Strona główna › Geometria › Pole rombu — trzy wzory i jak wybrać właściwy

Pole rombu — trzy wzory i jak wybrać właściwy

Q: Jak obliczyć pole rombu?

Najczęściej ze wzoru P = d_1 · d_2/2, czyli połowy iloczynu przekątnych. Gdy dane są bok i wysokość, użyj P = a · h, a gdy bok i kąt — P = a^2 . Wybór zależy wyłącznie od tego, co jest w zadaniu.

Q: Dlaczego pole rombu to połowa iloczynu przekątnych?

Bo przekątne rombu są prostopadłe i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych d_1/2 i d_2/2. Można też patrzeć tak: romb wpisuje się w prostokąt o bokach d_1 i d_2 i zajmuje dokładnie jego połowę.

Q: Jak obliczyć pole rombu, znając bok i kąt?

Ze wzoru P = a^2 . Dla boku 5 i kąta 120^ daje to 25 · √(3)2 = 25√(3)2 — i w tej postaci zostawiamy odpowiedź. Nie ma znaczenia, czy weźmiesz kąt ostry, czy rozwarty — ich sinusy są równe.

Q: Jak obliczyć drugą przekątną, znając bok i pierwszą?

Twierdzeniem Pitagorasa w ćwiartce rombu, czyli w jednym z czterech trójkątów prostokątnych, na jakie dzielą go przekątne. Bok rombu jest w nim przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są połówki obu przekątnych, więc a^2 = ≤ft(d_1/2 )^2 + ≤ft(d_2/2 )^2. Dla boku 10 i przekątnej 12 połowa tej przekątnej wynosi 6, a druga przyprostokątna wychodzi 8 — cała druga przekątna ma więc 16. Pamiętaj o ostatnim kroku: Pitagoras daje połowę przekątnej, którą trzeba jeszcze podwoić.

Q: Czy wzór na pole rombu działa dla kwadratu?

Tak, bo kwadrat jest rombem. Obie jego przekątne są równe, więc wzór daje P = d · d/2 = d^2/2. To wygodne, gdy zadanie podaje przekątną kwadratu zamiast boku.

Q: Jak obliczyć pole rombu z obwodu?

Sam obwód nie wystarczy — trzeba jeszcze kąta albo wysokości. Obwód daje bok (a = L/4, bo wszystkie boki rombu są równe), a dopiero bok razem z kątem lub wysokością pozwala policzyć pole.

Q: Jaki jest wzór na romb?

Wzór na romb to najczęściej wzór na jego pole, a te są trzy: iloczyn boku i wysokości, połowa iloczynu przekątnych albo iloczyn kwadratu boku i sinusa kąta. Wybór zależy wyłącznie od tego, które wielkości podano w zadaniu.

Romb jest jedyną figurą w szkole, dla której podaje się trzy różne wzory na pole. To nie jest komplikacja dla samej komplikacji: każdy z nich pasuje do innego zestawu danych, a całą trudność zadania stanowi zwykle wybór właściwego. Kto zna tylko wzór z przekątnych, w połowie zadań utknie już na starcie.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 6–8Zadań z matury: 4

Przejdź od razu do zadań (4) ↓

1Trzy wzory i kiedy który

Wszystkie trzy dają ten sam wynik — różnią się tylko tym, co trzeba mieć w danych.

wzór	gdy w zadaniu są…	poziom
$P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$	obie przekątne	klasa 6
$P = a \cdot h$	bok i wysokość	klasa 6
$P = a^2 \cdot \sin\alpha$	bok i kąt	liceum i matura

Pierwszy wzór jest charakterystyczny dla rombu — działa, bo przekątne rombu są prostopadłe. Dla zwykłego równoległoboku nie zadziała.

Drugi to po prostu wzór na pole równoległoboku, a romb jest równoległobokiem. Uwaga na literę $h$ : to wysokość opuszczona na bok, a nie połowa przekątnej.

Trzeci przydaje się najczęściej na maturze, gdzie dane to zwykle bok i kąt. Wynika z drugiego, bo $h = a \cdot \sin\alpha$ . Wymaga jednak sinusa, a trygonometrii nie ma w podstawie programowej klas VII–VIII — ósmoklasista spotka ten wzór najwyżej w podręczniku jako materiał dodatkowy. Dwa pierwsze wzory wystarczają do wszystkiego, co jest na egzaminie ósmoklasisty.

Jak wybrać w trzy sekundy

Spójrz, co jest dane, nie co jest wygodne.

Dwie przekątne → wzór pierwszy. Bok i wysokość → drugi. Bok i kąt → trzeci.

Jeśli dane nie pasują do żadnego wprost — na przykład masz obwód i kąt — najpierw przelicz je na jedną z tych par. Obwód podzielony przez $4$ daje bok, a wtedy pasuje wzór trzeci.

Ostatnia uwaga o kącie: nie ma znaczenia, czy weźmiesz kąt ostry, czy rozwarty. Sinusy kątów przyległych są równe, bo $\sin(180^\circ - \alpha) = \sin\alpha$ . Dla $\alpha = 150^\circ$ i $\alpha = 30^\circ$ wyjdzie to samo.

2Skąd się bierze wzór z przekątnych

To jedyny z trzech wzorów, którego warto raz nie zapamiętać, tylko zobaczyć.

Przekątne rombu przecinają się w połowie i pod kątem prostym. Dzielą go więc na cztery przystające trójkąty prostokątne, których przyprostokątne to połówki przekątnych: $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ .

P = 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac{d_1}{2}} \cdot \textcolor{#16A06A}{\frac{d_2}{2}} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}

Jest i drugi sposób patrzenia: romb mieści się dokładnie w prostokącie o bokach $d_1$ i $d_2$ — takim, którego boki są równoległe do przekątnych. Romb zajmuje połowę tego prostokąta, stąd dzielenie przez $2$ .

Ten drugi obraz jest wart zapamiętania, bo od razu daje kontrolę sensu: pole rombu musi być mniejsze od iloczynu przekątnych i to dokładnie o połowę.

Dlaczego to nie działa dla każdego równoległoboku

Wzór $\frac{d_1 d_2}{2}$ wymaga, żeby przekątne były prostopadłe — inaczej trójkąty przestają być prostokątne i cały rachunek się rozsypuje.

Prostopadłe przekątne mają: romb, kwadrat i deltoid. Zwykły równoległobok i prostokąt — nie. Dla nich ten wzór daje wynik zawyżony.

Kwadrat jest rombem, więc wolno w nim liczyć pole tak samo: $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}$ .

3Gdy dany jest bok i kąt

To najczęstszy układ danych na maturze i w klasie ósmej — i ten, w którym najłatwiej się zgubić.

P = a^2 \cdot \sin\alpha

Wzór wynika wprost z $P = a \cdot h$ . Wysokość opuszczona z wierzchołka na sąsiedni bok tworzy trójkąt prostokątny, w którym bok $a$ jest przeciwprostokątną, a $h$ leży naprzeciw kąta $\alpha$ — czyli $h = a \sin\alpha$ . Po podstawieniu: $P = a \cdot a \sin\alpha = a^2 \sin\alpha$ .

Warto znać trzy wartości, które wracają w zadaniach najczęściej:

kąt	$\sin$	pole rombu o boku $a$
$30^\circ$ lub $150^\circ$	$\frac{1}{2}$	$\frac{a^2}{2}$
$45^\circ$ lub $135^\circ$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{a^2\sqrt{2}}{2}$
$60^\circ$ lub $120^\circ$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{a^2\sqrt{3}}{2}$

Zwróć uwagę na przypadek $60^\circ$ : taki romb składa się z dwóch trójkątów równobocznych sklejonych bokiem. Jego pole to więc dwa razy pole trójkąta równobocznego, czyli $2 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$ — zgadza się z tabelą ✓

Przy kącie $90^\circ$ romb jest kwadratem, a $\sin 90^\circ = 1$ , więc wzór daje $P = a^2$ . Wszystkie przypadki szczególne wychodzą z jednego wzoru — nic osobnego do pamiętania.

4Liczenie w drugą stronę i typowe dane pośrednie

Zadania rzadko podają dokładnie to, czego wymaga wzór. Zwykle trzeba wykonać jeden krok pośredni.

w zadaniu jest	krok pośredni	potem
obwód	$a = \frac{L}{4}$	wzór z bokiem
pole i jedna przekątna	$d_2 = \frac{2P}{d_1}$	gotowe
bok i jedna przekątna	Pitagoras w ćwiartce rombu	druga przekątna
iloczyn przekątnych	$P = \frac{\text{iloczyn}}{2}$	gotowe, bez liczenia obu

Trzeci wiersz to najczęstszy rachunek w tym temacie. Ćwiartka rombu jest trójkątem prostokątnym o przeciwprostokątnej $a$ i przyprostokątnych $\frac{d_1}{2}$ , $\frac{d_2}{2}$ , więc:

a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2

Obwód rombu jest zawsze czterokrotnością boku, bo wszystkie boki są równe — to najprostsza rzecz na tej stronie i zarazem ta, o której najłatwiej zapomnieć, gdy zadanie podaje obwód zamiast boku.

Ostatnia rzecz: pole podaje się w jednostkach kwadratowych. Jeśli przekątne są w centymetrach, pole wyjdzie w cm². Zamiana na m² wymaga dzielenia przez $10\,000$ , a nie przez $100$ .

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór z przekątnych, obwód i kąt, oraz droga od boku i przekątnej do pola.

Przykład 1 Pole z dwóch przekątnych

Romb ma przekątne $30$ cm i $16$ cm. Oblicz jego pole i obwód.

Pole ze wzoru: $P = \frac{30 \cdot 16}{2} = \frac{480}{2} = 240$ cm².
Kontrola prostokątem: romb mieści się w prostokącie $30 \times 16$ o polu $480$ i zajmuje jego połowę ✓
Obwód wymaga boku, więc liczę go z ćwiartki rombu. Połówki przekątnych to $15$ i $8$ .
Z Pitagorasa: $a^2 = 15^2 + 8^2 = 225 + 64 = 289$ , więc $a = 17$ cm.
Obwód: $4 \cdot 17 = 68$ cm.
Kontrola drugim wzorem na pole: wysokość $h = \frac{P}{a} = \frac{240}{17} \approx 14{,}12$ cm, a wtedy $17 \cdot \frac{240}{17} = 240$ cm² ✓

Odpowiedź: Pole $240$ cm², obwód $68$ cm

Ostatni krok jest wart uwagi z dwóch powodów. Po pierwsze, dwa różne wzory dały ten sam wynik — to najtańsza kontrola w temacie. Po drugie, wyszła z niego relacja, którą warto zapamiętać: wysokość rombu nigdy nie jest dłuższa od boku (tu $14{,}12 < 17$ ), bo wysokość to najkrótsza droga między dwoma bokami równoległymi. Równość zachodzi w jednym przypadku — gdy romb jest kwadratem; wtedy wysokość pokrywa się z bokiem. To dobra ilustracja reguły, że zdanie o rombie zaczynające się od „zawsze" trzeba sprawdzić na kwadracie, bo kwadrat też jest rombem. Bok wyszedł całkowity, bo $8$ , $15$ , $17$ to trójka pitagorejska — rzadsza niż $3$ – $4$ – $5$ , ale w zadaniach o rombie wygodna, bo obie połówki przekątnych są całkowite.

Przykład 2 Obwód i kąt rozwarty

Romb ma obwód $20$ i kąt rozwarty $120^\circ$ . Oblicz jego pole.

Dany jest obwód, a nie bok — więc pierwszy krok to $a = \frac{20}{4} = 5$ .
Dane to teraz bok i kąt, czyli pasuje wzór $P = a^2 \sin\alpha$ .
Kąt rozwarty ma $120^\circ$ , a $\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ — tyle samo co $\sin 60^\circ$ , bo sinusy kątów przyległych są równe.
Podstawiam: $P = 5^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ .
Wynik zostaje w postaci dokładnej: $\frac{25\sqrt{3}}{2}$ . Bez polecenia nie zamieniamy go na liczbę dziesiętną.
Kontrola sensu: gdyby romb był kwadratem o boku $5$ , pole wynosiłoby $25$ . Romb „położony” na kąt $120^\circ$ musi mieć pole mniejsze — i ma ✓

Odpowiedź: $P = \frac{25\sqrt{3}}{2}$

Dwa kroki pośrednie: obwód → bok, kąt rozwarty → sinus kąta ostrego. Oba są miejscem, w którym zadanie sprawdza, czy uczeń czyta dane, zamiast od razu podstawiać.

Przykład 3 Bok i jedna przekątna

Romb ma bok $10$ cm i jedną przekątną $12$ cm. Oblicz pole.

Wzór z przekątnych wymaga obu, a mam jedną — muszę doliczyć drugą.
Ćwiartka rombu to trójkąt prostokątny: przeciwprostokątna $10$ , jedna przyprostokątna to połowa danej przekątnej, czyli $\frac{12}{2} = 6$ .
Z Pitagorasa: $\left(\frac{d_2}{2}\right)^2 = 10^2 - 6^2 = 100 - 36 = 64$ , więc $\frac{d_2}{2} = 8$ .
Cała druga przekątna: $d_2 = 2 \cdot 8 = 16$ cm.
Pole: $P = \frac{12 \cdot 16}{2} = \frac{192}{2} = 96$ cm².
Kontrola sensu: obie przekątne muszą być krótsze od podwojonego boku, czyli od $20$ — a $12$ i $16$ są ✓
Kontrola drugim wzorem: $h = \frac{96}{10} = 9{,}6$ cm, i rzeczywiście $9{,}6 < 10$ , bo wysokość rombu nie może być dłuższa od boku (równa jest tylko w kwadracie) ✓

Odpowiedź: $P = 96$ cm²

Trójka $6$ – $8$ – $10$ to powiększona trójka $3$ – $4$ – $5$ . Autorzy zadań sięgają po nią stale, więc warto ją rozpoznawać — oszczędza liczenia pierwiastka.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwsze dwa odpowiadają za większość utraconych punktów.

Mnożenie przekątnych bez dzielenia przez 2

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{P = 30 \cdot 16 = 480}$ zamiast $240$ daje wynik dwa razy za duży. To pole prostokąta, w którym romb się mieści, a nie samego rombu. Rachunek wygląda poprawnie, więc rzadko bywa sprawdzany.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj obraz, nie wzór: romb zajmuje połowę prostokąta zbudowanego na jego przekątnych. Jeśli w odpowiedzi wyszedł pełny iloczyn przekątnych, brakuje dzielenia.

Podstawienie połowy przekątnej jako wysokości

Skąd się bierze: We wzorze $P = a \cdot h$ litera $h$ oznacza wysokość opuszczoną na bok, a nie połówkę przekątnej. Podstawienie połówki przekątnej daje liczbę, która nie ma związku z polem — w rombie o boku $17$ i przekątnych $30$ i $16$ wysokość wynosi około $14{,}12$ , a połówki przekątnych to $15$ i $8$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, do czego odcinek jest prostopadły. Wysokość jest prostopadła do boku; przekątne są prostopadłe do siebie nawzajem. To dwie różne rzeczy w tej samej figurze.

Branie sinusa kąta rozwartego za coś innego niż sinus ostrego

Skąd się bierze: Uczeń widzi $150^\circ$ , nie znajduje tej wartości w tablicach dla kątów ostrych i utyka albo wpisuje wartość ujemną. Tymczasem $\sin 150^\circ = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ — sinusy kątów przyległych są równe.

Jak zrobić dobrze: Przy kącie rozwartym $\alpha$ policz $180^\circ - \alpha$ i użyj sinusa tego kąta ostrego. W rombie i tak nie ma znaczenia, który z dwóch kątów weźmiesz — wynik będzie ten sam.

Użycie wzoru z przekątnych dla równoległoboku

Skąd się bierze: Wzór $\frac{d_1 d_2}{2}$ działa tylko wtedy, gdy przekątne są prostopadłe. W zwykłym równoległoboku nie są, więc wzór daje wynik zawyżony — a wygląda tak samo poprawnie jak w rombie.

Jak zrobić dobrze: Zanim go użyjesz, sprawdź, czy figura ma prostopadłe przekątne. Mają je: romb, kwadrat i deltoid. Dla równoległoboku i prostokąta użyj $P = a \cdot h$ .

Zadania maturalne — pole rombu

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane. Czerwone — to, co z tego wynika. Romb to równoległobok o równych bokach, więc działa na nim wszystko, co na równoległoboku — tylko prościej, bo boki są takie same: $P = a^2\sin\alpha$ . Drugi wzór, przez przekątne, jest równie ważny: $P = \tfrac12 d_1 d_2$ . Z zestawienia obu wynika użyteczna rzecz — iloczyn przekątnych to podwojone pole. Przekątne rombu są prostopadłe i dzielą kąty na połowy, więc jeśli kąt rombu wynosi

\alpha

, to

d_1 = 2a\cos\tfrac{\alpha}{2}

oraz

d_2 = 2a\sin\tfrac{\alpha}{2}

. I jak w każdym równoległoboku: kąt ostry i rozwarty dają ten sam sinus, więc nie trzeba sprawdzać, który z nich podano.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (maj 2019)1 pktłatwe

Dany jest romb o boku długości

4

i kącie rozwartym

150^\circ

. Pole tego rombu jest równe

A. $8$
B. $12$
C. $8\sqrt{3}$
D. $16$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Bok i kąt są podane wprost, więc wystarczy podstawić do wzoru $P = a^2\sin\alpha$ .
$\sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \sin(180^\circ - 150^\circ) = \sin 30^\circ = \textcolor{#E0453A}{\tfrac12}$
$P = \textcolor{#16A06A}{4}^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = 16 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{8}$
Odpowiedź: A.
Kontrola rzędem wielkości: $a^2 = 16$ to pole kwadratu o tym boku. Romb o kącie innym niż prosty ma pole mniejsze, a przy kącie tak „płaskim” jak $150^\circ$ — wyraźnie mniejsze. Wyszła dokładnie połowa, bo $\sin 150^\circ = \tfrac12$ .
Warto zobaczyć, skąd biorą się pozostałe odpowiedzi. Każda z nich to $16$ pomnożone przez jakąś liczbę: $8$ przez $\tfrac12$ , $8\sqrt3$ przez $\tfrac{\sqrt3}{2}$ , a $16$ przez $1$ . Pierwsza to $\sin 150^\circ$ , druga $\sin 60^\circ$ , trzecia $\sin 90^\circ$ — czyli trzy „ładne” kąty. Tylko odpowiedź $B$ nie odpowiada żadnemu z nich.

💡 Wskazówka: Podstawiaj kąt rozwarty wprost — $\sin 150^\circ$ i $\sin 30^\circ$ to ta sama liczba, więc zamiana na kąt ostry to zbędny krok. Wynik zawsze porównaj z $a^2$ : pole rombu jest od niego mniejsze, chyba że romb jest kwadratem.

⚠ Odpowiedź $D$ , czyli $16$ — potraktowanie rombu jak kwadratu, czyli pominięcie sinusa. Odpowiedź $C$ , czyli $8\sqrt3$ , odpowiada kątowi $60^\circ$ zamiast $150^\circ$ — powstaje, gdy ktoś odejmuje $150^\circ$ od $210^\circ$ albo po prostu sięga po najczęściej używany sinus. Kontrola: przy kącie bliskim $180^\circ$ romb jest niemal płaski, więc jego pole musi być małe — a $8\sqrt3 \approx 13{,}9$ to prawie tyle, co pole kwadratu.

Zadanie 2 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Pole rombu o obwodzie

20

i kącie rozwartym

120^\circ

jest równe

A. $\dfrac{25\sqrt{3}}{2}$
B. $\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$
C. $\dfrac{25}{2}$
D. $\dfrac{5\sqrt{3}}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Tym razem bok nie jest podany wprost — jest schowany w obwodzie. To jest jedyny dodatkowy krok względem poprzedniego zadania.
Romb ma cztery równe boki, więc:
$a = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{20}}{4} = \textcolor{#E0453A}{5}$
$P = a^2 \sin\alpha = \textcolor{#E0453A}{5}^2 \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{120^\circ} = 25 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{\tfrac{25\sqrt3}{2}}$
Odpowiedź: A.
Kontrola rzędem wielkości: $\tfrac{25\sqrt3}{2} \approx 21{,}65$ , czyli mniej niż $a^2 = 25$ ✓, ale niewiele mniej — i tak być powinno, bo $120^\circ$ nie jest daleko od kąta prostego.
Kontrola drugą drogą, przez przekątne: $d_1 = 2 \cdot 5 \cdot \cos 60^\circ = 5$ oraz $d_2 = 2 \cdot 5 \cdot \sin 60^\circ = 5\sqrt3$ . Wtedy $P = \tfrac12 \cdot 5 \cdot 5\sqrt3 = \tfrac{25\sqrt3}{2}$ ✓ — ten sam wynik zupełnie innym rachunkiem.

💡 Wskazówka: Zanim sięgniesz po wzór, sprawdź, czy masz bok. Obwód rombu to cztery boki, więc dzielisz przez cztery — nie przez dwa, jak w prostokącie. Ten jeden krok jest tu całą różnicą względem zadania, w którym bok podano wprost.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $\tfrac{5\sqrt3}{2}$ — z pominięcia kwadratu: $a \cdot \sin\alpha$ zamiast $a^2 \sin\alpha$ . Wynik jest pięć razy za mały. Odpowiedź $C$ , czyli $\tfrac{25}{2}$ , odpowiada sinusowi $\tfrac12$ , czyli kątowi $30^\circ$ zamiast $120^\circ$ . Odpowiedź $D$ to połowa odpowiedzi $B$ — czyli oba te błędy naraz plus policzenie pola trójkąta zamiast rombu.

Zadanie 3 (maj 2023)1 pktśrednie

W rombie o boku długości

6\sqrt{2}

kąt rozwarty ma miarę

150^\circ

.

Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy

A. $24$
B. $72$
C. $36$
D. $36\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Pytanie nie dotyczy pola, ale najkrótsza droga i tak prowadzi przez pole — bo pole rombu wyraża się przez przekątne wzorem $P = \tfrac12 d_1 d_2$ . Przekształcając: $d_1 d_2 = 2P$ .
Wystarczy więc policzyć pole i podwoić je. Bok i kąt są podane wprost:
$P = \left(\textcolor{#16A06A}{6\sqrt2}\right)^2 \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{150^\circ} = \textcolor{#E0453A}{72} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{36}$
$d_1 d_2 = 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{36} = \textcolor{#E0453A}{72}$
Odpowiedź: B.
Zwróć uwagę na rachunek $\left(6\sqrt2\right)^2 = 36 \cdot 2 = 72$ — kwadratuje się oba czynniki, także pierwiastek.
Kontrola drugą drogą, przez wyliczenie obu przekątnych osobno. Przekątne dzielą kąt $150^\circ$ na dwa po $75^\circ$ , więc $d_1 = 2a\cos 75^\circ$ oraz $d_2 = 2a\sin 75^\circ$ . Dla $a = 6\sqrt2 \approx 8{,}49$ daje to $d_1 \approx 4{,}39$ i $d_2 \approx 16{,}39$ , a ich iloczyn $\approx 71{,}99$ ✓ — czyli $72$ z dokładnością do zaokrągleń.
Ten sam rachunek bez przybliżeń, jednym przekształceniem: $d_1 d_2 = 4a^2 \sin 75^\circ \cos 75^\circ = 2a^2 \sin 150^\circ = 2 \cdot 72 \cdot \tfrac12 = 72$ ✓. Widać w nim, dlaczego droga przez pole jest krótsza — jest to dokładnie ten sam rachunek, tylko zapisany od razu w postaci $2P$ .
Najprostsza kontrola: iloczyn przekątnych musi być dwa razy większy od pola. Pole wyszło $36$ , iloczyn $72$ ✓.

💡 Wskazówka: Gdy pytanie dotyczy iloczynu przekątnych, nie licz ich osobno — policz pole i pomnóż przez dwa. Odwrotnie też: mając przekątne, dzielisz ich iloczyn przez dwa i masz pole. To jedna zależność używana w obie strony.

⚠ Odpowiedź $C$ , czyli $36$ — podanie pola zamiast iloczynu przekątnych, czyli zatrzymanie się jeden krok przed końcem. To najczęstszy błąd w tym zadaniu i dlatego liczba $36$ jest wśród odpowiedzi. Odpowiedź $D$ , czyli $36\sqrt2$ , powstaje z niedokończonego kwadratowania boku: $\left(6\sqrt2\right)^2$ policzone jako $36\sqrt2$ zamiast $72$ .

Zadanie 4 (grudzień 2023)1 pkttrudniejsze

W rombie

ABCD

dłuższa przekątna

AC

ma długość

12

i tworzy z bokiem

AB

kąt o mierze

30^\circ

.

Pole rombu

ABCD

jest równe

A. $24$
B. $36$
C. $24\sqrt{3}$
D. $36\sqrt{2}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Tu ani bok, ani kąt rombu nie są podane — trzeba je oba wydobyć z jednej danej i jednego kąta. Klucz jest w tym, że przekątna rombu dzieli jego kąt na połowy.
Skoro $AC$ tworzy z bokiem $AB$ kąt $\textcolor{#16A06A}{30^\circ}$ , a jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $A$ , to cały kąt rombu wynosi $\textcolor{#E0453A}{60^\circ}$ .
Teraz bok. Przekątne rombu są prostopadłe i przecinają się w połowie, więc połowa przekątnej $AC$ to $\textcolor{#E0453A}{6}$ , a w powstałym trójkącie prostokątnym:
$\cos \textcolor{#16A06A}{30^\circ} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{a} \quad\Longrightarrow\quad a = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6}}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \dfrac{12}{\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}$
$P = a^2 \sin \textcolor{#E0453A}{60^\circ} = \left(\textcolor{#E0453A}{4\sqrt3}\right)^2 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = 48 \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{24\sqrt3}$
Odpowiedź: C.
Kontrola drugą drogą, przez przekątne. Krótsza przekątna to $BD = 2a\sin 30^\circ = 2 \cdot 4\sqrt3 \cdot \tfrac12 = 4\sqrt3$ . Wtedy $P = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{12} \cdot 4\sqrt3 = \textcolor{#E0453A}{24\sqrt3}$ ✓ — ten sam wynik bez liczenia sinusa kąta rombu.
Kontrola, że $AC$ naprawdę jest dłuższą przekątną: $AC = 12$ , a $BD = 4\sqrt3 \approx 6{,}93$ ✓. Warto ją zrobić, bo gdyby wyszło odwrotnie, znaczyłoby to, że kąt rombu został źle odczytany.

💡 Wskazówka: Zapamiętaj dwie własności przekątnych rombu i używaj ich razem: dzielą kąty na połowy i są prostopadłe. Pierwsza daje kąt rombu z kąta na rysunku, druga tworzy trójkąt prostokątny, z którego wyliczysz bok. Na końcu sprawdź, czy przekątna nazwana dłuższą naprawdę wyszła dłuższa.

⚠ Odpowiedź $A$ , czyli $24$ — z przyjęcia, że krótsza przekątna wynosi $4$ zamiast $4\sqrt3$ , czyli z pominięcia pierwiastka przy wyznaczaniu boku. Odpowiedź $B$ , czyli $36$ , powstaje z założenia, że druga przekątna to połowa pierwszej: $\tfrac12 \cdot 12 \cdot 6$ . Oba błędy dają wynik wymierny, a przy kącie $30^\circ$ w rachunku musi zostać $\sqrt3$ — sama obecność albo brak pierwiastka jest tu dobrą wskazówką.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. A

2. A

3. B

4. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jak obliczyć pole rombu?

Najczęściej ze wzoru $P = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$ , czyli połowy iloczynu przekątnych. Gdy dane są bok i wysokość, użyj $P = a \cdot h$ , a gdy bok i kąt — $P = a^2 \sin\alpha$ . Wybór zależy wyłącznie od tego, co jest w zadaniu.

Dlaczego pole rombu to połowa iloczynu przekątnych?

Bo przekątne rombu są prostopadłe i dzielą go na cztery przystające trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\frac{d_1}{2}$ i $\frac{d_2}{2}$ . Można też patrzeć tak: romb wpisuje się w prostokąt o bokach $d_1$ i $d_2$ i zajmuje dokładnie jego połowę.

Jak obliczyć pole rombu, znając bok i kąt?

Ze wzoru $P = a^2 \sin\alpha$ . Dla boku $5$ i kąta $120^\circ$ daje to $25 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{25\sqrt{3}}{2}$ — i w tej postaci zostawiamy odpowiedź. Nie ma znaczenia, czy weźmiesz kąt ostry, czy rozwarty — ich sinusy są równe.

Jak obliczyć drugą przekątną, znając bok i pierwszą?

Twierdzeniem Pitagorasa w ćwiartce rombu, czyli w jednym z czterech trójkątów prostokątnych, na jakie dzielą go przekątne. Bok rombu jest w nim przeciwprostokątną, a przyprostokątnymi są połówki obu przekątnych, więc $a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$ . Dla boku $10$ i przekątnej $12$ połowa tej przekątnej wynosi $6$ , a druga przyprostokątna wychodzi $8$ — cała druga przekątna ma więc $16$ . Pamiętaj o ostatnim kroku: Pitagoras daje połowę przekątnej, którą trzeba jeszcze podwoić.

Czy wzór na pole rombu działa dla kwadratu?

Tak, bo kwadrat jest rombem. Obie jego przekątne są równe, więc wzór daje $P = \frac{d \cdot d}{2} = \frac{d^2}{2}$ . To wygodne, gdy zadanie podaje przekątną kwadratu zamiast boku.

Jak obliczyć pole rombu z obwodu?

Sam obwód nie wystarczy — trzeba jeszcze kąta albo wysokości. Obwód daje bok ( $a = \frac{L}{4}$ , bo wszystkie boki rombu są równe), a dopiero bok razem z kątem lub wysokością pozwala policzyć pole.

Jaki jest wzór na romb?

Wzór na romb to najczęściej wzór na jego pole, a te są trzy: iloczyn boku i wysokości, połowa iloczynu przekątnych albo iloczyn kwadratu boku i sinusa kąta. Wybór zależy wyłącznie od tego, które wielkości podano w zadaniu.

Czytaj dalej

Pola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskich Romb — własności figuryPrzekątne, symetrie i miejsce wśród czworokątów Pole trapezuTen sam problem: wzór łatwy, wysokość trzeba znaleźć Twierdzenie PitagorasaStąd bok z przekątnych i przekątna z boku KwadratSzczególny romb — i dlatego wolno w nim liczyć pole tak samo

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.