Strona główna › Geometria › Rodzaje kątów — od ostrego do pełnego

Rodzaje kątów — od ostrego do pełnego

Q: Jakie są rodzaje kątów?

Siedem, licząc według miary: zerowy (0°), ostry (mniej niż 90°), prosty (90°), rozwarty (między 90° a 180°), półpełny (180°), wklęsły (między 180° a 360°) i pełny (360°). Razem pokrywają cały zakres bez luk — bez kąta zerowego brakowałoby właśnie miary 0°.

Q: Czym różni się kąt wypukły od wklęsłego?

Granicą jest 180°: wypukły ma miarę nie większą niż 180°, wklęsły — większą od 180°, ale mniejszą od 360°. Kąt pełny nie należy do żadnej z tych dwóch grup. To osobny podział niż na ostry, prosty i rozwarty, więc kąt 120° jest jednocześnie rozwarty i wypukły.

Q: Jak zmierzyć kąt wklęsły?

Zwykły kątomierz ma skalę do 180°, więc zmierz kąt wypukły po drugiej stronie tych samych ramion i odejmij wynik od 360°. Dla kąta wypukłego 130° wklęsły wynosi 230°, bo 130° + 230° = 360°.

Q: Ile stopni ma kąt półpełny, a ile pełny?

Półpełny ma 180°, a pełny 360° — nazwa mówi wprost, że półpełny to połowa pełnego. Kąt półpełny to suma kątów trójkąta, a pełny to suma kątów czworokąta oraz suma kątów wokół punktu.

Q: Czy kąt wklęsły jest w programie szkoły podstawowej?

Nie jako wymaganie. Podstawa programowa każe rozpoznawać tylko kąt prosty, ostry i rozwarty oraz mierzyć kąty mniejsze niż 180°. Cztery pozostałe nazwy z tej strony — zerowy, półpełny, wklęsły i pełny — są nadprogramowe, choć przydają się przy zadaniach o obrotach i o zegarze.

Q: Dlaczego pełny obrót ma 360 stopni?

To dziedzictwo starożytnej Mezopotamii i systemu sześćdziesiątkowego. Liczba 360 ma bardzo wiele dzielników, więc połowa, jedna trzecia czy jedna dziesiąta obrotu wypadają na okrągłych liczbach. Z tego samego powodu godzina ma 60 minut.

Kąt ostry, prosty i rozwarty zna każdy uczeń. Kąt wklęsły, półpełny i pełny — już nie, choć to właśnie one dopełniają obraz. Ta strona pokazuje wszystkie siedem rodzajów jako jeden podział bez luk, obejmujący cały zakres od $0°$ do $360°$ , oraz drugi podział — na kąty wypukłe i wklęsłe — który biegnie w poprzek pierwszego.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 10

Przejdź od razu do zadań (10) ↓

1Czym jest kąt i jak go mierzymy

Kąt tworzą dwie półproste o wspólnym początku. Ten wspólny początek nazywamy wierzchołkiem, a same półproste — ramionami.

To, że ramiona są półprostymi, a nie odcinkami, ma konkretną konsekwencję: ramion nie da się „wydłużyć” ani „skrócić”, bo i tak biegną bez końca. Mierzymy więc nie ich długość, lecz rozwarcie między nimi.

Jednostką miary kąta jest stopień, oznaczany małym kółkiem: $45°$ . Mierzymy kątomierzem, w szkole z dokładnością do $1°$ .

Skąd akurat 360 stopni

Pełny obrót podzielono na $360$ części już w starożytnej Mezopotamii, gdzie liczono w systemie sześćdziesiątkowym.

Liczba $360$ jest wyjątkowo wygodna, bo dzieli się przez bardzo wiele liczb: $2$ , $3$ , $4$ , $5$ , $6$ , $8$ , $9$ , $10$ , $12$ , $15$ , $18$ , $20$ , $24$ , $30$ , $36$ , $40$ , $45$ , $60$ , $72$ , $90$ , $120$ i $180$ . Dzięki temu połowa, jedna trzecia czy jedna dziesiąta obrotu wypadają na okrągłych liczbach.

Ten sam system sześćdziesiątkowy odziedziczyliśmy w jednostkach czasu — godzina ma $60$ minut z dokładnie tego samego powodu.

Rysując kąt, zaznaczamy go łukiem między ramionami. Kąt prosty zaznacza się inaczej — łukiem z kropką, tak jak w arkuszach egzaminacyjnych.

2Siedem rodzajów — cały zakres bez luk

Nazwy kątów nie są przypadkową listą. Razem pokrywają cały zakres miar od $0°$ do $360°$ i nie zostawiają ani jednej luki.

rodzaj	miara	jak wygląda
zerowy	$0°$	ramiona się pokrywają
ostry	większa od $0°$ , mniejsza od $90°$	wąski, „szpiczasty”
prosty	dokładnie $90°$	narożnik kartki
rozwarty	większa od $90°$ , mniejsza od $180°$	szeroki, ale jeszcze nie płaski
półpełny	dokładnie $180°$	ramiona tworzą prostą
wklęsły	większa od $180°$ , mniejsza od $360°$	„wgnieciony”, obejmuje więcej niż pół obrotu
pełny	dokładnie $360°$	pełny obrót, ramiona znów się pokrywają

Warto przeczytać tę tabelę jak oś liczbową: cztery rodzaje to konkretne wartości ( $0°$ , $90°$ , $180°$ i $360°$ ), a pozostałe trzy to przedziały między nimi. Nic nie zostaje pominięte i nic się nie nakłada.

Co obowiązuje w szkole podstawowej

Dział VIII podstawy programowej dla szkoły podstawowej („Kąty”, wersja obowiązująca od 2025) ma sześć punktów i z siedmiu nazw opisanych na tej stronie wymienia trzy: punkt 4 brzmi „rozpoznaje kąt prosty, ostry i rozwarty”. Punkty 2 i 3 dotyczą mierzenia i rysowania kątów mniejszych niż $180°$ , punkt 1 — wskazywania ramion i wierzchołka, punkt 5 — porównywania kątów, a punkt 6 — kątów wierzchołkowych i przyległych.

Pozostałe cztery nazwy — zerowy, półpełny, wklęsły i pełny — to materiał nadprogramowy. Trzy plus cztery daje siedem, więc rachunek się domyka: podstawa nie wymaga z nazwy żadnej z nich. Wracają jednak w podręcznikach i zadaniach dodatkowych, a bez kąta zerowego i pełnego podział przestałby pokrywać cały zakres — dlatego opisuję komplet. Przydają się zwłaszcza przy zadaniach o obrotach i o wskazówkach zegara.

Dobra kontrola pamięci: kąt półpełny to połowa pełnego ( $180°$ to połowa $360°$ ), a kąt prosty to połowa półpełnego ( $90°$ to połowa $180°$ ). Trzy najważniejsze miary układają się w ciąg dzielony na pół.

3Wypukły i wklęsły — drugi, niezależny podział

Tu jest miejsce, w którym uczniowie się gubią, bo „wypukły” nie jest kolejnym rodzajem po rozwartym. To podział z zupełnie innej listy.

podział pierwszy	podział drugi
zerowy, ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełny	wypukły albo wklęsły
dzieli zakres na siedem części	dzieli kąty mniejsze od $360°$ na dwie części, granicą jest $180°$
odpowiada na pytanie „jak duży”	odpowiada na pytanie „mniejszy czy większy od półpełnego”

Kąt wypukły ma miarę nie większą niż $180°$ . Wypukłe są więc kąty zerowe, ostre, proste, rozwarte i półpełny — wszystkie naraz.

Kąt wklęsły ma miarę większą niż $180°$ i mniejszą niż $360°$ — tak samo jak w pierwszej tabeli. Kąt pełny stoi więc poza tym podziałem: ma dokładnie $360°$ , więc nie jest ani wypukły, ani wklęsły; jego ramiona znów się pokrywają, tak jak przy kącie zerowym. I uwaga na pułapkę językową: „wklęsły” występuje w obu podziałach i znaczy w nich to samo. To jedyne słowo, które się powtarza.

Dlaczego to nie jest jedna lista

Kąt $120°$ jest rozwarty i jednocześnie wypukły — to nie sprzeczność, tylko dwie różne odpowiedzi na dwa różne pytania.

Nie istnieje natomiast kąt „ostry wklęsły”, bo ostry znaczy mniejszy od $90°$ , a wklęsły — większy od $180°$ .

Zapamiętaj: pierwszy podział mówi jak duży, drugi — po której stronie $180°$ .

Nazwa bierze się z wyglądu figury: w wielokącie wypukłym wszystkie kąty wewnętrzne są wypukłe i figura nigdzie nie jest „wgnieciona”. Wystarczy jeden kąt wklęsły, żeby wielokąt też nazwać wklęsłym.

4Jak zmierzyć kąt większy od 180°

Zwykły kątomierz ma skalę tylko do $180°$ — kąta wklęsłego nie da się nim zmierzyć wprost. Jest jednak prosty sposób.

zmierz kąt wypukły po drugiej stronie tych samych ramion,
odejmij wynik od $360°$ .

\text{kąt wklęsły} = 360° - \textcolor{#16A06A}{\text{kąt wypukły}}

Dla kąta wypukłego $130°$ wklęsły wynosi $360° - 130° = 230°$ . Sprawdzenie jest natychmiastowe: $130° + 230° = 360°$ , czyli razem dają pełny obrót ✓

Te same dwa ramiona wyznaczają zawsze dwa kąty, których miary sumują się do $360°$ . Zwykle jeden z nich jest wypukły, a drugi wklęsły — i wtedy trzeba sprawdzić, o który z nich pytano. Dwa przypadki graniczne wyglądają inaczej: gdy ramiona układają się w prostą, oba kąty są półpełne (po $180°$ ), a gdy się pokrywają — jeden jest zerowy, drugi pełny. Suma $360°$ zachodzi za każdym razem.

Najlepszy przykład: wskazówki zegara

O godzinie $7{:}00$ wskazówki tworzą kąt wypukły $150°$ i jednocześnie kąt wklęsły $210°$ . Suma: $360°$ ✓

Zwykle mówimy o tym mniejszym — i tak też trzeba odpowiadać, gdy zadanie nie precyzuje. Ale gdy pyta o „kąt, przez który przeszła wskazówka”, chodzi już o konkretny, nie zawsze mniejszy.

Przydatne liczby do zadań o zegarze: wskazówka minutowa pokonuje $6°$ na minutę ( $360° : 60$ ), a godzinowa $30°$ na godzinę ( $360° : 12$ ), czyli $0{,}5°$ na minutę.

5Gdzie te kąty spotkasz

Poszczególne rodzaje kątów nie są ciekawostką — każdy ma swoje typowe miejsce.

prosty — w prostopadłości, przy wysokościach figur i w rogach prostokąta,
ostry — w trójkącie ostrokątnym i w trójkącie $30°$ , $60°$ , $90°$ ,
rozwarty — w trójkącie rozwartokątnym, gdzie wysokość wypada poza figurą,
półpełny — jako suma kątów przyległych i suma kątów w trójkącie,
pełny — jako suma kątów czworokąta oraz suma kątów wokół punktu,
wklęsły — w wielokątach wklęsłych, w zadaniach o obrotach i o wskazówkach zegara.

Zwróć uwagę na dwa środkowe punkty: suma kątów trójkąta to kąt półpełny, a suma kątów czworokąta to kąt pełny. To nie przypadek — czworokąt da się przeciąć przekątną na dwa trójkąty, więc $180° + 180° = 360°$ .

Kąty powstające przy przecięciu prostych — wierzchołkowe, przyległe, odpowiadające i naprzemianległe — to osobny temat, który opisuję przy kątach między prostymi.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: klasyfikacja, kąt wklęsły z dopełnienia i zadanie o zegarze.

Przykład 1 Klasyfikacja kątów

Określ rodzaj każdego z kątów: $45°$ , $90°$ , $120°$ , $180°$ , $250°$ , $360°$ . Podaj też, które z nich są wypukłe.

$45°$ — mniejszy od $90°$ , więc ostry. Wypukły, bo nie przekracza $180°$ .
$90°$ — dokładnie tyle, więc prosty. Też wypukły.
$120°$ — między $90°$ a $180°$ , więc rozwarty. Nadal wypukły.
$180°$ — dokładnie tyle, więc półpełny. To graniczny przypadek kąta wypukłego.
$250°$ — między $180°$ a $360°$ , więc wklęsły. Wypukły już nie jest.
$360°$ — pełny obrót, czyli kąt pełny.
Kontrola: pierwsze cztery są wypukłe, dwa ostatnie nie — granica przebiega dokładnie przy $180°$ ✓

Odpowiedź: Kolejno: ostry, prosty, rozwarty, półpełny, wklęsły, pełny. Wypukłe są cztery pierwsze.

Zwróć uwagę, że każdy kąt dostaje dwie odpowiedzi: jedną z pierwszego podziału i jedną z drugiego. To nie jest podwójna klasyfikacja przez pomyłkę — pytania są różne.

Przykład 2 Kąt wklęsły z dopełnienia

Dwa ramiona wyznaczają kąt wypukły o mierze $130°$ . Ile ma kąt wklęsły o tych samych ramionach?

Te same dwa ramiona wyznaczają zawsze dwa kąty: wypukły i wklęsły.
Razem obejmują pełny obrót, więc ich suma wynosi $360°$ .
Stąd kąt wklęsły to $360° - 130°$ .
$360° - 130° = 230°$ .
Kontrola: $130° + 230° = 360°$ ✓
Kontrola rodzaju: $230°$ mieści się między $180°$ a $360°$ , więc rzeczywiście jest to kąt wklęsły ✓

Odpowiedź: $230°$

Ten rachunek jest najprostszym sposobem zmierzenia kąta wklęsłego zwykłym kątomierzem, który ma skalę tylko do $180°$ : mierzymy to, co się da, i odejmujemy od pełnego obrotu. Da się też inaczej — rozciąć kąt wklęsły promieniem na dwa kąty mniejsze od $180°$ , zmierzyć każdy osobno i dodać. Wynik wychodzi ten sam, tylko pomiarów są dwa zamiast jednego.

Przykład 3 Kąt między wskazówkami zegara

Jaki kąt tworzą wskazówki zegara o godzinie $7{:}00$ ? Podaj obie możliwe odpowiedzi.

Tarcza to pełny obrót, czyli $360°$ , podzielony na $12$ godzin.
Jedna godzina odpowiada więc $360° : 12 = 30°$ .
O $7{:}00$ wskazówka minutowa wskazuje godzinę dwunastą, a godzinowa siódmą — dzieli je pięć godzin, licząc krótszą drogą.
Kąt wypukły: $5 \cdot 30° = 150°$ .
Kąt wklęsły po drugiej stronie: $360° - 150° = 210°$ .
Kontrola: $150° + 210° = 360°$ ✓ oraz $150° < 180° < 210°$ , więc pierwszy jest wypukły, drugi wklęsły ✓
Kontrola drogą dłuższą: od siódemki do dwunastki „przez dół” jest siedem godzin, czyli $7 \cdot 30° = 210°$ ✓ — zgadza się z kątem wklęsłym.

Odpowiedź: Kąt wypukły $150°$ , kąt wklęsły $210°$ .

Gdy zadanie nie precyzuje, podajemy mniejszy kąt. Ostatnia kontrola jest warta uwagi: liczenie godzin w drugą stronę daje od razu kąt wklęsły, bez odejmowania.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy dotyczy mylenia dwóch podziałów.

Traktowanie „wypukłego” jako kolejnego rodzaju po rozwartym

Skąd się bierze: Uczeń układa jedną listę: ostry, prosty, rozwarty, wypukły, wklęsły — i szuka kąta, który byłby wypukły, ale nie rozwarty. Tymczasem wypukłe są wszystkie kąty do $180°$ , więc ostry i rozwarty też.

Jak zrobić dobrze: Trzymaj dwie listy osobno. Pierwsza mówi jak duży jest kąt, druga — po której stronie $180°$ leży. Każdy kąt dostaje jedną odpowiedź z każdej listy.

Podanie kąta wypukłego, gdy pytano o wklęsły

Skąd się bierze: Te same ramiona wyznaczają dwa kąty sumujące się do $360°$ , a kątomierz pokazuje tylko ten mniejszy. Uczeń odczytuje $130°$ i zapisuje jako odpowiedź, choć zadanie prosiło o kąt wklęsły, czyli $230°$ .

Jak zrobić dobrze: Sprawdź, o który kąt chodzi, zanim zmierzysz. Jeśli o wklęsły — zmierz wypukły i odejmij od $360°$ . Kontrola: kąt wklęsły zawsze wychodzi większy od $180°$ .

Mylenie kąta półpełnego z pełnym

Skąd się bierze: Nazwy brzmią podobnie, a różnią się dwukrotnie: półpełny to $180°$ , pełny to $360°$ . Podstawienie jednego zamiast drugiego psuje każdy rachunek o kątach wokół punktu albo o sumie kątów czworokąta.

Jak zrobić dobrze: Czytaj nazwę dosłownie: półpełny to połowa pełnego. Skojarz z figurami: półpełny to suma kątów trójkąta, pełny — czworokąta.

Mierzenie ramion zamiast rozwarcia

Skąd się bierze: Uczeń przykłada linijkę do ramion i porównuje ich długość. Ale ramiona to półproste — biegną bez końca, a na rysunku są ucięte przypadkowo. Kąt narysowany krótszymi ramionami nie jest mniejszy.

Jak zrobić dobrze: Mierz kątomierzem rozwarcie między ramionami, a nie ich długość. Dwa kąty o tej samej mierze mogą mieć ramiona narysowane zupełnie różnej długości.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — kąty w figurach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje, co się z czym sumuje: zielone to kąty, które już znamy albo które są sobie równe (np. przy podstawie trójkąta równoramiennego), a czerwona to suma docelowa —

180°

w trójkącie,

360°

w czworokącie,

180°

dla kątów przyległych. Prawie każde zadanie o kątach to jedno z tych trzech równań.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Trójkąty

ABC

ABD

są równoramienne i mają wspólną podstawę

AB

.
• W trójkącie

ABC

kąt między ramionami (przy wierzchołku

C

) ma miarę $80°$ .
• W trójkącie

ABD

kąt między ramionami (przy wierzchołku

B

) ma miarę $40°$ , przy czym

BA = BD

.
Punkt

S

jest punktem przecięcia odcinków

AC

BD

. Uzupełnij zdania.

Kąt

ASB

jest AB.

A. ostry
B. prosty

Miara kąta

DAC

jest równa CD.

C. $20°$
D. $40°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, C

Trójkąt $ABC$ . Ramiona $CA = CB$ , kąt przy $C$ to $\textcolor{#16A06A}{80°}$ . Kąty przy podstawie są równe: $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{80°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Zatem $\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Trójkąt $ABD$ . Ramiona $BA = BD$ , kąt przy $B$ to $\textcolor{#16A06A}{40°}$ . Kąty przy podstawie $AD$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Zatem $\angle DAB = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Pierwsze zdanie. W trójkącie $ABS$ : kąt przy $A$ to $\angle SAB = \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{50°}$ , kąt przy $B$ to $\angle ABS = \angle ABD = \textcolor{#16A06A}{40°}$ .
$\angle ASB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°} - \textcolor{#16A06A}{40°} = 90°$ — to kąt prosty, odpowiedź B.
Drugie zdanie. Kąt $DAC$ to różnica dwóch kątów przy wierzchołku $A$ : $\angle DAC = \angle DAB - \angle CAB = \textcolor{#16A06A}{70°} - \textcolor{#16A06A}{50°} = 20°$ — odpowiedź C.
Razem: B, C.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym kąty przy podstawie liczysz zawsze tak samo: $(180° - \text{kąt przy wierzchołku}) : 2$ . Warto od razu wypisać wszystkie kąty obu trójkątów — dalej to już samo odejmowanie.

⚠ Najczęstszy błąd: uznanie, że kąt między ramionami zawsze leży „na górze” figury. W trójkącie $ABD$ jest on przy wierzchołku $B$ , a nie przy $D$ — trzeba czytać, które boki są ramionami.

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Dane są proste

a

b

c

d

e

. Proste

a

b

c

są wzajemnie równoległe (poziome). Proste

d

e

są wzajemnie prostopadłe i przecinają się w punkcie

A

leżącym na prostej

b

. Prosta

d

przecina prostą

a

, tworząc z nią kąt $142°$ (kąt po prawej stronie prostej

d

, nad prostą

a

). Kąt

\alpha

to kąt między prostą

b

(na lewo od

A

) a prostą

e

(poniżej

A

). Dokończ zdanie.
Miara kąta

\alpha

jest równa

A. $38°$
B. $45°$
C. $52°$
D. $60°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — jaki kąt tworzy prosta $d$ z poziomem? Kąt $\textcolor{#16A06A}{142°}$ i szukany kąt nachylenia są przyległe, więc razem dają $\textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Nachylenie prostej $d$ : $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{142°} = \textcolor{#16A06A}{38°}$ .
Krok 2 — przenosimy ten kąt na prostą $b$ . Proste $a$ i $b$ są równoległe, a $d$ je przecina, więc kąty odpowiadające są równe: prosta $d$ tworzy z $b$ również kąt $\textcolor{#16A06A}{38°}$ .
Krok 3 — korzystamy z prostopadłości. W punkcie $A$ proste $d$ i $e$ tworzą kąt $\textcolor{#E0453A}{90°}$ .
Kąt między $b$ a $e$ to więc $\textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{38°} = 52°$ .
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Przy prostych równoległych przeciętych trzecią prostą wszystkie powstałe kąty mają tylko dwie różne miary — tutaj $38°$ i $142°$ . Wystarczy rozpoznać, która jest która.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie $38°$ (odpowiedź A) — czyli kąta nachylenia prostej $d$ zamiast $e$ . Te dwie proste są prostopadłe, więc ich kąty z poziomem dopełniają się do $90°$ , a nie są równe.

Zadanie 3 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Dany jest trójkąt

ABC

, w którym kąt

BCA

ma miarę $35°$ . Punkt

D

leży na boku

BC

. Odcinek

AD

ma taką samą długość jak odcinek

BD

. Kąt

ADC

ma miarę $130°$ . Dokończ zdanie.
Kąt

CAB

ma miarę

A. $95°$
B. $75°$
C. $90°$
D. $80°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kąt $CAB$ rozbijamy na dwie części: $\angle CAB = \angle CAD + \angle DAB$ . Liczymy każdą osobno.
Część pierwsza — trójkąt $ACD$ . Znamy dwa kąty: $\angle ACD = \textcolor{#16A06A}{35°}$ i $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{130°}$ .
$\angle CAD = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{35°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{15°}$ .
Część druga — trójkąt $ABD$ . Kąt $ADB$ jest przyległy do $\angle ADC$ (punkt $D$ leży na odcinku $BC$ ):
$\angle ADB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{130°} = \textcolor{#16A06A}{50°}$ .
Skoro $AD = BD$ , trójkąt $ABD$ jest równoramienny, więc kąty przy podstawie $AB$ są równe:
$\angle DAB = \angle DBA = (\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{50°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{65°}$ .
Składamy: $\angle CAB = \textcolor{#16A06A}{15°} + \textcolor{#16A06A}{65°} = 80°$ — odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Gdy punkt leży na boku trójkąta, kąty po obu jego stronach są przyległe — sumują się do $180°$ . To zwykle pierwszy krok w takich zadaniach.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $130°$ jako kąta $ADB$ zamiast $ADC$ . Wtedy trójkąt $ABD$ miałby kąty przy podstawie po $25°$ i cała odpowiedź byłaby błędna.

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

narysowano dwie wysokości:

CD

(opuszczoną z

C

na bok

AB

, punkt

D

AB

) oraz

AE

(opuszczoną z

A

na bok

BC

, punkt

E

BC

). Kąt rozwarty pomiędzy tymi wysokościami jest równy $138°$ . Kąt

\alpha

to kąt

DAE

— czyli kąt przy wierzchołku

A

między bokiem

AB

a wysokością

AE

. Jaką miarę ma kąt

\alpha

A. $38°$
B. $42°$
C. $45°$
D. $48°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Oznaczmy przez $H$ punkt przecięcia obu wysokości. Kąt rozwarty przy $H$ ma $\textcolor{#16A06A}{138°}$ , więc kąt ostry obok niego (przyległy) wynosi $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{138°} = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Przyglądamy się trójkątowi $ADH$ — tworzą go: wierzchołek $A$ , spodek wysokości $D$ i punkt przecięcia $H$ .
Kąt przy $D$ to $\textcolor{#E0453A}{90°}$ , bo $CD$ jest wysokością opuszczoną na $AB$ .
Kąt przy $H$ musi być ostry (w trójkącie może być tylko jeden kąt prosty lub rozwarty), więc $\angle AHD = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Zostaje kąt przy $A$ : $\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#E0453A}{90°} - \textcolor{#16A06A}{42°} = 48°$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Wysokość zawsze daje darmowy kąt $90°$ — szukaj trójkąta, w którym ten kąt prosty występuje razem ze znanym kątem. Wtedy trzeci kąt liczy się jednym odejmowaniem.

⚠ Najczęstszy błąd: podstawienie $138°$ do trójkąta $ADH$ . Razem z kątem prostym dałoby to już $228°$ — czyli więcej niż $180°$ , co powinno od razu zwrócić uwagę. Do trójkąta wchodzi kąt ostry, $42°$ .

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pktśrednie

Figura zacieniowana na rysunku jest równoległobokiem. Kąt

\alpha

to kąt wewnętrzny równoległoboku przy jego lewym dolnym wierzchołku, a kąt $135°$ jest kątem przyległym do

\alpha

(leży obok, po lewej stronie, na przedłużeniu dolnego boku). Kąt

\beta

to kąt wewnętrzny równoległoboku przy wierzchołku sąsiednim do

\alpha

(lewym górnym). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Suma miar kątów $\alpha$ i $\beta$ wynosi $180°$ .	P	F
Kąt $\alpha$ ma miarę 3 razy mniejszą niż kąt $\beta$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, P

Krok 1 — wyznaczamy $\alpha$ . Kąt $\textcolor{#16A06A}{135°}$ i kąt $\alpha$ są przyległe, więc razem dają $\textcolor{#E0453A}{180°}$ :
$\alpha = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#16A06A}{45°}$ .
Krok 2 — wyznaczamy $\beta$ . W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ :
$\beta = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = \textcolor{#16A06A}{135°}$ .
Zdanie 1. $\textcolor{#16A06A}{45°} + \textcolor{#16A06A}{135°} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ ✓ — prawda. (To zresztą własność każdego równoległoboku dla kątów sąsiednich.)
Zdanie 2. $\textcolor{#16A06A}{135°} : \textcolor{#16A06A}{45°} = 3$ , więc $\alpha$ jest trzy razy mniejszy od $\beta$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: P, P.

💡 Wskazówka: Zauważ ładną zbieżność: kąt $\beta$ wyszedł równy $135°$ , czyli tyle samo co kąt zewnętrzny obok $\alpha$ . To nie przypadek — oba są kątami odpowiadającymi przy prostych równoległych.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie $\alpha = 135°$ (przepisanie kąta z rysunku). Kąt $135°$ leży poza równoległobokiem — jest do $\alpha$ przyległy, a nie z nim tożsamy.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Dany jest trójkąt równoramienny

KLM

o ramionach

KM

LM

(podstawą jest

KL

). Miara kąta

KML

jest dwa razy większa niż miara kąta

KLM

. Uzupełnij zdania.

Miara kąta

KLM

jest równa AB.

A. $40°$
B. $45°$

Trójkąt

KLM

jest CD.

C. rozwartokątny
D. prostokątny

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Ramionami są $KM$ i $LM$ , więc podstawą jest $KL$ , a kąty przy podstawie (przy $K$ i przy $L$ ) są równe.
Oznaczmy $\angle KLM = \textcolor{#16A06A}{x}$ . Wtedy również $\angle LKM = \textcolor{#16A06A}{x}$ , a kąt przy wierzchołku $\angle KML = \textcolor{#16A06A}{2x}$ .
Suma kątów trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{2x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ , czyli $4\textcolor{#16A06A}{x} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 45°$ — kąt $KLM$ ma $45°$ , odpowiedź B.
Kąt przy wierzchołku: $\textcolor{#16A06A}{2x} = 90°$ — trójkąt jest więc prostokątny, odpowiedź D.
Razem: B, D. (Kąty: $45°$ , $45°$ , $90°$ — to połówka kwadratu.)

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę, które boki są ramionami — to one wskazują, gdzie leży podstawa, a więc gdzie są równe kąty. Zamiana ramion z podstawą całkowicie zmienia rozwiązanie.

⚠ Najczęstszy błąd: przyjęcie, że równe kąty są przy $M$ i przy $L$ . Wtedy równanie wyglądałoby inaczej i wyszłoby $x = 36°$ — odpowiedź nieobecna wśród opcji, co samo w sobie jest sygnałem pomyłki.

Zadanie 7 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Dany jest równoległobok

ABCD

oraz trójkąt równoramienny

AED

, w którym

|DE| = |AE|

(punkt

E

leży na boku

DC

). Kąt

BCE

ma miarę $106°$ . Jaką miarę ma kąt

AEC

A. $148°$
B. $122°$
C. $74°$
D. $58°$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

Punkt $E$ leży na boku $DC$ , więc kąt $BCE$ to po prostu kąt $BCD$ równoległoboku: $\textcolor{#16A06A}{106°}$ .
W równoległoboku kąty sąsiednie dopełniają się do $\textcolor{#E0453A}{180°}$ , więc kąt przy $D$ : $\angle ADC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{106°} = \textcolor{#16A06A}{74°}$ .
Trójkąt $AED$ . Skoro $DE = AE$ , kąty przy podstawie $AD$ są równe. Kąt $\angle ADE$ to ten sam co $\angle ADC = \textcolor{#16A06A}{74°}$ (bo $E$ leży na $DC$ ).
Zatem $\angle DAE = \textcolor{#16A06A}{74°}$ , a kąt przy wierzchołku $E$ : $\angle AED = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{74°} - \textcolor{#16A06A}{74°} = \textcolor{#16A06A}{32°}$ .
Ostatni krok. Punkty $D$ , $E$ , $C$ leżą na jednej prostej, więc kąty $AED$ i $AEC$ są przyległe:
$\angle AEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{32°} = 148°$ — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: W trójkącie równoramiennym równe boki wskazują, gdzie są równe kąty: $DE = AE$ oznacza, że kąty przy $D$ i przy $A$ (czyli naprzeciw tych boków) są równe.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie kąta $AED$ ( $32°$ ) albo zatrzymanie się na kącie $74°$ (odpowiedź C). Zadanie pyta o kąt $AEC$ — ten po drugiej stronie punktu $E$ .

Zadanie 8 (grudzień 2018)1 pktśrednie

W trójkącie

ABC

największą miarę ma kąt przy wierzchołku

C

. Miara kąta przy wierzchołku

A

jest równa

48°

, a miara kąta przy wierzchołku

B

jest równa różnicy miary kąta przy wierzchołku

C

oraz miary kąta przy wierzchołku

A

. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt przy wierzchołku $B$ ma miarę $48°$ .	P	F
Trójkąt $ABC$ jest prostokątny.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Zapisujemy warunek z treści: $\angle B = \textcolor{#16A06A}{C} - 48°$ .
Wstawiamy do sumy kątów trójkąta: $48° + (\textcolor{#16A06A}{C} - 48°) + \textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Zauważ, co się dzieje: $+48°$ i $-48°$ się skracają, zostaje $2\textcolor{#16A06A}{C} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{C} = 90°$ , a $\angle B = 90° - 48° = \textcolor{#16A06A}{42°}$ .
Zdanie 1. Kąt przy $B$ ma $\textcolor{#16A06A}{42°}$ , a nie $48°$ — fałsz.
Zdanie 2. Kąt przy $C$ wynosi $90°$ , więc trójkąt jest prostokątny ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P. Sprawdzenie: $48° + 42° + 90° = \textcolor{#E0453A}{180°}$ ✓, a największy kąt rzeczywiście jest przy $C$ ✓

💡 Wskazówka: Ładna własność ukryta w tym zadaniu: gdy jeden kąt jest różnicą dwóch pozostałych, trójkąt zawsze jest prostokątny — niezależnie od konkretnych miar.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie zdania „miara kąta $B$ jest równa różnicy $C$ i $A$ ” jako $B = A - C$ . Kolejność w słowie „różnica” jest istotna: od pierwszej wymienionej odejmujemy drugą.

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Przekątne prostokąta

ABCD

przecinają się pod kątem $140°$ — jest to kąt, którego ramiona biegną w stronę wierzchołków

D

C

(czyli kąt „górny”). Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kąt $DCA$ ma miarę $40°$ .	P	F
Kąt $DAC$ ma miarę $70°$ .	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Kluczowa własność: przekątne prostokąta są równe i dzielą się na połowy. Punkt przecięcia $O$ jest więc jednakowo oddalony od wszystkich czterech wierzchołków, przez co powstają cztery trójkąty równoramienne.
Zdanie 1 — trójkąt $DOC$ . Kąt przy $O$ to $\textcolor{#16A06A}{140°}$ , a boki $OD$ i $OC$ są równe.
Kąty przy podstawie $DC$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{20°}$ .
Kąt $DCA$ to właśnie kąt $DCO$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{20°}$ — a nie $40°$ — fałsz.
Zdanie 2 — trójkąt $AOD$ . Kąt $AOD$ jest przyległy do kąta $DOC$ : $\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{140°} = \textcolor{#16A06A}{40°}$ .
Boki $OA$ i $OD$ też są równe, więc kąty przy podstawie $AD$ : $(\textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{40°}) : 2 = \textcolor{#16A06A}{70°}$ .
Kąt $DAC$ to kąt $DAO$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{70°}$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P. Kontrola: $\textcolor{#16A06A}{20°} + \textcolor{#16A06A}{70°} = 90°$ — i rzeczywiście kąt $DCB$ prostokąta jest prosty ✓

💡 Wskazówka: Przekątne prostokąta dzielą go na cztery trójkąty równoramienne — to najważniejsza własność w takich zadaniach. W kwadracie byłyby to dodatkowo trójkąty prostokątne.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie $180° - 140° = 40°$ i uznanie tego za szukany kąt. To kąt przy punkcie przecięcia w sąsiednim trójkącie, a nie kąt przy wierzchołku $C$ .

Zadanie 10 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Jeden z kątów wewnętrznych trójkąta ma miarę

\alpha

, drugi ma miarę o

30°

większą niż kąt

\alpha

, a trzeci ma miarę trzy razy większą niż kąt

\alpha

. Dokończ zdanie.
Trójkąt ten jest

A. równoboczny.
B. równoramienny.
C. rozwartokątny.
D. prostokątny.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zapisujemy wszystkie trzy kąty przez $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ : $\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ , $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°$ , $3\textcolor{#16A06A}{\alpha}$ .
Suma kątów trójkąta: $\textcolor{#16A06A}{\alpha} + (\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30°) + 3\textcolor{#16A06A}{\alpha} = \textcolor{#E0453A}{180°}$ .
$5\textcolor{#16A06A}{\alpha} + 30° = \textcolor{#E0453A}{180°}$ , czyli $5\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 150°$ , więc $\textcolor{#16A06A}{\alpha} = 30°$ .
Kąty trójkąta: $30°$ , $30° + 30° = 60°$ , $3 \cdot 30° = 90°$ .
Największy kąt ma $90°$ , więc trójkąt jest prostokątny — odpowiedź D.
Dla porządku: nie jest równoboczny ani równoramienny (wszystkie kąty różne), nie jest też rozwartokątny (żaden kąt nie przekracza $90°$ ).

💡 Wskazówka: Po wyliczeniu kątów zawsze sprawdź wszystkie cztery określenia — czasem pasuje więcej niż jedno (np. trójkąt może być jednocześnie prostokątny i równoramienny).

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na $\alpha = 30°$ i uznanie, że skoro wychodzi „ładna” liczba, to trójkąt jest równoboczny. Trzeba policzyć wszystkie trzy kąty.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B, C	2. C	3. D	4. D	5. P, P	6. B, D
7. A	8. F, P	9. F, P	10. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jakie są rodzaje kątów?

Siedem, licząc według miary: zerowy ( $0°$ ), ostry (mniej niż $90°$ ), prosty ( $90°$ ), rozwarty (między $90°$ a $180°$ ), półpełny ( $180°$ ), wklęsły (między $180°$ a $360°$ ) i pełny ( $360°$ ). Razem pokrywają cały zakres bez luk — bez kąta zerowego brakowałoby właśnie miary $0°$ .

Czym różni się kąt wypukły od wklęsłego?

Granicą jest $180°$ : wypukły ma miarę nie większą niż $180°$ , wklęsły — większą od $180°$ , ale mniejszą od $360°$ . Kąt pełny nie należy do żadnej z tych dwóch grup. To osobny podział niż na ostry, prosty i rozwarty, więc kąt $120°$ jest jednocześnie rozwarty i wypukły.

Jak zmierzyć kąt wklęsły?

Zwykły kątomierz ma skalę do $180°$ , więc zmierz kąt wypukły po drugiej stronie tych samych ramion i odejmij wynik od $360°$ . Dla kąta wypukłego $130°$ wklęsły wynosi $230°$ , bo $130° + 230° = 360°$ .

Ile stopni ma kąt półpełny, a ile pełny?

Półpełny ma $180°$ , a pełny $360°$ — nazwa mówi wprost, że półpełny to połowa pełnego. Kąt półpełny to suma kątów trójkąta, a pełny to suma kątów czworokąta oraz suma kątów wokół punktu.

Czy kąt wklęsły jest w programie szkoły podstawowej?

Nie jako wymaganie. Podstawa programowa każe rozpoznawać tylko kąt prosty, ostry i rozwarty oraz mierzyć kąty mniejsze niż $180°$ . Cztery pozostałe nazwy z tej strony — zerowy, półpełny, wklęsły i pełny — są nadprogramowe, choć przydają się przy zadaniach o obrotach i o zegarze.

Dlaczego pełny obrót ma 360 stopni?

To dziedzictwo starożytnej Mezopotamii i systemu sześćdziesiątkowego. Liczba $360$ ma bardzo wiele dzielników, więc połowa, jedna trzecia czy jedna dziesiąta obrotu wypadają na okrągłych liczbach. Z tego samego powodu godzina ma $60$ minut.

Czytaj dalej

Prosta, półprosta i odcinekRamiona kąta to półproste — stąd mierzy się rozwarcie, nie długość Proste równoległe i prostopadłeKąt prosty jako podstawa prostopadłości Kąty przy prostychWierzchołkowe, przyległe i te przy prostych równoległych TrójkątSuma kątów równa kątowi półpełnemu

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-02. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Rodzaje kątów — od ostrego do pełnego

1Czym jest kąt i jak go mierzymy

2Siedem rodzajów — cały zakres bez luk

3Wypukły i wklęsły — drugi, niezależny podział

4Jak zmierzyć kąt większy od 180°

5Gdzie te kąty spotkasz

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — kąty w figurach

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Zadanie 2 (grudzień 2024)1 pkttrudniejsze

Zadanie 3 (maj 2022)1 pkttrudniejsze

Zadanie 4 (maj 2021)1 pkttrudniejsze

Zadanie 5 (marzec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktśrednie

Zadanie 7 (kwiecień 2019)1 pkttrudniejsze

Zadanie 8 (grudzień 2018)1 pktśrednie

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Zadanie 10 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku