Strona główna › Liczby i działania › Kolejność wykonywania działań

Kolejność wykonywania działań

Q: Po co w ogóle są nawiasy, skoro jest kolejność działań?

Żeby móc zmienić tę kolejność, gdy zadanie tego wymaga. Bez nawiasów 2 + 3 · 4 zawsze znaczy 14; jeśli chcemy 20, musimy napisać (2 + 3) · 4. Nawias jest najprostszym sposobem, żeby dodawanie wyprzedziło mnożenie, ale nie jedynym: tę samą rolę pełnią kreska ułamkowa i znak pierwiastka. W √(9 + 16) · 2 = 10 dodawanie idzie pierwsze, choć nawiasu nie ma — bez tego grupowania wyszłoby 35.

„Najpierw mnożenie, potem dodawanie” — to wie każdy i to nie jest miejsce, w którym uczniowie tracą punkty. Tracą je na regule, o której mówi się mimochodem: działania tego samego stopnia wykonuje się od lewej do prawej. Przez nią $20 - 5 + 3$ to $18$ , a nie $12$ .

Dział: Liczby i działaniaPoziom: klasy 4–6Zadań z E8: 9

Przejdź od razu do zadań (9) ↓

1Cztery poziomy pierwszeństwa

Wyrażenie arytmetyczne czyta się nie od lewej do prawej, tylko poziomami. Dopiero w obrębie jednego poziomu obowiązuje kolejność od lewej.

poziom	co	przykład
1	nawiasy — od najbardziej wewnętrznego	$2 \cdot (3 + 4)$
2	potęgi i pierwiastki	$2 + 3^2$
3	mnożenie i dzielenie	$2 + 3 \cdot 4$
4	dodawanie i odejmowanie	$2 + 3 - 4$

Poziomy 3 i 4 nazywa się czasem działaniami drugiego i pierwszego stopnia. Nazwa jest przydatna, bo od razu mówi, co ma pierwszeństwo: wyższy stopień idzie wcześniej.

2 + 3 \cdot 4 = 2 + \textcolor{#2F80D8}{12} = 14

Zwróć uwagę, że mnożenie nie jest „ważniejsze” w jakimś głębszym sensie — to po prostu umowa, która pozwala zapisywać wyrażenia bez lasu nawiasów. Bez niej $2 + 3 \cdot 4$ trzeba by pisać jako $2 + (3 \cdot 4)$ za każdym razem.

2Działania równorzędne — od lewej do prawej

To jest reguła, przez którą przepada najwięcej punktów, bo brzmi jak drobiazg, a zmienia wynik.

Gdy w wyrażeniu zostały same dodawania i odejmowania, wykonujemy je po kolei od lewej. Nie „najpierw dodawanie, potem odejmowanie” — nie ma takiej reguły.

20 - 5 + 3 = \textcolor{#2F80D8}{15} + 3 = 18

Odjęcie najpierw $5 + 3$ dałoby $12$ — inny wynik, i to jest najczęstsza pomyłka w całym temacie. Bierze się z odruchu „plus przed minusem”, którego nikt nigdy nie uczył, ale który sam się nasuwa.

To samo dotyczy mnożenia i dzielenia. Są równorzędne, więc idą od lewej:

24 : 4 \cdot 2 = \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 2 = 12

Policzenie najpierw $4 \cdot 2$ dałoby $24 : 8 = 3$ — cztery razy mniej. Jeśli autor zadania chciałby takiego wyniku, musiałby napisać $24 : (4 \cdot 2)$ .

Dwie zasady, nie cztery

Między poziomami — wyższy stopień pierwszy.

W obrębie poziomu — od lewej do prawej.

Wszystko inne to konsekwencje tych dwóch zdań.

3Nawiasy — i co robią naprawdę

Nawias nie „przyspiesza” działania — on zmienia strukturę wyrażenia. To, co w nim stoi, staje się jedną liczbą, zanim cokolwiek innego się wydarzy.

Przy kilku nawiasach zaczynamy od najbardziej wewnętrznego i wychodzimy na zewnątrz:

2 \cdot \left( 10 - (3 + 4) \right) = 2 \cdot (10 - 7) = 2 \cdot 3 = 6

W zapisie szkolnym używa się czasem nawiasów kwadratowych dla czytelności — $[\,]$ zamiast drugiego poziomu okrągłych. Znaczą dokładnie to samo, są tylko łatwiejsze do rozróżnienia wzrokiem.

Kreska ułamkowa to ukryty nawias

To pułapka, o której podręczniki mówią rzadko. Kreska ułamkowa grupuje to, co nad nią i pod nią — działa jak para nawiasów, których nie widać.

\frac{2 + 4}{3} = \frac{6}{3} = 2

Zapisane w jednej linii to samo wyrażenie brzmi $(2 + 4) : 3$ , a nie $2 + 4 : 3$ . To drugie daje $2 + 1\frac{1}{3}$ , czyli zupełnie co innego.

Ta sama zasada dotyczy pierwiastka: $\sqrt{9 + 16}$ to $\sqrt{25} = 5$ , a nie $3 + 4$ .

4Trudniejsze wyrażenia

Gdy w wyrażeniu jest wszystko naraz, warto liczyć etapami i zapisywać każdy z nich, zamiast próbować zrobić całość w pamięci.

36 : (2 + 4) \cdot 3 - 5 = 36 : \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 3 - 5 = \textcolor{#2F80D8}{6} \cdot 3 - 5 = \textcolor{#2F80D8}{18} - 5 = 13

Cztery kroki, cztery zapisane linijki. Kuszące jest liczenie „w głowie do samego końca”, ale to właśnie tam giną nawiasy i mylą się poziomy.

Przy potęgach pamiętaj, że potęgowanie wyprzedza mnożenie: $2 \cdot 3^2 = 2 \cdot 9 = 18$ , a nie $6^2 = 36$ . Potęga dotyczy tylko liczby stojącej bezpośrednio pod nią, chyba że nawias mówi inaczej — $(2 \cdot 3)^2$ to już $36$ .

Uwaga na minus przed nawiasem. $10 - (3 + 2)$ to $10 - 5 = 5$ . Minus dotyczy całego nawiasu, a nie tylko pierwszej liczby w środku — to najczęstsze źródło błędów w klasie siódmej, przy opuszczaniu nawiasów.

5Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry

Nie ma tu jednego działania odwrotnego, które wszystko zweryfikuje — ale są trzy sposoby, które łapią większość pomyłek.

zapisz wyrażenie po każdym kroku — po wykonaniu działania przepisz to, co zostało, i sprawdź, czy następny krok dotyczy właśnie tego; przy $20 - 5 + 3$ po pierwszym kroku zostaje $15 + 3$ , a nie $20 - 8$ ,
dopisz nawiasy, które i tak obowiązują — $2 + 3 \cdot 4$ zapisz jako $2 + (3 \cdot 4)$ ; jeśli wynik się zmienia, pierwotnie liczyłeś źle,
oszacuj rząd wielkości — przy $36 : 6 \cdot 3$ wynik powinien być kilkunastoma; zły porządek daje tu $36 : (6 \cdot 3) = 2$ , czyli liczbę jednocyfrową, i to widać na pierwszy rzut oka.

Najskuteczniejszy jest drugi sposób. Dopisanie nawiasów w miejscach, gdzie kolejność i tak je narzuca, nie zmienia wartości wyrażenia — a natychmiast pokazuje, czy rozumiemy je tak samo, jak rozumie je matematyka.

Warto też wiedzieć, kiedy nawias jest zbędny. $2 + (3 \cdot 4)$ i $2 + 3 \cdot 4$ to to samo, więc w odpowiedzi lepiej zapisać wersję bez nawiasu. Nadmiar nawiasów nie jest błędem, ale utrudnia czytanie.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: podstawowy, pułapka z działaniami równorzędnymi i wyrażenie z wszystkim naraz.

Przykład 1 Mnożenie przed dodawaniem

Oblicz $2 + 3 \cdot 4$ .

Sprawdzam poziomy: nawiasów nie ma, potęg nie ma, jest mnożenie i dodawanie.
Mnożenie to wyższy stopień, więc idzie pierwsze: $3 \cdot 4 = 12$ .
Zostaje dodawanie: $2 + 12 = 14$ .
Sprawdzenie przez dopisanie nawiasu: $2 + (3 \cdot 4) = 2 + 12 = 14$ ✓ — nawias niczego nie zmienił, bo kolejność i tak go narzucała.
Kontrola sensu: gdyby ktoś liczył od lewej, dostałby $(2 + 3) \cdot 4 = 20$ — liczbę wyraźnie większą ✓

Odpowiedź: $2 + 3 \cdot 4 = 14$

To przypadek, który wszyscy znają — i dlatego rzadko jest źródłem błędów. Prawdziwe kłopoty zaczynają się w następnym przykładzie.

Przykład 2 Działania równorzędne — pułapka

Oblicz $20 - 5 + 3$ oraz $24 : 4 \cdot 2$ .

Pierwsze wyrażenie: zostały same dodawanie i odejmowanie, czyli działania równorzędne.
Idę od lewej: $20 - 5 = 15$ , potem $15 + 3 = 18$ .
Gdybym najpierw dodał $5 + 3 = 8$ , dostałbym $20 - 8 = 12$ — i to jest właśnie najczęstsza pomyłka.
Drugie wyrażenie: dzielenie i mnożenie też są równorzędne, więc znów od lewej.
$24 : 4 = 6$ , potem $6 \cdot 2 = 12$ .
Gdybym najpierw pomnożył $4 \cdot 2 = 8$ , wyszłoby $24 : 8 = 3$ — wynik czterokrotnie mniejszy.

Odpowiedź: $20 - 5 + 3 = 18$ oraz $24 : 4 \cdot 2 = 12$

Nie ma reguły „dodawanie przed odejmowaniem” ani „mnożenie przed dzieleniem”. Te pary są równorzędne i decyduje wyłącznie kolejność zapisu.

Przykład 3 Wszystko naraz

Oblicz $36 : (2 + 4) \cdot 3 - 5$ .

Poziom pierwszy — nawias: $2 + 4 = 6$ . Wyrażenie to teraz $36 : 6 \cdot 3 - 5$ .
Poziom trzeci — dzielenie i mnożenie, od lewej. Najpierw dzielenie: $36 : 6 = 6$ .
Potem mnożenie: $6 \cdot 3 = 18$ . Wyrażenie to teraz $18 - 5$ .
Poziom czwarty — odejmowanie: $18 - 5 = 13$ .
Sprawdzenie z pełnymi nawiasami: $\left( 36 : (2 + 4) \right) \cdot 3 - 5 = (36 : 6) \cdot 3 - 5 = 18 - 5 = 13$ ✓
Kontrola sensu: dzielimy $36$ przez sześć i mnożymy przez trzy, więc wynik powinien być bliski dwudziestu, minus pięć ✓

Odpowiedź: $36 : (2 + 4) \cdot 3 - 5 = 13$

Cztery zapisane linijki zamiast liczenia w pamięci. Przy takich wyrażeniach to nie jest przesada — to najprostszy sposób, żeby po pomyłce wiedzieć, w którym kroku wystąpiła. Bez zapisanych kroków zostaje przeliczenie całego wyrażenia od nowa.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy jest najczęstszy w całej szkole podstawowej.

Dodawanie przed odejmowaniem

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{20 - 5 + 3 = 12}$ powstaje z policzenia najpierw $5 + 3$ . Nie ma reguły, która by na to pozwalała — dodawanie i odejmowanie są równorzędne, więc wykonuje się je od lewej. Poprawny wynik to $18$ .

Jak zrobić dobrze: Gdy zostały same działania tego samego stopnia, idź po kolei od lewej, bez wyjątków. Jeśli autor zadania chciałby, żeby $5 + 3$ było pierwsze, musiałby napisać $20 - (5 + 3)$ .

Mnożenie przed dzieleniem

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{24 : 4 \cdot 2 = 3}$ bierze się z przekonania, że mnożenie ma pierwszeństwo przed dzieleniem. Nie ma — to ta sama para równorzędnych działań co dodawanie i odejmowanie. Poprawny wynik to $12$ , czyli cztery razy więcej.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj, że poziomów jest cztery, a nie sześć: nawiasy, potęgi, mnożenie i dzielenie razem, dodawanie i odejmowanie razem. W obrębie pary decyduje kolejność zapisu.

Pominięcie ukrytego nawiasu przy kresce ułamkowej

Skąd się bierze: Przepisując $\frac{2 + 4}{3}$ do jednej linii, uczeń pisze $\textcolor{#9b1c14}{2 + 4 : 3}$ i dostaje $3\frac{1}{3}$ zamiast $2$ . Kreska ułamkowa grupuje wszystko, co nad nią — działa jak nawias, którego nie widać.

Jak zrobić dobrze: Przepisując ułamek do jednej linii, zawsze dopisz nawiasy: $\frac{2 + 4}{3}$ to $(2 + 4) : 3$ . To samo dotyczy pierwiastka — $\sqrt{9 + 16}$ to $\sqrt{25}$ , nie $\sqrt{9} + \sqrt{16}$ .

Potęgowanie całego iloczynu zamiast jednej liczby

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{2 \cdot 3^2 = 36}$ powstaje z potraktowania kwadratu jako dotyczącego całego $2 \cdot 3$ . Potęga dotyczy wyłącznie liczby stojącej tuż pod nią, więc $3^2 = 9$ , a całość to $18$ .

Jak zrobić dobrze: Zapytaj, co dokładnie stoi pod wykładnikiem. W $2 \cdot 3^2$ jest to sama trójka. Jeśli potęgowany ma być cały iloczyn, musi stać w nawiasie: $(2 \cdot 3)^2 = 6^2 = 36$ .

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

To zestaw z różnych działów, więc kolor za każdym razem pokazuje to samo w innym przebraniu: zielona to wielkość, od której zaczynamy (podstawa porównania, wartość wyjściowa), a czerwona to przelicznik albo druga wielkość, z którą ją zestawiamy.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 8 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 8 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Dane są trzy liczby:

\;x = 5{,}27 \cdot 10^{-3}

\;y = 0{,}0023

\;z = 1400 \cdot 10^{-5}

. Uporządkowano je od najmniejszej do największej. Który zapis przedstawia poprawne uporządkowanie?

A. $x < y < z$
B. $y < x < z$
C. $z < y < x$
D. $x < z < y$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Żeby porównać liczby, sprowadzamy je wszystkie do zwykłego zapisu dziesiętnego.
$x = 5{,}27 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-3}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{3}$ miejsca w lewo: $x = \textcolor{#16A06A}{0{,}00527}$ .
$y = \textcolor{#16A06A}{0{,}0023}$ — już jest w zapisie dziesiętnym.
$z = 1400 \cdot 10^{\textcolor{#E0453A}{-5}}$ — przesuwamy przecinek o $\textcolor{#E0453A}{5}$ miejsc w lewo: $z = \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$ .
Porównujemy: $\textcolor{#16A06A}{0{,}0023} < \textcolor{#16A06A}{0{,}00527} < \textcolor{#16A06A}{0{,}014}$ , czyli $y < x < z$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Przy porównywaniu ułamków dziesiętnych dopisz zera, żeby wszystkie miały tyle samo miejsc: $0{,}00230$ , $0{,}00527$ , $0{,}01400$ . Wtedy porównanie jest oczywiste.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie po liczbach przed potęgą (1400 > 5,27 > 0,0023), z pominięciem wykładników. Ujemny wykładnik oznacza liczbę mniejszą, a im większa jego wartość bezwzględna, tym mniejsza liczba.

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Dane jest równanie

\;5 + \dfrac{1 - x}{2} = 2(x - 1)

. Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem tego równania jest liczba

A. $2$
B. $2\dfrac{1}{2}$
C. $3$
D. $4\dfrac{1}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Najpierw pozbywamy się ułamka — mnożymy całe równanie przez $\textcolor{#E0453A}{2}$ :
$\textcolor{#E0453A}{2} \cdot 5 + (1 - x) = \textcolor{#E0453A}{2} \cdot 2(x - 1)$ , czyli $10 + 1 - x = 4(x - 1)$ .
Porządkujemy lewą stronę i opuszczamy nawias po prawej: $11 - \textcolor{#16A06A}{x} = 4\textcolor{#16A06A}{x} - 4$ .
Przenosimy niewiadome na prawo, liczby na lewo: $11 + 4 = 4\textcolor{#16A06A}{x} + \textcolor{#16A06A}{x}$ , czyli $15 = 5\textcolor{#16A06A}{x}$ .
Stąd $\textcolor{#16A06A}{x} = 3$ — odpowiedź C.
Sprawdzenie: lewa strona $5 + \dfrac{1-3}{2} = 5 - 1 = 4$ ; prawa $2(3-1) = 4$ ✓

💡 Wskazówka: Mnożąc równanie przez liczbę, pamiętaj o każdym składniku po obu stronach — także o tych bez ułamka. Tu piątka też musi zostać pomnożona przez 2.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie przez 2 tylko ułamka, a pominięcie piątki i prawej strony. Zawsze warto sprawdzić wynik przez podstawienie — zajmuje kilkanaście sekund.

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Fragment etykiety opakowania śmietany — wartość odżywcza w 100 g produktu:

tłuszcz	18 g
węglowodany	4 g
białko	3 g
sól	0,15 g

Uzupełnij zdania.

W opakowaniu zawierającym 200 g tej śmietany jest AB dag białka.

A. $0{,}6$
B. $0{,}06$

Masa tłuszczu w dowolnej porcji tej śmietany jest CD razy większa od masy soli.

C. $12$
D. $120$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, D

Pierwsze zdanie. W 100 g jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ g białka, więc w 200 g (dwa razy więcej) jest $\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{2} = 6$ g.
Teraz zamiana jednostek: 1 dag = 10 g, więc $6$ g $= 6 : 10 = 0{,}6$ dag — odpowiedź A.
Drugie zdanie. Stosunek tłuszczu do soli jest taki sam w każdej porcji, bo obie masy rosną proporcjonalnie. Wystarczy więc policzyć go dla 100 g.
$\dfrac{\textcolor{#16A06A}{18}}{\textcolor{#E0453A}{0{,}15}} = \dfrac{1800}{15} = 120$ — odpowiedź D.
Razem: A, D.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 100: $\tfrac{18}{0{,}15} = \tfrac{1800}{15}$ . Rachunek robi się wtedy na liczbach całkowitych.

⚠ Najczęstszy błąd w pierwszym zdaniu: dzielenie przez 100 zamiast przez 10 (wychodzi 0,06 — kusząca odpowiedź B). Dekagram to 10 gramów, nie 100.

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Adam zapisał w przypadkowej kolejności temperatury odnotowane pewnego zimowego dnia w Zakopanem, w Wiśle, w Karpaczu i w Szklarskiej Porębie. Zapisane wartości to:

\;-8°C

\;-5°C

\;-3°C

\;-2°C

.
Temperatura w Karpaczu była o

6°C

wyższa niż w Szklarskiej Porębie, a w Wiśle była niższa niż w Zakopanem. Dokończ zdanie.
Temperaturę

-5°

zanotowano w

A. Szklarskiej Porębie.
B. Zakopanem.
C. Karpaczu.
D. Wiśle.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Zaczynamy od warunku, który daje konkretną liczbę — różnicę $6°C$ między Karpaczem a Szklarską Porębą.
Szukamy wśród podanych temperatur pary różniącej się dokładnie o 6: $\textcolor{#16A06A}{-8}$ i $\textcolor{#16A06A}{-2}$ , bo $\textcolor{#16A06A}{-2} - (\textcolor{#16A06A}{-8}) = 6$ ✓
Karpacz jest cieplejszy, więc Karpacz $= \textcolor{#16A06A}{-2}°C$ , a Szklarska Poręba $= \textcolor{#16A06A}{-8}°C$ .
Zostają dwie temperatury: $\textcolor{#E0453A}{-5}$ i $\textcolor{#E0453A}{-3}$ — dla Wisły i Zakopanego.
Wisła była chłodniejsza niż Zakopane, a $\textcolor{#E0453A}{-5} < \textcolor{#E0453A}{-3}$ , więc Wisła $= \textcolor{#E0453A}{-5}°C$ , Zakopane $= \textcolor{#E0453A}{-3}°C$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Zacznij od najbardziej „sztywnego” warunku — takiego, który jednoznacznie wskazuje parę liczb. Reszta zwykle układa się sama.

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie temperatur ujemnych jak dodatnich — uznanie, że $-5$ jest „większe” od $-3$ , bo $5 > 3$ . Im dalej od zera w stronę minusa, tym zimniej.

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Dane są cztery liczby:
I.

-9{,}25

· II.

-1{,}25

· III.

1{,}25

· IV.

9{,}25

Do której z liczb I–IV należy dodać liczbę

(-4)

, aby otrzymać liczbę

(-5{,}25)

A. I
B. II
C. III
D. IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Szukamy liczby $\textcolor{#16A06A}{a}$ , dla której $\textcolor{#16A06A}{a} + (\textcolor{#E0453A}{-4}) = -5{,}25$ .
Przenosimy czwórkę na drugą stronę — odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie:
$\textcolor{#16A06A}{a} = -5{,}25 + \textcolor{#E0453A}{4} = -1{,}25$ .
To liczba II — odpowiedź B.
Sprawdzenie: $-1{,}25 + (-4) = -5{,}25$ ✓

💡 Wskazówka: Kontrola bez rachunków: dodajemy liczbę ujemną, więc wynik musi być mniejszy od szukanej liczby. Skoro wynik to $-5{,}25$ , szukana liczba jest od niego większa — to od razu skreśla odpowiedź I.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie 4 zamiast dodania przy przenoszeniu na drugą stronę (wychodzi $-9{,}25$ , czyli kusząca odpowiedź A).

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Działka ma powierzchnię 200 arów. Warzywa zajmują 130 arów, jabłonie rosną na

\dfrac{1}{5}

pozostałej części działki, a resztę zajmują śliwy. Dokończ zdanie.
Śliwy zajmują powierzchnię

A. $14$ arów.
B. $30$ arów.
C. $56$ arów.
D. $70$ arów.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Krok 1 — co zostaje po warzywach? $200 - 130 = \textcolor{#16A06A}{70}$ arów.
Krok 2 — jabłonie. To $\tfrac15$ pozostałej części, czyli $\tfrac15$ z $\textcolor{#16A06A}{70}$ : $\textcolor{#16A06A}{70} : \textcolor{#E0453A}{5} = 14$ arów.
Krok 3 — śliwy. To cała reszta: $\textcolor{#16A06A}{70} - 14 = 56$ arów.
Odpowiedź C.
Szybciej: skoro jabłonie zajmują $\tfrac15$ reszty, to śliwy $\tfrac45$ reszty: $\tfrac45 \cdot \textcolor{#16A06A}{70} = 56$ arów ✓

💡 Wskazówka: Zwrot „ $\tfrac15$ pozostałej części” oznacza, że ułamek liczymy od 70 arów, a nie od całych 200. To najczęstsza pułapka w tego typu zadaniach.

⚠ Trzy kuszące błędne odpowiedzi naraz: 70 arów to cała reszta (bez odjęcia jabłoni), 14 arów to same jabłonie, a 30 arów wychodzi przy liczeniu $\tfrac15$ z 200 arów.

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

W pewnym zoo mieszkają słoń afrykański o masie 6 ton oraz góralek skalny o masie 3 kg. Dokończ zdanie.
Masa słonia afrykańskiego jest większa niż masa góralka skalnego

A. $20$ razy.
B. $200$ razy.
C. $2\,000$ razy.
D. $20\,000$ razy.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Masy podano w różnych jednostkach, więc najpierw je ujednolicamy.
$1$ tona $= \textcolor{#E0453A}{1000}$ kg, więc słoń waży $6 \cdot \textcolor{#E0453A}{1000} = \textcolor{#16A06A}{6000}$ kg.
Teraz dzielimy: $\textcolor{#16A06A}{6000} : 3 = 2000$ .
Odpowiedź C — słoń jest 2000 razy cięższy.

💡 Wskazówka: Zawsze zamień jednostki przed dzieleniem. Zapamiętaj: 1 t = 1000 kg, 1 kg = 1000 g, 1 kg = 100 dag.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie $6 : 3 = 2$ i dopisanie zer „na oko”. Wynik różni się wtedy o cały rząd wielkości — stąd wśród odpowiedzi aż trzy warianty z zerami.

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Podczas spaceru w czasie każdych 10 sekund Ewa robi taką samą liczbę

a

kroków. Ile kroków zrobi Ewa w czasie 3 minut tego spaceru?

A. $6a$
B. $18a$
C. $30a$
D. $180a$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Sprowadzamy czas do jednej jednostki: $3$ minuty $= 3 \cdot 60 = \textcolor{#16A06A}{180}$ sekund.
Teraz pytanie brzmi: ile razy $\textcolor{#E0453A}{10}$ -sekundowy odcinek mieści się w $\textcolor{#16A06A}{180}$ sekundach?
$\textcolor{#16A06A}{180} : \textcolor{#E0453A}{10} = 18$ takich odcinków.
W każdym Ewa robi $a$ kroków, więc razem: $18a$ — odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Rozbij zadanie na dwa kroki: najpierw ile razy mieści się dana jednostka czasu, potem pomnóż przez liczbę kroków. Nie mnóż od razu przez 180.

⚠ Najczęstszy błąd: pomnożenie $180 \cdot a$ (kusząca odpowiedź D) — czyli potraktowanie $a$ jako liczby kroków na sekundę, a nie na dziesięć sekund.

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Rozwiązaniem równania

\;-2(x - 1) - 3(2 - x) = 0\;

jest liczba

A. $-4$
B. $-1{,}6$
C. $0{,}8$
D. $4$
E. $8$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Opuszczamy nawiasy, pilnując znaków — przed oboma stoi minus.
$-2(x - 1) = \textcolor{#16A06A}{-2x} + 2$ (bo $-2 \cdot (-1) = +2$ ).
$-3(2 - x) = -6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x}$ (bo $-3 \cdot (-x) = +3x$ ).
Składamy: $\textcolor{#16A06A}{-2x} + 2 - 6 \textcolor{#16A06A}{+ 3x} = 0$ .
Redukujemy wyrazy podobne: $\textcolor{#16A06A}{-2x + 3x} = \textcolor{#16A06A}{x}$ oraz $\textcolor{#E0453A}{2 - 6} = \textcolor{#E0453A}{-4}$ .
Zostaje $\textcolor{#16A06A}{x} \textcolor{#E0453A}{- 4} = 0$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{x} = 4$ — odpowiedź D.
Sprawdzenie: $-2(4-1) - 3(2-4) = -6 - 3 \cdot (-2) = -6 + 6 = 0$ ✓

💡 Wskazówka: Przy dwóch nawiasach z minusem wypisz osobno cztery iloczyny ze znakami, zanim je zsumujesz. To dłuższe o pięć sekund, ale znacznie pewniejsze.

⚠ Najczęstszy błąd: potraktowanie $-3 \cdot (-x)$ jako $-3x$ . Wtedy wyrazy z $x$ się dodają zamiast redukować i wynik wychodzi ujemny — stąd kuszące odpowiedzi A i B.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B	2. C	3. A, D	4. D	5. B	6. C
7. C	8. B	9. D

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jaka jest kolejność wykonywania działań?

Najpierw nawiasy — od najbardziej wewnętrznego, potem potęgi i pierwiastki, następnie mnożenie i dzielenie, na końcu dodawanie i odejmowanie. Kluczowe uzupełnienie: w obrębie tego samego poziomu działania wykonuje się od lewej do prawej.

Co jest pierwsze — mnożenie czy dzielenie?

Żadne. To działania równorzędne, więc decyduje kolejność zapisu, czyli idziemy od lewej. W $24 : 4 \cdot 2$ najpierw dzielimy i wychodzi $12$ ; policzenie najpierw mnożenia dałoby $3$ , czyli wynik czterokrotnie mniejszy.

Ile wynosi

20 - 5 + 3

Osiemnaście. Odejmowanie i dodawanie są równorzędne, więc liczymy od lewej: $20 - 5 = 15$ , potem $15 + 3 = 18$ . Częsty błąd to policzenie najpierw $5 + 3$ i otrzymanie $12$ — nie istnieje reguła dająca dodawaniu pierwszeństwo przed odejmowaniem.

Czy kreska ułamkowa działa jak nawias?

Tak. Grupuje wszystko, co stoi nad nią, i wszystko pod nią. Dlatego $\frac{2 + 4}{3}$ przepisane do jednej linii to $(2 + 4) : 3 = 2$ , a nie $2 + 4 : 3$ . Ta sama zasada dotyczy znaku pierwiastka.

Po co w ogóle są nawiasy, skoro jest kolejność działań?

Żeby móc zmienić tę kolejność, gdy zadanie tego wymaga. Bez nawiasów $2 + 3 \cdot 4$ zawsze znaczy $14$ ; jeśli chcemy $20$ , musimy napisać $(2 + 3) \cdot 4$ . Nawias jest najprostszym sposobem, żeby dodawanie wyprzedziło mnożenie, ale nie jedynym: tę samą rolę pełnią kreska ułamkowa i znak pierwiastka. W $\sqrt{9 + 16} \cdot 2 = 10$ dodawanie idzie pierwsze, choć nawiasu nie ma — bez tego grupowania wyszłoby $35$ .

Czy można dopisywać nawiasy dla pewności?

Tak i to dobra metoda sprawdzania. Dopisanie nawiasów w miejscach, które kolejność i tak narzuca, nie zmienia wartości wyrażenia — jeśli po ich dopisaniu wynik się zmienił, pierwotny rachunek był błędny. W odpowiedzi lepiej jednak zostawić zapis bez zbędnych nawiasów.

Czytaj dalej

Tabliczka mnożenia do 100Bez niej każde wyrażenie z mnożeniem zwalnia do tempa liczenia na palcach Dzielenie pisemne liczbGdy dzielenie w wyrażeniu nie wychodzi w pamięci Ułamki zwykłe od podstawKreska ułamkowa jako ukryty nawias — stąd się to bierze Cechy podzielności liczbJak z góry wiedzieć, czy dzielenie w wyrażeniu wyjdzie równo

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Kolejność wykonywania działań

1Cztery poziomy pierwszeństwa

2Działania równorzędne — od lewej do prawej

3Nawiasy — i co robią naprawdę

Kreska ułamkowa to ukryty nawias

4Trudniejsze wyrażenia

5Jak sprawdzić, czy wynik jest dobry

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zestaw mieszany

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (styczeń 2026)1 pkttrudniejsze

Zadanie 2 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Zadanie 3 (grudzień 2024)1 pktśrednie

Zadanie 4 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 5 (czerwiec 2024)1 pktłatwe

Zadanie 6 (czerwiec 2024)1 pktśrednie

Zadanie 7 (czerwiec 2023)1 pktłatwe

Zadanie 8 (czerwiec 2023)1 pktśrednie

Zadanie 9 (czerwiec 2022)1 pktśrednie

Odpowiedzi

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Koncentracja
krok po kroku

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku