Strona główna › Ułamki › Porównywanie ułamków — pięć sposobów i wybór najszybszego

Porównywanie ułamków — pięć sposobów i wybór najszybszego

Q: Jak sprawdzić, który ułamek jest większy?

Najpierw sprawdź, czy nie da się bez liczenia: przy równych mianownikach wygrywa większy licznik, przy równych licznikach — mniejszy mianownik. Jeśli nic nie pasuje, użyj mnożenia na krzyż albo sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika i porównaj liczniki.

Q: Dlaczego 1/3 jest większe od 1/4, skoro 3 < 4?

Bo mianownik mówi, na ile części podzielono całość, a nie ile ich mamy. Dzieląc tort na 3 części, dostajesz większe kawałki niż dzieląc go na 4. Przy równych licznikach zawsze wygrywa ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.

Q: Na czym polega porównywanie ułamków przez mnożenie na krzyż?

Mnożysz licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie, a potem porównujesz oba iloczyny. Iloczyn należy do tego ułamka, z którego wziąłeś licznik. Dla 3/5 i 5/8: 3 · 8 = 24 i 5 · 5 = 25, więc 3/5 < 5/8. To skrócony zapis sprowadzania do wspólnego mianownika.

Q: Jak uporządkować kilka ułamków od najmniejszego do największego?

Sprowadź wszystkie do jednego wspólnego mianownika, uporządkuj liczniki, a na koniec wróć do pierwotnych zapisów. Mnożenie na krzyż tu nie wystarcza, bo porównuje tylko pary. Często wystarczy sprawdzić, czy największy z mianowników nie dzieli się przez wszystkie pozostałe — wtedy on jest wspólnym mianownikiem.

Q: Jak porównać liczby mieszane?

Najpierw porównaj części całkowite — jeśli się różnią, one rozstrzygają i część ułamkowa nie ma znaczenia, bo zawsze jest mniejsza od jedynki. Dopiero przy równych całościach porównaj części ułamkowe zwykłym sposobem.

Q: Jak porównać ułamek zwykły z liczbą dziesiętną?

Sprowadź obie liczby do tej samej postaci. Najprościej podzielić licznik przez mianownik: 5/8 = 0,625, więc 5/8 > 0,6. Można też zamienić dziesiętną na zwykłą (0,6 = 3/5) i porównać na krzyż — wynik jest ten sam.

Pytanie „który ułamek jest większy” ma pięć różnych dobrych odpowiedzi — i cała umiejętność polega na tym, żeby zobaczyć, która pasuje do konkretnej pary. Sprowadzanie do wspólnego mianownika działa zawsze, ale jest najwolniejsze; w połowie zadań ze szkoły podstawowej odpowiedź widać bez liczenia. Ta strona pokazuje wszystkie sposoby obok siebie i mówi wprost, kiedy który się opłaca.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Zacznij od spojrzenia, nie od rachunku

Zanim cokolwiek policzysz, sprawdź trzy rzeczy — zajmuje to sekundę i bardzo często kończy zadanie.

Czy mianowniki są równe? Wtedy wygrywa większy licznik.
Czy liczniki są równe? Wtedy wygrywa mniejszy mianownik.
Czy jeden jest mniejszy od połowy, a drugi większy? Wtedy nie trzeba już nic liczyć.

Dopiero gdy wszystkie trzy zawiodą, sięgasz po mnożenie na krzyż albo wspólny mianownik.

Dlaczego mniejszy mianownik znaczy większy ułamek

To jest jedyne miejsce w tym temacie, które kłóci się z intuicją, i dlatego wraca na każdym sprawdzianie.

Ósemka jest większa niż czwórka, więc $\frac{3}{8}$ wygląda na większe od $\frac{3}{4}$ . Jest odwrotnie: $\frac{3}{4} > \frac{3}{8}$ .

Obraz, który to naprawia: ta sama pizza pocięta na $4$ części daje duże kawałki, a pocięta na $8$ — małe. Bierzemy po trzy kawałki, ale trzy duże to więcej niż trzy małe.

Mianownik nie mówi, ile mamy — mówi, jak drobno pokrojono. Im drobniej, tym mniejszy pojedynczy kawałek.

2Ten sam mianownik i ten sam licznik

Równe mianowniki. Kawałki są tej samej wielkości, więc liczy się tylko to, ile ich wzięliśmy:

\frac{\textcolor{#E0453A}{5}}{\textcolor{#16A06A}{8}} > \frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}}

Pięć ósmych to więcej niż trzy ósme — tak samo jak pięć jabłek to więcej niż trzy jabłka. Zielony mianownik jest w obu ułamkach ten sam i dlatego w ogóle nie bierze udziału w porównaniu.

Równe liczniki. Bierzemy tyle samo kawałków, więc decyduje ich wielkość:

\frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{4}} > \frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{8}}

Tu jest odwrotnie niż zwykle: większy mianownik daje mniejszy ułamek. Warto to sobie sprawdzić na skrajnym przykładzie: $\frac{1}{2}$ to połowa całości, a $\frac{1}{100}$ to okruch. Licznik ten sam, a różnica ogromna.

Para	Co jest wspólne	Która większa i dlaczego
$\frac{2}{7}$ i $\frac{5}{7}$	mianownik	$\frac{5}{7}$ — więcej takich samych kawałków
$\frac{4}{9}$ i $\frac{4}{5}$	licznik	$\frac{4}{5}$ — kawałki są większe
$\frac{1}{3}$ i $\frac{1}{6}$	licznik	$\frac{1}{3}$ — jedna trzecia jest większa niż jedna szósta
$\frac{7}{10}$ i $\frac{9}{10}$	mianownik	$\frac{9}{10}$ — dziewięć kawałków to więcej niż siedem

3Porównanie z połową — sposób bez liczenia

Ten sposób jest w szkole niedoceniany, a rozstrzyga zaskakująco wiele par. Polega na sprawdzeniu, po której stronie połowy leży każdy ułamek.

Ułamek jest większy od połowy, gdy licznik jest większy niż połowa mianownika. Dla $\frac{5}{9}$ : połowa z $9$ to $4{,}5$ , a licznik $5$ jest większy — więc $\frac{5}{9} > \frac{1}{2}$ .

Porównajmy $\frac{5}{9}$ i $\frac{4}{11}$ . Sprowadzanie do wspólnego mianownika $99$ byłoby żmudne. Ale:

$\frac{5}{9}$ — połowa z $9$ to $4{,}5$ , licznik $5$ jest większy, więc ułamek jest większy od połowy,
$\frac{4}{11}$ — połowa z $11$ to $5{,}5$ , licznik $4$ jest mniejszy, więc ułamek jest mniejszy od połowy.

Jeden jest po jednej stronie połowy, drugi po drugiej — więc $\frac{5}{9} > \frac{4}{11}$ i żaden rachunek nie był potrzebny.

Ten sam pomysł działa z jedynką: $\frac{7}{5}$ jest większe od $1$ , a $\frac{9}{10}$ mniejsze, więc $\frac{7}{5} > \frac{9}{10}$ . Za każdym razem szukamy punktu odniesienia, po którego przeciwnych stronach leżą oba ułamki.

Trzeci punkt odniesienia: odległość do jedynki

Gdy oba ułamki są bardzo blisko $1$ , porównuje się to, ile im brakuje do całości.

$\frac{7}{8}$ brakuje $\frac{1}{8}$ , a $\frac{9}{10}$ brakuje $\frac{1}{10}$ . Ponieważ $\frac{1}{10} < \frac{1}{8}$ , drugiemu brakuje mniej — więc $\frac{9}{10} > \frac{7}{8}$ .

To porównanie ma sens tylko wtedy, gdy oba liczniki są o jeden mniejsze od mianowników albo brakujące części łatwo porównać. Dla $\frac{3}{8}$ i $\frac{5}{9}$ ta droga nic nie da.

4Mnożenie na krzyż — sposób, który działa zawsze

Gdy szybkie sposoby zawiodą, zostaje metoda uniwersalna. Mnożenie na krzyż to skrót do wspólnego mianownika — daje ten sam wynik, ale bez wypisywania rozszerzonych ułamków.

Porównajmy $\frac{3}{5}$ i $\frac{5}{8}$ .

Mnożę licznik pierwszego przez mianownik drugiego: $3 \cdot 8 = 24$ . Ta liczba „należy” do pierwszego ułamka.
Mnożę licznik drugiego przez mianownik pierwszego: $5 \cdot 5 = 25$ . Ta liczba należy do drugiego.
Porównuję: $24 < 25$ , więc $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$ .

Skąd to się bierze? Z rozszerzenia obu ułamków do wspólnego mianownika $5 \cdot 8 = 40$ :

\frac{3 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}}{5 \cdot \textcolor{#16A06A}{8}} = \frac{24}{40} \qquad \frac{5 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}}{8 \cdot \textcolor{#E0453A}{5}} = \frac{25}{40}

Mianowniki wyszły takie same, więc decydują liczniki — a to są dokładnie te $24$ i $25$ z mnożenia na krzyż. Metoda nie jest sztuczką, tylko skróconym zapisem tej samej czynności.

Uwaga na kierunek

Najczęstsza pomyłka to przypisanie wyniku do złego ułamka. Zapamiętaj: iloczyn wędruje do tego ułamka, z którego wzięliśmy licznik.

Pomaga zapisywanie liczb nad ułamkami, a nie obok siebie: $\overset{24}{\frac{3}{5}}$ i $\overset{25}{\frac{5}{8}}$ — wtedy nie da się ich pomylić.

Metoda działa tylko dla dodatnich mianowników, czyli dla wszystkiego, co spotkasz w szkole podstawowej.

5Porządkowanie kilku ułamków naraz

Zadania rzadko każą porównać dwa ułamki — częściej trzeba uporządkować cztery albo pięć od najmniejszego do największego. Mnożenie na krzyż przestaje wtedy wystarczać, bo porównuje tylko pary.

Tu wygrywa jeden wspólny mianownik dla wszystkich naraz. Uporządkujmy $\frac{2}{3}$ , $\frac{3}{4}$ , $\frac{5}{6}$ , $\frac{7}{12}$ .

Szukam liczby, która dzieli się przez $3$ , $4$ , $6$ i $12$ . Najmniejsza taka to $12$ .
Rozszerzam każdy: $\frac{2}{3} = \frac{8}{12}$ , $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , $\frac{5}{6} = \frac{10}{12}$ , $\frac{7}{12}$ zostaje bez zmian.
Porządkuję liczniki: $7 < 8 < 9 < 10$ .
Wracam do pierwotnych zapisów: $\frac{7}{12} < \frac{2}{3} < \frac{3}{4} < \frac{5}{6}$ .

Krok czwarty jest obowiązkowy. Odpowiedź podaje się w takiej postaci, w jakiej ułamki były w treści — porządek $\frac{7}{12} < \frac{8}{12} < \frac{9}{12} < \frac{10}{12}$ jest prawdziwy, ale nie odpowiada na zadane pytanie.

Wspólny mianownik nie musi być najmniejszy — $24$ albo $36$ też by zadziałały. Najmniejszy jest po prostu najwygodniejszy, bo daje najmniejsze liczniki.

6Liczby mieszane, ułamki niewłaściwe i porównanie z liczbą dziesiętną

Liczby mieszane porównuje się najpierw po całościach. $3\frac{1}{5} > 2\frac{7}{8}$ , bo trzy całości to więcej niż dwie — części ułamkowe nie mają tu nic do rzeczy, skoro każda z nich jest mniejsza od jedynki.

Dopiero przy równych całościach porównujemy części ułamkowe: w parze $4\frac{2}{5}$ i $4\frac{3}{7}$ liczy się już tylko $\frac{2}{5}$ kontra $\frac{3}{7}$ . Na krzyż: $2 \cdot 7 = 14$ i $3 \cdot 5 = 15$ , więc $\frac{2}{5} < \frac{3}{7}$ , a zatem $4\frac{2}{5} < 4\frac{3}{7}$ .

Ułamek niewłaściwy zamień najpierw na liczbę mieszaną albo porównaj obie strony w tej samej postaci. Zestawienie $\frac{17}{5}$ z $3\frac{1}{2}$ jest mylące, dopóki jedna liczba wygląda inaczej niż druga; po zamianie $\frac{17}{5} = 3\frac{2}{5}$ widać, że całości są równe, a $\frac{2}{5} < \frac{1}{2}$ .

Ułamek zwykły z dziesiętnym porównuje się najprościej, zamieniając ułamek zwykły na dziesiętny — czyli dzieląc licznik przez mianownik.

\frac{5}{8} = 5 : 8 = 0{,}625

Teraz porównanie z $0{,}6$ jest oczywiste: $0{,}625 > 0{,}6$ , więc $\frac{5}{8} > 0{,}6$ .

Można też odwrotnie — zamienić dziesiętny na zwykły: $0{,}6 = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$ , a potem porównać $\frac{5}{8}$ z $\frac{3}{5}$ na krzyż: $5 \cdot 5 = 25$ i $3 \cdot 8 = 24$ , więc $\frac{5}{8}$ jest większy ✓ Ten sam wynik dwiema drogami.

Sytuacja	Najszybszy sposób
równe mianowniki	porównaj liczniki
równe liczniki	mniejszy mianownik wygrywa
jeden po każdej stronie połowy	porównanie z $\frac{1}{2}$
dwa dowolne ułamki	mnożenie na krzyż
trzy i więcej ułamków	jeden wspólny mianownik
liczby mieszane	najpierw całości, potem części
ułamek i liczba dziesiętna	zamień na jedną postać

7Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności rosnącej trudności: para do porównania na krzyż, porządkowanie czterech ułamków i zadanie z treścią, w którym porównanie jest ukryte w pytaniu.

Przykład 1 Która para wymaga rachunku, a która nie

Wstaw znak $<$ , $>$ albo $=$ : (a) $\frac{4}{9}$ i $\frac{4}{7}$ , (b) $\frac{5}{12}$ i $\frac{7}{12}$ , (c) $\frac{4}{7}$ i $\frac{5}{9}$ .

(a) Liczniki są równe ( $4$ i $4$ ), więc decyduje mianownik — i to odwrotnie: mniejszy mianownik daje większy ułamek. $7 < 9$ , więc $\frac{4}{9} < \frac{4}{7}$ . Bez rachunku.
(b) Mianowniki są równe ( $12$ i $12$ ), więc decyduje licznik: $5 < 7$ , czyli $\frac{5}{12} < \frac{7}{12}$ . Też bez rachunku.
(c) Nic się nie zgadza, ale sprawdzam połowę: dla $\frac{4}{7}$ połowa z $7$ to $3{,}5$ , a licznik $4$ jest większy — ułamek jest większy od połowy. Dla $\frac{5}{9}$ połowa z $9$ to $4{,}5$ , a licznik $5$ też jest większy — więc oba są większe od połowy i to nie rozstrzyga.
Idę na krzyż: $4 \cdot 9 = 36$ dla pierwszego, $5 \cdot 7 = 35$ dla drugiego. $36 > 35$ , więc $\frac{4}{7} > \frac{5}{9}$ .
Kontrola dziesiętna: $\frac{4}{7} \approx 0{,}571$ , a $\frac{5}{9} \approx 0{,}556$ — zgadza się ✓

Odpowiedź: (a) $\frac{4}{9} < \frac{4}{7}$ · (b) $\frac{5}{12} < \frac{7}{12}$ · (c) $\frac{4}{7} > \frac{5}{9}$

Podpunkt (c) pokazuje, że porównanie z połową nie zawsze rozstrzyga — i to jest normalne. Sprawdzenie kosztowało dwie sekundy, a gdyby wyszło, oszczędziłoby cały rachunek. Warto próbować, byle nie upierać się przy metodzie, która akurat nie działa.

Przykład 2 Uporządkowanie czterech ułamków

Uporządkuj rosnąco: $\frac{3}{4}$ , $\frac{5}{8}$ , $\frac{11}{16}$ , $\frac{1}{2}$ .

Mianowniki to $4$ , $8$ , $16$ i $2$ . Każdy z nich dzieli $16$ , więc wspólnym mianownikiem będzie $16$ — i nie muszę szukać dalej.
Rozszerzam: $16 : 4 = 4$ , więc $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16}$ .
$16 : 8 = 2$ , więc $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 2}{8 \cdot 2} = \frac{10}{16}$ .
$\frac{11}{16}$ zostaje bez zmian. $16 : 2 = 8$ , więc $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 8}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16}$ .
Porządkuję liczniki rosnąco: $8 < 10 < 11 < 12$ .
Wracam do pierwotnych zapisów: $\frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{11}{16} < \frac{3}{4}$ .
Kontrola: $\frac{1}{2} = 0{,}5$ , $\frac{5}{8} = 0{,}625$ , $\frac{11}{16} = 0{,}6875$ , $\frac{3}{4} = 0{,}75$ — kolejność się zgadza ✓

Odpowiedź: $\frac{1}{2} < \frac{5}{8} < \frac{11}{16} < \frac{3}{4}$

Zwróć uwagę na krok drugi: wspólnego mianownika nie trzeba było liczyć żadnym wzorem. Wystarczyło zauważyć, że największy z mianowników — $16$ — dzieli się przez wszystkie pozostałe. To bardzo częsty układ w zadaniach szkolnych i warto go sprawdzać na początku.

Przykład 3 Porównanie ukryte w zadaniu z treścią

Ania przeczytała $\frac{5}{8}$ książki, a Bartek $\frac{7}{12}$ tej samej książki. Kto przeczytał więcej i o jaką część książki?

Pytanie „kto więcej” to porównanie, a „o jaką część” to odejmowanie — obie czynności wymagają wspólnego mianownika, więc zrobię go raz.
Mianowniki $8$ i $12$ . Szukam najmniejszej liczby dzielącej się przez obie: $24$ (bo $8 \cdot 3 = 24$ i $12 \cdot 2 = 24$ ).
Ania: $24 : 8 = 3$ , więc $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$ .
Bartek: $24 : 12 = 2$ , więc $\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{14}{24}$ .
Porównuję liczniki: $15 > 14$ , więc Ania przeczytała więcej.
Różnica: $\frac{15}{24} - \frac{14}{24} = \frac{1}{24}$ książki.
Kontrola na krzyż: $5 \cdot 12 = 60$ dla Ani, $7 \cdot 8 = 56$ dla Bartka — $60 > 56$ , ta sama odpowiedź ✓

Odpowiedź: Ania przeczytała więcej — o $\frac{1}{24}$ książki.

Gdyby pytanie brzmiało tylko „kto przeczytał więcej”, wystarczyłoby mnożenie na krzyż i całe zadanie zamknęłoby się w jednej linijce. Wspólny mianownik opłacił się dopiero dlatego, że drugie pytanie i tak go wymagało — warto przeczytać całe polecenie, zanim wybierze się metodę.

8Najczęstsze błędy

Dwa pierwsze błędy to dwie strony tej samej pomyłki: przenoszenia na ułamki intuicji z liczb naturalnych.

„Większy mianownik znaczy większy ułamek”

Skąd się bierze: Przy liczbach naturalnych większa liczba znaczy więcej i ta intuicja jest wdrukowana przez cztery lata nauki. Przy ułamkach przestaje działać dla mianownika: $\textcolor{#9b1c14}{\frac{3}{8} > \frac{3}{4}}$ jest fałszem, choć $8 > 4$ . Mianownik nie mówi, ile czego mamy — mówi, jak drobno pokrojono całość, a im drobniej, tym mniejszy kawałek.

Jak zrobić dobrze: Przy równych licznikach czytaj mianownik jako „na ile części” i wyobraź sobie pizzę. Pomaga też skrajny przykład: $\frac{1}{2}$ kontra $\frac{1}{100}$ — nikt nie uzna okruchu za większy od połowy. Ten sam obraz naprawia wszystkie lżejsze przypadki.

Porównywanie samych liczników przy różnych mianownikach

Skąd się bierze: Uczeń patrzy tylko na górę i wybiera większy licznik: $\textcolor{#9b1c14}{\frac{5}{12} > \frac{3}{4}}$ , bo $5 > 3$ . To porównanie liczby kawałków bez sprawdzenia ich wielkości — a $\frac{3}{4} = \frac{9}{12}$ , czyli prawie dwa razy więcej. Liczniki wolno porównywać wyłącznie wtedy, gdy mianowniki są identyczne.

Jak zrobić dobrze: Zanim spojrzysz na liczniki, sprawdź mianowniki. Jeśli są różne — musisz je najpierw zrównać (wspólny mianownik) albo pominąć zrównywanie świadomie (mnożenie na krzyż, które robi to samo w tle).

Odwrócony kierunek przy mnożeniu na krzyż

Skąd się bierze: Metoda zapamiętuje się jako obrazek dwóch strzałek i po tygodniu zostaje sam obrazek. Wtedy uczeń przypisuje iloczyn $3 \cdot 8$ do ułamka $\frac{5}{8}$ zamiast do $\frac{3}{5}$ — i dostaje odpowiedź dokładnie odwrotną do prawdziwej. Rachunek jest poprawny, wniosek fałszywy, a błąd niewidoczny w zapisie.

Jak zrobić dobrze: Zapisuj każdy iloczyn nad tym ułamkiem, z którego wziąłeś licznik, a nie w osobnej linijce. Dodatkowo zrób szybką kontrolę sensem: jeśli jeden ułamek jest wyraźnie bliżej całości, to on powinien wygrać. Gdy wynik mówi coś przeciwnego — sprawdź kierunek.

Porównywanie liczb mieszanych po częściach ułamkowych

Skąd się bierze: W parze $3\frac{1}{8}$ i $2\frac{7}{8}$ uczeń widzi $\frac{1}{8}$ i $\frac{7}{8}$ , porównuje je i orzeka, że druga liczba jest większa. Tymczasem część ułamkowa liczby mieszanej jest zawsze mniejsza od jedynki, więc nie jest w stanie nadrobić różnicy całości. $3\frac{1}{8} > 2\frac{7}{8}$ , choć $\frac{1}{8} < \frac{7}{8}$ .

Jak zrobić dobrze: Najpierw porównaj całości. Jeśli się różnią — koniec, część ułamkowa nie ma już znaczenia. Dopiero przy równych całościach przechodź do części ułamkowych. Kontrola przybliżeniem: $3\frac{1}{8}$ to około $3{,}1$ , a $2\frac{7}{8}$ to około $2{,}9$ .

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 2 zadania z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 6 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 6 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2024)1 pktśrednie

Wypisano ułamki spełniające łącznie następujące warunki:
• mianownik każdego z nich jest równy 4,
• licznik każdego z nich jest liczbą naturalną większą od mianownika,
• każdy z tych ułamków jest większy od liczby 3 oraz mniejszy od liczby 5.
Dokończ zdanie.
Wszystkich ułamków spełniających powyższe warunki jest

A. sześć.
B. siedem.
C. osiem.
D. dziewięć.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Każdy z tych ułamków ma postać $\dfrac{n}{4}$ , gdzie $n$ to liczba naturalna.
Zamieniamy warunek na liczniki: liczby 3 i 5 też zapisujemy z mianownikiem 4, żeby móc je porównać.
$3 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{4}}$ oraz $5 = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{4}}$ .
Warunek $3 < \dfrac{n}{4} < 5$ zamienia się więc na $\textcolor{#16A06A}{12} < n < \textcolor{#E0453A}{20}$ .
Liczniki to zatem: 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 — siedem liczb.
Sprawdzamy jeszcze drugi warunek (licznik większy od mianownika, czyli $n > 4$ ) — wszystkie go spełniają.
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Gdy porównujesz ułamek z liczbą całkowitą, zamień tę liczbę na ułamek o tym samym mianowniku — problem zamienia się wtedy w proste porównanie liczników.

⚠ Najczęstszy błąd: doliczenie liczników 12 i 20 do wyniku. Nierówności są ostre ("większy od 3", "mniejszy od 5"), więc same 3 i 5 nie wchodzą.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby

x

y

\;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\;

oraz

\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right)

. Uzupełnij zdania.

Liczba

y

jest liczbą AB.

A. ujemną
B. dodatnią

Liczba

x

jest CD od liczby

y

C. mniejsza
D. większa

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$ .
Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
$y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$ . Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$ .
Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$ ), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$ .

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$ , to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$ . Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pktśrednie

Poniżej zapisano trzy liczby:

\;p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9}\;

\;r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9}\;

\;s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9}

. Który zapis przedstawia poprawnie uporządkowane liczby

p

r

s

od najmniejszej do największej?

A. $s,\ r,\ p$
B. $r,\ s,\ p$
C. $s,\ p,\ r$
D. $r,\ p,\ s$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Kreska ułamkowa działa jak nawias — najpierw liczymy osobno cały licznik i cały mianownik, dopiero potem dzielimy.
$p = \dfrac{27 \cdot 9}{27 + 9} = \dfrac{243}{36} = 6{,}75$ .
$r = \dfrac{27 + 9}{27 - 9} = \dfrac{36}{18} = 2$ .
$s = \dfrac{27 - 9}{27 : 9} = \dfrac{18}{3} = 6$ .
Porządkujemy rosnąco: $2 < 6 < 6{,}75$ , czyli $r$ , $s$ , $p$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy $p$ nie trzeba dzielić dokładnie — wystarczy zauważyć, że $\tfrac{243}{36}$ to niecałe 7, a $s = 6$ . To już rozstrzyga kolejność.

⚠ Najczęstszy błąd: liczenie „po kolei od lewej” bez traktowania kreski jak nawiasu — np. $27 \cdot 9 : 27 + 9$ , co daje zupełnie inny wynik.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pktśrednie

Dane są cztery liczby zapisane za pomocą wyrażeń arytmetycznych:

x = -62{,}5 + 30

y = -14{,}4 - 12{,}6

t = -12 : 0{,}3

u = -8{,}02 \cdot 6

Która z tych liczb jest największa?

A. $x$
B. $y$
C. $t$
D. $u$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Liczymy każdą wartość osobno:
$x = -62{,}5 + 30 = -32{,}5$
$y = -14{,}4 - 12{,}6 = -27$
$t = -12 : 0{,}3 = -40$ (dzielenie przez liczbę mniejszą od 1 zwiększa wartość bezwzględną)
$u = -8{,}02 \cdot 6 = -48{,}12$
Wszystkie są ujemne, więc największa jest ta najbliższa zera: $-27$ , czyli liczba $y$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Wśród liczb ujemnych największa to ta o najmniejszej wartości bezwzględnej — najbliżej zera na osi liczbowej.

⚠ Dwa typowe błędy: (1) wybór $u$ jako „największej”, bo 48,12 to największa liczba — ale ze znakiem minus jest najmniejsza; (2) policzenie $-12 : 0{,}3$ jako $-4$ zamiast $-40$ .

Zadanie 5 (marzec 2021)1 pktśrednie

Która z poniższych nierówności jest prawdziwa?

A. $\dfrac{25}{9} < \dfrac{23}{9}$
B. $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} > 4$
C. $\dfrac{13}{17} \cdot 3 > \dfrac{39}{17}$
D. $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

A — ten sam mianownik, więc decyduje licznik: $25 > 23$ , czyli $\tfrac{25}{9} > \tfrac{23}{9}$ . Nierówność jest odwrotna — fałsz.
B — $\dfrac{5}{4} + \dfrac{5}{2} = 1{,}25 + 2{,}5 = 3{,}75$ , a to mniej niż 4 — fałsz.
C — $\dfrac{13}{17} \cdot 3 = \dfrac{39}{17}$ , czyli obie strony są równe. Nierówność ostra „ $>$ ” nie zachodzi — fałsz.
D — ten sam licznik (11), więc decyduje mianownik: im mniejszy mianownik, tym większy ułamek (dzielimy na mniej części). Skoro $12 < 13$ , to $\dfrac{11}{12} > \dfrac{11}{13}$ ✓ — prawda.
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Dwie reguły, które załatwiają większość porównań: ten sam mianownik → większy licznik wygrywa; ten sam licznik → mniejszy mianownik wygrywa (bo tort dzielony na mniej kawałków daje większe kawałki).

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź C — przy szybkim czytaniu $\tfrac{13}{17} \cdot 3$ wygląda na coś większego, ale to dokładnie $\tfrac{39}{17}$ . Znak „ $>$ ” wymaga ścisłej większości.

Zadanie 6 (kwiecień 2014, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Dokończ zdanie tak, aby otrzymać zdanie prawdziwe.
Liczbą większą od

\dfrac{1}{3}

jest

A. $\dfrac{300}{900}$
B. $\dfrac{300}{900 - 1}$
C. $\dfrac{300}{900 + 1}$
D. $\dfrac{300 - 1}{900}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Punkt wyjścia: $\dfrac{1}{3} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}}$ — wszystkie odpowiedzi to warianty tego samego ułamka.
A to dokładnie $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{300}{900}} = \dfrac13$ — równe, więc nie większe ✗
B — mianownik zmniejszony o 1. Mniejszy mianownik przy tym samym liczniku daje większy ułamek ✓
C — mianownik zwiększony, więc ułamek jest mniejszy ✗
D — licznik zmniejszony, więc ułamek jest mniejszy ✗
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Dwie reguły na całe życie: większy licznik → większy ułamek, większy mianownik → mniejszy ułamek. Tu wystarczyło zobaczyć, gdzie stoi minus.

⚠ Najczęstszy błąd: odpowiedź D — intuicja podpowiada, że „minus w liczniku i minus w mianowniku zachowują się tak samo”. Zachowują się dokładnie odwrotnie.

Zadanie 7 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Ile spośród liczb

\;\dfrac{2}{3}

\dfrac{1}{2}

\dfrac{10}{25}

\dfrac{1}{4}\;

spełnia warunek

\dfrac{2}{5} < x < \dfrac{3}{5}

A. Jedna liczba.
B. Dwie liczby.
C. Trzy liczby.
D. Cztery liczby.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Najwygodniej zamienić wszystko na ułamki dziesiętne. Granice: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{2}{5}} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{3}{5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ .
$\dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ — to więcej niż $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✗
$\dfrac{1}{2} = 0{,}5$ — mieści się między $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ a $\textcolor{#E0453A}{0{,}6}$ ✓
$\dfrac{10}{25} = \dfrac{2}{5} = \textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ — to dokładnie granica, a nierówność jest ostra, więc nie liczy się ✗
$\dfrac{1}{4} = 0{,}25$ — mniej niż $\textcolor{#16A06A}{0{,}4}$ ✗
Warunek spełnia tylko jedna liczba — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Warto znać na pamięć: $\tfrac15 = 0{,}2$ , $\tfrac14 = 0{,}25$ , $\tfrac13 \approx 0{,}33$ , $\tfrac12 = 0{,}5$ , $\tfrac23 \approx 0{,}67$ , $\tfrac34 = 0{,}75$ . Oszczędza mnóstwo czasu na egzaminie.

⚠ Najczęstszy błąd: zaliczenie $\tfrac{10}{25}$ . Po skróceniu to dokładnie $\tfrac25$ , czyli granica przedziału — a znak „ $<$ ” jej nie obejmuje.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. A, C	3. B	4. B	5. D	6. B
7. A

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

9Pytania i odpowiedzi

Jak sprawdzić, który ułamek jest większy?

Najpierw sprawdź, czy nie da się bez liczenia: przy równych mianownikach wygrywa większy licznik, przy równych licznikach — mniejszy mianownik. Jeśli nic nie pasuje, użyj mnożenia na krzyż albo sprowadź oba ułamki do wspólnego mianownika i porównaj liczniki.

Dlaczego

\frac{1}{3}

jest większe od

\frac{1}{4}

, skoro

3 < 4

Bo mianownik mówi, na ile części podzielono całość, a nie ile ich mamy. Dzieląc tort na $3$ części, dostajesz większe kawałki niż dzieląc go na $4$ . Przy równych licznikach zawsze wygrywa ten ułamek, który ma mniejszy mianownik.

Na czym polega porównywanie ułamków przez mnożenie na krzyż?

Mnożysz licznik pierwszego ułamka przez mianownik drugiego i odwrotnie, a potem porównujesz oba iloczyny. Iloczyn należy do tego ułamka, z którego wziąłeś licznik. Dla $\frac{3}{5}$ i $\frac{5}{8}$ : $3 \cdot 8 = 24$ i $5 \cdot 5 = 25$ , więc $\frac{3}{5} < \frac{5}{8}$ . To skrócony zapis sprowadzania do wspólnego mianownika.

Jak uporządkować kilka ułamków od najmniejszego do największego?

Sprowadź wszystkie do jednego wspólnego mianownika, uporządkuj liczniki, a na koniec wróć do pierwotnych zapisów. Mnożenie na krzyż tu nie wystarcza, bo porównuje tylko pary. Często wystarczy sprawdzić, czy największy z mianowników nie dzieli się przez wszystkie pozostałe — wtedy on jest wspólnym mianownikiem.

Jak porównać liczby mieszane?

Najpierw porównaj części całkowite — jeśli się różnią, one rozstrzygają i część ułamkowa nie ma znaczenia, bo zawsze jest mniejsza od jedynki. Dopiero przy równych całościach porównaj części ułamkowe zwykłym sposobem.

Jak porównać ułamek zwykły z liczbą dziesiętną?

Sprowadź obie liczby do tej samej postaci. Najprościej podzielić licznik przez mianownik: $\frac{5}{8} = 0{,}625$ , więc $\frac{5}{8} > 0{,}6$ . Można też zamienić dziesiętną na zwykłą ( $0{,}6 = \frac{3}{5}$ ) i porównać na krzyż — wynik jest ten sam.

Czy porównanie z połową zawsze działa?

Nie — rozstrzyga tylko wtedy, gdy jeden ułamek jest mniejszy od $\frac{1}{2}$ , a drugi większy. Jeśli oba są po tej samej stronie, trzeba sięgnąć po mnożenie na krzyż. Sprawdzenie kosztuje jednak sekundę, a gdy zadziała, oszczędza cały rachunek — dlatego warto zaczynać od niego.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, mnożenie, dzielenie i skracanie Ułamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamek właściwy, niewłaściwy i nieskracalny Skracanie i rozszerzanie ułamkówBez rozszerzania nie ma wspólnego mianownika, a bez niego porównania Dodawanie i odejmowanie ułamkówTen sam wspólny mianownik, tylko użyty do działania zamiast do porównania Ułamki na osi liczbowejPorównywanie widziane jako położenie na osi — zadania z arkuszy CKE

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.