liczbach naturalnych — minusy niczego w niej nie zmieniają. Zmieniają natomiast wygląd zapisu, przez co łatwo się pomylić.

nawiasy,
potęgowanie,
mnożenie i dzielenie — od lewej do prawej,
dodawanie i odejmowanie — od lewej do prawej.

(-2) \cdot 3 + (-4) \cdot (-5) = -6 + 20 = 14

Najpierw oba mnożenia (znaki różne → minus, znaki jednakowe → plus), dopiero potem dodawanie — i tu reguła znaków już nie obowiązuje, bo działanie jest inne.

Nawias przy liczbie ujemnej to nie ozdobnik. Zapis $3 \cdot -4$ jest niepoprawny; pisze się $3 \cdot (-4)$ . Dwa znaki działania nigdy nie stoją obok siebie.

Szczegóły kolejności — także z potęgami i nawiasami zagnieżdżonymi — są na stronie o kolejności wykonywania działań.

5W której klasie się to pojawia

Liczby ujemne wchodzą w klasie szóstej i wracają potem przez całą szkołę — w wyrażeniach algebraicznych, równaniach, układzie współrzędnych i na egzaminie ósmoklasisty.

kiedy	co się pojawia
klasa 6	pojęcie liczby ujemnej, oś, porównywanie, cztery działania
klasa 7	liczby ujemne w wyrażeniach algebraicznych i równaniach
klasa 7–8	wartość bezwzględna, potęgi liczb ujemnych
egzamin ósmoklasisty	działania na liczbach ujemnych w zadaniach z osi i wyrażeń

Podstawa programowa umieszcza ten materiał w dziale III. „Liczby całkowite” w części dla klas IV–VI — dział liczy pięć punktów: praktyczne przykłady liczb ujemnych, oś liczbowa, wartość bezwzględna, porównywanie i proste rachunki pamięciowe. Ani jeden z nich nie jest przypisany do konkretnego rocznika: podział na klasy powyżej jest praktyką podręczników, nie wymogiem podstawy.

6Ćwicz dalej

Reguły znaków wchodzą do głowy przez powtarzanie, nie przez czytanie. Najlepiej ćwiczyć w tej kolejności:

najpierw porównywanie i oś — aż $-5 < -2$ przestanie budzić wątpliwość,
potem dodawanie i odejmowanie — na modelu długów, bo tam widać sens,
na końcu mnożenie i dzielenie — reguła jest łatwiejsza, ale myli się z poprzednią, więc bezpieczniej po kolei.

Zadania z prawdziwych arkuszy egzaminacyjnych — z rozwiązaniami krok po kroku — znajdziesz od razu niżej, pod tekstem tej strony. Ten sam zestaw zbiera w kontekście całego egzaminu strona oś liczbowa na egzaminie ósmoklasisty.

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady pokazujące, gdzie dokładnie mylą się reguły: porównywanie, wyrażenie z dwoma działaniami i zadanie z treścią.

Przykład 1 Porządkowanie liczb całkowitych

Uporządkuj rosnąco: $-7$ , $3$ , $0$ , $-2$ , $-15$ , $8$ .

Najpierw rozdzielam na trzy grupy: ujemne ( $-7$ , $-2$ , $-15$ ), zero i dodatnie ( $3$ , $8$ ).
Wszystkie ujemne są mniejsze od zera, a zero od wszystkich dodatnich — więc kolejność grup jest gotowa.
Porządkuję ujemne. Uwaga: im większa liczba po minusie, tym mniejsza cała liczba. Z $7$ , $2$ i $15$ największa jest $15$ , więc $-15$ jest najmniejsze.
Ujemne rosnąco: $-15$ , $-7$ , $-2$ .
Dodatnie rosnąco zwyczajnie: $3$ , $8$ .
Składam całość: $-15 < -7 < -2 < 0 < 3 < 8$ .
Kontrola na osi: idąc od lewej do prawej mijam je dokładnie w tej kolejności ✓

Odpowiedź: $-15 < -7 < -2 < 0 < 3 < 8$

Krok trzeci jest jedynym miejscem, w którym trzeba uważać. Pomaga myślenie o długach: $15$ zł długu to gorsza sytuacja niż $2$ zł długu, więc $-15$ jest „mniej” niż $-2$ .

Przykład 2 Wyrażenie, w którym obie reguły znaków spotykają się obok siebie

Oblicz $(-6) : (-2) + (-3) \cdot 4 - (-5)$ .

Kolejność: najpierw dzielenie i mnożenie, potem dodawanie i odejmowanie.
$(-6) : (-2)$ — znaki jednakowe, więc plus: $6 : 2 = 3$ .
$(-3) \cdot 4$ — znaki różne, więc minus: $3 \cdot 4 = 12$ , czyli $-12$ .
Zostaje: $3 + (-12) - (-5)$ . Upraszczam znaki: $3 - 12 + 5$ .
Liczę od lewej: $3 - 12 = -9$ , potem $-9 + 5 = -4$ .
Kontrola sensu: jedyny duży składnik jest ujemny ( $-12$ ), a dodatnie dają razem $8$ — więc wynik musiał wyjść ujemny i niewielki ✓

Odpowiedź: $(-6) : (-2) + (-3) \cdot 4 - (-5) = -4$

W kroku czwartym reguła znaków przestaje obowiązywać, choć minusy dalej stoją w zapisie. To dokładnie ten moment, w którym uczeń, który zna tylko jedną regułę, zamienia $3 - 12 + 5$ na coś zupełnie innego.

Przykład 3 Zadanie z treścią — różnica poziomów

Dno jeziora leży $12$ m poniżej poziomu wody, a szczyt pobliskiej skały $27$ m powyżej. Jaka jest różnica wysokości między dnem a szczytem?

Poziom wody przyjmuję za zero. Dno to $-12$ m, szczyt to $27$ m.
Różnica wysokości to odległość między tymi liczbami na osi, więc odejmuję: $27 - (-12)$ .
Odjęcie liczby ujemnej to dodanie liczby przeciwnej: $27 + 12 = 39$ .
Różnica wynosi $39$ m.
Kontrola na osi: od $-12$ do $0$ jest $12$ m, od $0$ do $27$ jeszcze $27$ m — razem $39$ m ✓
Kontrola sensu: odległość musi być większa od każdej z wysokości osobno, bo punkty leżą po przeciwnych stronach zera ✓

Odpowiedź: Różnica wysokości wynosi $39$ m.

Gdyby oba punkty leżały po tej samej stronie zera, odległość byłaby mniejsza od większej z wartości — na przykład między $27$ m a $12$ m nad wodą jest tylko $15$ m. To dobra kontrola sensu: punkty po przeciwnych stronach zera zawsze dzieli więcej, niż wynosi każda z wartości osobno.

8Najczęstsze błędy

Pierwszy, trzeci i czwarty błąd biorą się z przenoszenia na liczby ujemne nawyków wyrobionych na liczbach naturalnych. Drugi jest inny: to reguła znaków zapamiętana bez przypisania do działania, czyli wiedza o liczbach ujemnych zastosowana w złym miejscu.

Uznanie, że $-5$ jest większe od $-2$

Skąd się bierze: Piątka jest większa od dwójki, więc odruch podpowiada, że $\textcolor{#9b1c14}{-5 > -2}$ . Na osi jest odwrotnie: $-5$ leży dalej w lewo, czyli jest mniejsze. Ten błąd wraca przy każdym porządkowaniu liczb i przy odczytywaniu temperatur.

Jak zrobić dobrze: Nie porównuj liczb po minusie — patrz na położenie na osi. Albo myśl o długach: $5$ zł długu to gorsza sytuacja niż $2$ zł długu, więc $-5$ jest „mniej”. Pomaga też pytanie kontrolne: która z tych temperatur jest zimniejsza?

Stosowanie reguły „dwa minusy dają plus” przy dodawaniu

Skąd się bierze: Reguła znaków jest z mnożenia i dzielenia, ale zapamiętuje się bez tego przypisania. Wtedy $(-3) + (-4)$ zamienia się w $\textcolor{#9b1c14}{7}$ zamiast $-7$ . Dwa długi się sumują, a nie znoszą — znoszą się dopiero przy mnożeniu.

Jak zrobić dobrze: Przed każdym rachunkiem sprawdź znak działania między liczbami, a nie znaki liczb. To jedna sekunda, a rozstrzyga, którą z dwóch reguł wolno zastosować.

Mylenie „większa liczba” z „dalej od zera”

Skąd się bierze: W zadaniach typu „która liczba jest większa” i „która leży dalej od zera” odpowiedzi bywają przeciwne: dla $-5$ i $-2$ większa jest $-2$ , ale dalej od zera leży $-5$ . Uczeń odpowiada na jedno pytanie, myśląc, że odpowiada na drugie.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że to dwa różne pytania: o położenie (porównanie, znak $<$ ) i o odległość (wartość bezwzględna, kreski). Przy każdym zadaniu przeczytaj polecenie do końca i zdecyduj, o które z nich chodzi.

Zapisanie dwóch znaków działania obok siebie

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{3 \cdot -4}$ albo $\textcolor{#9b1c14}{7 + -2}$ jest niepoprawny i na sprawdzianie bywa liczony jako błąd zapisu, nawet gdy wynik się zgadza. Dwa znaki działania nigdy nie stoją obok siebie — liczba ujemna po znaku działania musi trafić w nawias.

Jak zrobić dobrze: Pisz $3 \cdot (-4)$ i $7 + (-2)$ . Nawias nic nie zmienia w wartości, ale robi zapis czytelnym i zgodnym z konwencją. Przy okazji sam podpowiada, że w środku jest jedna liczba, a nie działanie.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — oś liczbowa

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 4 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje mechanizm odczytu z osi: zielona to wartość jednej działki, a czerwona to liczba działek, które pokonujemy. Gdy znasz jedną działkę, każdy punkt na osi liczy się jednym mnożeniem. W zadaniach o odległości kolor oddziela większą liczbę od mniejszej.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2022)1 pktśrednie

Na osi liczbowej zaznaczono punkty

P

R

S

. Odcinek

PS

jest podzielony na 8 równych części. Współrzędne punktów

P

R

podano na rysunku. Dokończ zdanie.
Współrzędna punktu

S

jest równa

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	P	R	S
Kreska od początku	0	5	8
Współrzędna	−3	7	?

A. $10$
B. $11$
C. $13$
D. $15$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw liczymy wartość jednej działki — do tego potrzebujemy dwóch punktów o znanych współrzędnych.
Od $P$ do $R$ jest $\textcolor{#E0453A}{5}$ działek, a wartość rośnie z $-3$ do $7$ , czyli o $7 - (-3) = 10$ .
Jedna działka: $10 : \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{2}$ .
Teraz punkt $S$ — dzieli go od $P$ aż $\textcolor{#E0453A}{8}$ działek: $S = -3 + \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = -3 + 16 = 13$ .
Odpowiedź C.
Można też krócej, licząc od $R$ : od $R$ do $S$ zostają $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, więc $S = 7 + \textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2} = 13$ ✓

💡 Wskazówka: Schemat na wszystkie zadania z osią: znajdź wartość jednej działki, licząc różnicę dwóch znanych punktów i dzieląc ją przez liczbę działek między nimi. Reszta to mnożenie.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie działek „na oko” albo pomylenie liczby kresek z liczbą odstępów. Między $P$ a $R$ jest 5 odstępów, choć kresek widać 6.

Zadanie 2 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Na osi liczbowej oznaczono cztery punkty:

R

S

T

W

. Odcinek

RW

jest podzielony na pięć równych części. Współrzędne punktów

S

W

podano na rysunku. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Dane z rysunku — wersja tekstowa

Punkt	R	S	T	W
Kreska od początku	0	2	3	5
Współrzędna	?	287	?	311

Współrzędne punktów $R$ i $T$ różnią się o 24.	P	F
Współrzędna punktu $R$ jest równa 271.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Zaczynamy od wartości jednej działki. Między $S$ (druga kreska) a $W$ (piąta kreska) są $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, a wartość rośnie z 287 do 311, czyli o 24.
Jedna działka: $24 : \textcolor{#E0453A}{3} = \textcolor{#16A06A}{8}$ .
Teraz odczytujemy pozostałe punkty. $R$ leży $\textcolor{#E0453A}{2}$ działki przed $S$ : $R = 287 - \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 287 - 16 = 271$ .
$T$ leży $\textcolor{#E0453A}{1}$ działkę za $S$ : $T = 287 + \textcolor{#16A06A}{8} = 295$ .
Zdanie 1: $T - R = 295 - 271 = 24$ ✓ — prawda. (Widać to też od razu: $R$ i $T$ dzielą $\textcolor{#E0453A}{3}$ działki, czyli $3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} = 24$ .)
Zdanie 2: $R = 271$ ✓ — prawda. Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Kiedy już znasz wartość działki, odległość między dowolnymi dwoma punktami liczysz jednym mnożeniem: liczba działek razy wartość działki. Nie trzeba wyznaczać obu współrzędnych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że skoro $S$ i $W$ różnią się o 24, to o tyle samo różnią się dowolne dwa punkty. Odległość zależy od liczby działek — a między $S$ a $W$ są trzy, tak samo jak między $R$ a $T$ (stąd akurat ta sama wartość).

Zadanie 3 (czerwiec 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej między liczbami

\left(-\dfrac{2}{6}\right)

oraz

\left(-\dfrac{1}{6}\right)

znajduje się liczba

A. $-\dfrac{1}{4}$
B. $-\dfrac{1}{3}$
C. $-\dfrac{5}{12}$
D. $-\dfrac{1}{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne — wtedy widać położenie na osi jak na dłoni.
Granice przedziału: $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{2}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}33\ldots}$ oraz $\textcolor{#16A06A}{-\dfrac{1}{6}} = \textcolor{#16A06A}{-0{,}16\ldots}$
A. $-\dfrac14 = \textcolor{#E0453A}{-0{,}25}$ — leży między $\textcolor{#16A06A}{-0{,}33}$ a $\textcolor{#16A06A}{-0{,}17}$ ✓
B. $-\dfrac13 = -0{,}33\ldots$ — to dokładnie granica (bo $\tfrac13 = \tfrac26$ ), więc nie leży *między* ✗
C. $-\dfrac{5}{12} \approx -0{,}42$ — za daleko w lewo ✗ · D. $-\dfrac12 = -0{,}5$ — jeszcze dalej ✗
Odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Można też wszystko sprowadzić do mianownika 12: przedział to $\left(-\tfrac{4}{12}, -\tfrac{2}{12}\right)$ , a odpowiedzi to $-\tfrac{3}{12}$ , $-\tfrac{4}{12}$ , $-\tfrac{5}{12}$ , $-\tfrac{6}{12}$ . Od razu widać, że pasuje tylko $-\tfrac{3}{12}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: wybór $-\tfrac13$ , bo „wygląda jak coś pomiędzy”. Po skróceniu $-\tfrac26 = -\tfrac13$ — to ta sama liczba co lewy koniec przedziału.

Zadanie 4 (kwiecień 2016, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Odległość między punktami, które na osi liczbowej odpowiadają liczbom

-2{,}3

\dfrac{1}{3}

, jest równa

A. $-2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
B. $2{,}3 - \dfrac{1}{3}$
C. $\dfrac{1}{3} - 2{,}3$
D. $\dfrac{1}{3} + 2{,}3$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Odległość na osi to zawsze większa liczba minus mniejsza — wynik musi wyjść dodatni.
Większa jest $\textcolor{#16A06A}{\dfrac13}$ (dodatnia), mniejsza $\textcolor{#E0453A}{-2{,}3}$ (ujemna).
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} - (\textcolor{#E0453A}{-2{,}3})$ , a odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$= \textcolor{#16A06A}{\dfrac13} + 2{,}3$ — odpowiedź D.
Sens na osi: punkty leżą po przeciwnych stronach zera, więc odległość to suma ich odległości od zera: $2{,}3$ w lewo i $\tfrac13$ w prawo.

💡 Wskazówka: Gdy dwie liczby leżą po przeciwnych stronach zera, ich odległość to suma wartości bezwzględnych. Gdy po tej samej stronie — różnica.

⚠ Najczęstsze błędy: odpowiedź C (odejmowanie w złej kolejności — wychodzi liczba ujemna, a odległość nie może być ujemna) oraz B (potraktowanie $-2{,}3$ jako $2{,}3$ i odjęcie zamiast dodania).

Zadanie 5 (kwiecień 2015, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Na osi liczbowej liczba równa wartości wyrażenia

\left(1 - \dfrac{5}{6}\right) - 0{,}5

znajduje się między

A. $-1$ i $-0{,}5$
B. $-0{,}5$ i $0$
C. $0$ i $0{,}5$
D. $0{,}5$ i $1$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw liczymy nawias: $1 - \dfrac{5}{6} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}}$ .
Teraz odejmujemy $0{,}5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{1}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}}$ .
$\textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{6}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{6}} = -\dfrac{2}{6} = -\dfrac{1}{3}$ .
Zamieniamy na ułamek dziesiętny: $-\dfrac13 \approx -0{,}33$ .
Ta liczba leży między $-0{,}5$ a $0$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Bez pełnego rachunku widać kierunek wyniku: nawias daje liczbę małą i dodatnią ( $\tfrac16$ ), a odejmujemy od niej $0{,}5$ — czyli więcej. Wynik musi być ujemny, ale niewielki. To już wskazuje przedział B.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie nawiasu jako $\tfrac56$ (czyli pominięcie odejmowania od jedynki) — wtedy wynik wychodzi dodatni i ląduje w przedziale C lub D.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pktłatwe

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczba

\sqrt{120}

znajduje się na osi liczbowej między

A. $10$ i $11$
B. $11$ i $12$
C. $12$ i $20$
D. $30$ i $40$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Szukamy dwóch sąsiednich kwadratów, między którymi leży liczba 120.
$\textcolor{#16A06A}{10}^2 = \textcolor{#16A06A}{100}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{11}^2 = \textcolor{#E0453A}{121}$ .
Skoro $\textcolor{#16A06A}{100} < 120 < \textcolor{#E0453A}{121}$ , to po spierwiastkowaniu: $\textcolor{#16A06A}{10} < \sqrt{120} < \textcolor{#E0453A}{11}$ .
Odpowiedź A.
Warto zauważyć, jak blisko jedenastki jest ta liczba — 120 to tylko o jeden mniej niż $\textcolor{#E0453A}{121}$ , więc $\sqrt{120} \approx 10{,}95$ .

💡 Wskazówka: Naucz się kwadratów do 20 na pamięć — zwłaszcza $11^2 = 121$ , $12^2 = 144$ , $13^2 = 169$ , $15^2 = 225$ . Szacowanie pierwiastków robi się wtedy natychmiastowe.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie 120 przez 2 i szukanie w okolicach 60, albo wybór przedziału „12 i 20” — bo 120 kojarzy się z tymi liczbami. Pierwiastek z liczby trzycyfrowej jest zawsze dwucyfrowy.

Zadanie 7 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Odległość na osi liczbowej między największą i najmniejszą spośród liczb

\;0

\;\dfrac{3}{4}

\;-\dfrac{5}{2}

\;-2\;

jest równa

A. $1\dfrac{3}{4}$
B. $3\dfrac{1}{4}$
C. $2\dfrac{3}{4}$
D. $1\dfrac{1}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw porządkujemy liczby. Zamieniamy na dziesiętne: $0$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ , $-\tfrac52 = -2{,}5$ , $-2$ .
Rosnąco: $-2{,}5 < -2 < 0 < 0{,}75$ .
Największa to $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}}$ , najmniejsza to $\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}$ .
Odległość $= \textcolor{#16A06A}{\dfrac{3}{4}} - \left(\textcolor{#E0453A}{-\dfrac{5}{2}}\right) = \textcolor{#16A06A}{0{,}75} + \textcolor{#E0453A}{2{,}5} = 3{,}25$ .
Zamieniamy na liczbę mieszaną: $3{,}25 = 3\dfrac{1}{4}$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Uwaga przy liczbach ujemnych: $-\tfrac52 = -2{,}5$ jest mniejsze od $-2$ , mimo że „wygląda na większe”. Im dalej w lewo na osi, tym mniejsza liczba.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie $-2$ za najmniejszą (bo $2 < 2{,}5$ „na oko”). Wtedy odległość wyszłaby $2\tfrac34$ — czyli kusząca odpowiedź C.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. P, P	3. A	4. D	5. B	6. A
7. B

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

9Pytania i odpowiedzi

Co to są liczby całkowite?

To liczby naturalne, liczby do nich przeciwne oraz zero: $\ldots, -2, -1, 0, 1, 2, \ldots$ Nie mają części ułamkowej. Jest ich nieskończenie wiele w obie strony — nie istnieje ani największa, ani najmniejsza liczba całkowita.

Czym różnią się liczby całkowite od naturalnych?

Naturalne to tylko $0, 1, 2, 3, \ldots$ , czyli nic na lewo od zera. Całkowite obejmują dodatkowo wszystkie liczby ujemne. Każda naturalna jest całkowita, ale $-4$ jest całkowita i nie jest naturalna.

Czy

-5

jest większe od

-2

Nie, jest mniejsze. Na osi liczbowej $-5$ leży dalej w lewo, a im bardziej w lewo, tym mniej. Myląca jest tu sama piątka — ale $5$ zł długu to gorsza sytuacja niż $2$ zł długu. Za to $-5$ leży dalej od zera niż $-2$ , i to już jest inne pytanie.

Czy zero jest liczbą dodatnią czy ujemną?

Ani jedną, ani drugą. Zero jest osobną kategorią — granicą między liczbami dodatnimi a ujemnymi. Jest też jedyną liczbą przeciwną samą do siebie.

Dlaczego przy mnożeniu dwa minusy dają plus, a przy dodawaniu nie?

Bo to dwa różne działania. Dodanie długu do długu powiększa dług, więc $(-3) + (-4) = -7$ . Mnożenie natomiast odwraca kierunek na osi, a odwrócenie dwa razy wraca do punktu wyjścia — stąd $(-3) \cdot (-4) = 12$ . Zawsze sprawdzaj znak działania między liczbami.

W której klasie uczy się liczb ujemnych?

Pojęcie i cztery działania wchodzą w klasie szóstej. Potem wracają w wyrażeniach algebraicznych i równaniach w klasie siódmej, a wartość bezwzględna i potęgi liczb ujemnych w klasach siódmej i ósmej. Podstawa programowa nie przypisuje tego materiału do konkretnego rocznika.

Czytaj dalej

Dodawanie i odejmowanie liczb ujemnychOś, długi i zamiana odejmowania na dodawanie liczby przeciwnej Mnożenie i dzielenie liczb ujemnychReguła znaków wyprowadzona, parzystość minusów Wartość bezwzględnaOdległość od zera — z zadaniami z arkuszy CKE Kolejność wykonywania działańCo liczyć najpierw, gdy w wyrażeniu są nawiasy i potęgi Oś liczbowa na egzaminie ósmoklasistyZadania CKE o położeniu i odległości liczb

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.