Strona główna › Geometria › Pole trapezu — wzór i sposób liczenia

Pole trapezu — wzór i sposób liczenia

Q: Jaki jest wzór na pole trapezu?

P = (a + b) · h/2, gdzie a i b to długości podstaw, czyli boków równoległych, a h to wysokość — odcinek prostopadły do obu podstaw. Ten sam wzór można czytać jako „średnia podstaw razy wysokość”.

Q: Czy we wzorze dodaje się podstawy, czy ramiona?

Podstawy, czyli boki równoległe. Ramiona w tym wzorze nie występują wcale — pojawiają się dopiero wtedy, gdy trzeba z nich wyliczyć wysokość. Dodanie ramion daje wynik niezwiązany z polem figury.

Q: Jak obliczyć wysokość trapezu, znając pole?

Ze wzoru h = 2P/a + b. Powstaje z pomnożenia obu stron przez 2 i podzielenia przez sumę podstaw. Dla pola 84, podstaw 9 i 15 daje to h = 168/24 = 7.

Wzór na pole trapezu wygląda groźniej niż pozostałe, bo ma trzy litery i ułamek. W praktyce mówi rzecz prostą: weź średnią z obu podstaw i pomnóż przez wysokość. Trudność w zadaniach nigdy nie leży w samym wzorze — leży w tym, że wysokość bywa nie podana, a zamiast niej dostajesz ramię.

Dział: GeometriaPoziom: klasy 5–8Zadań z matury: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Wzór

Trapez ma dwie podstawy — równoległe boki różnej zwykle długości. Oznaczamy je $a$ i $b$ , a wysokość literą $h$ .

P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Trzy rzeczy, które trzeba w tym wzorze zobaczyć:

$a$ i $b$ to podstawy, czyli boki równoległe — nigdy ramiona,
$h$ to wysokość, czyli odcinek prostopadły do obu podstaw,
kolejność $a$ i $b$ nie ma znaczenia — dodawanie jest przemienne, więc nie trzeba pilnować, która podstawa jest dłuższa.

Ten sam wzór po ludzku

$\frac{a + b}{2}$ to średnia arytmetyczna podstaw. Cały wzór można więc czytać tak: pole trapezu to średnia podstaw razy wysokość.

W tej postaci widać, że trapez zachowuje się jak prostokąt o tej samej wysokości i o szerokości równej średniej podstaw.

Ma to praktyczną konsekwencję: wynik zawsze wypada między $a \cdot h$ a $b \cdot h$ . To gotowa kontrola sensu — jeśli pole wyszło poza ten przedział, gdzieś jest błąd.

Wzór obejmuje też przypadki szczególne. Gdy $a = b$ , trapez jest równoległobokiem i wzór upraszcza się do $P = \frac{2a \cdot h}{2} = a \cdot h$ — czyli do znanego wzoru na pole równoległoboku. Nic osobnego nie trzeba pamiętać.

2Skąd się bierze ten wzór

Warto go raz wyprowadzić, bo wtedy nie da się go już pomylić z żadnym innym.

Sposób pierwszy — dwa trapezy w równoległobok. Weź trapez, zrób jego kopię, obróć ją o $180^\circ$ i dostaw do oryginału dłuższym bokiem.

powstaje równoległobok o podstawie $a + b$ i wysokości $h$ ,
jego pole to $(a + b) \cdot h$ ,
ale to pole dwóch trapezów, więc jeden ma połowę: $\frac{(a+b) \cdot h}{2}$ ✓

Sposób drugi — przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty. Poprowadź przekątną. Powstają dwa trójkąty o tej samej wysokości $h$ : jeden o podstawie $a$ , drugi o podstawie $b$ .

P = \frac{a \cdot h}{2} + \frac{b \cdot h}{2} = \frac{(a + b) \cdot h}{2}

Drugi sposób jest ważniejszy, bo pokazuje coś ogólniejszego: każdy wielokąt da się pociąć na trójkąty i policzyć jako sumę ich pól. Tak liczy się pola działek i figur nietypowych, dla których nie ma gotowego wzoru.

Zauważ też, że w obu wyprowadzeniach wysokość jest ta sama dla obu podstaw — bo podstawy są równoległe, a odległość między dwiema równoległymi jest wszędzie jednakowa. To jedyny powód, dla którego jedna litera $h$ w ogóle wystarcza.

3Gdy wysokość nie jest podana

To jest prawdziwa treść większości zadań o polu trapezu. Wzór jest łatwy — dane bywają niekompletne.

Trapez prostokątny. Najprostszy przypadek: jedno ramię stoi prostopadle do podstaw, więc to ramię jest wysokością. Nic nie trzeba liczyć, wystarczy zauważyć kąt prosty na rysunku.

Trapez równoramienny. Opuść wysokości z obu wierzchołków krótszej podstawy. Trapez rozpada się na prostokąt w środku i dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach.

prostokąt ma szerokość równą krótszej podstawie $b$ ,
na dwa trójkąty zostaje $a - b$ , po równo, czyli po $\frac{a - b}{2}$ każdy,
wysokość wyliczasz z twierdzenia Pitagorasa w takim trójkącie: przeciwprostokątną jest ramię, jedną przyprostokątną $\frac{a-b}{2}$ , drugą szukana $h$ .

Uwaga — ramię to nie wysokość

W trapezie dowolnym ramię biegnie ukośnie i jest dłuższe od wysokości. Podstawienie ramienia zamiast $h$ zawyża pole.

Pokrywają się wyłącznie w trapezie prostokątnym, i to tylko to jedno ramię, które stoi pod kątem prostym. Drugie ramię tego trapezu wysokością już nie jest.

Trapez dowolny z podanym kątem. Gdy zadanie podaje kąt przy podstawie i długość ramienia, wysokość wychodzi z trygonometrii: $h = c \cdot \sin\alpha$ , gdzie $c$ to ramię. To już poziom liceum, bo trygonometrii nie ma w podstawie programowej klas VII–VIII. W szkole podstawowej zadanie zawsze da się rozwiązać samym Pitagorasem.

4Liczenie w drugą stronę

Zadania egzaminacyjne równie często podają pole i pytają o którąś z danych. Wzór wtedy się przekształca.

szukane	wzór	uwaga
wysokość	$h = \frac{2P}{a + b}$	najczęstszy przypadek
suma podstaw	$a + b = \frac{2P}{h}$	czasem to wystarcza za odpowiedź
jedna podstawa	$a = \frac{2P}{h} - b$	gdy druga jest znana

Wszystkie trzy wynikają z jednego ruchu: pomnóż obie strony przez $2$ , żeby pozbyć się ułamka, a potem podziel przez to, co stoi przy szukanej. Nie trzeba ich pamiętać — trzeba umieć wykonać ten ruch.

Jednostki są tu częstym miejscem straty punktu. Pole podaje się w jednostkach kwadratowych: cm², m², km². Jeśli w zadaniu podstawy są w centymetrach, a wysokość w metrach, najpierw sprowadź wszystko do jednej jednostki, dopiero potem licz. Zamiana po obliczeniu wymaga pamiętania, że $1$ m² to $10\,000$ cm², a nie $100$ .

Przy zadaniach z treścią — działka, ściana, przekrój rowu — sprawdź na końcu, czy odpowiedź jest w jednostkach, o które pytano. Zadanie o działce w arach po policzeniu pola w metrach kwadratowych wymaga jeszcze jednego kroku: $1$ ar to $100$ m².

5Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: wzór wprost, wysokość dorysowana Pitagorasem i liczenie w drugą stronę.

Przykład 1 Podstawy i wysokość podane wprost

Trapez ma podstawy $9$ cm i $15$ cm oraz wysokość $7$ cm. Oblicz jego pole.

Podstawiam do wzoru: $P = \frac{(9 + 15) \cdot 7}{2}$ .
Sumuję podstawy: $9 + 15 = 24$ .
Mnożę przez wysokość: $24 \cdot 7 = 168$ .
Dzielę przez $2$ : $\frac{168}{2} = 84$ .
Kontrola przedziałem: pole musi wypaść między $9 \cdot 7 = 63$ a $15 \cdot 7 = 105$ . Wyszło $84$ ✓
Kontrola przez średnią: średnia podstaw to $\frac{9+15}{2} = 12$ , więc pole to $12 \cdot 7 = 84$ ✓

Odpowiedź: $P = 84$ cm²

Dwie kontrole w pięć sekund. Kontrola przedziałem jest o tyle cenna, że wyłapuje najczęstszy błąd — zapomniane dzielenie przez $2$ , które dałoby $168$ , czyli wartość powyżej całego przedziału.

Przykład 2 Wysokość trzeba dorysować

Trapez równoramienny ma podstawy $10$ cm i $16$ cm, a jego ramiona mają po $5$ cm. Oblicz pole.

Wysokości nie ma w danych, więc muszę ją wyliczyć. Opuszczam wysokości z obu wierzchołków krótszej podstawy.
Trapez rozpada się na prostokąt szerokości $10$ i dwa przystające trójkąty prostokątne po bokach.
Na te dwa trójkąty zostaje $16 - 10 = 6$ cm, po równo — czyli po $\frac{6}{2} = 3$ cm.
W jednym z trójkątów: przeciwprostokątna to ramię $5$ , jedna przyprostokątna to $3$ , szukam drugiej. Z Pitagorasa: $h^2 = 5^2 - 3^2 = 25 - 9 = 16$ , więc $h = 4$ cm.
Teraz pole: $P = \frac{(10 + 16) \cdot 4}{2} = \frac{26 \cdot 4}{2} = \frac{104}{2} = 52$ cm².
Kontrola przedziałem: $10 \cdot 4 = 40$ , $16 \cdot 4 = 64$ , a $52$ leży między nimi ✓
Kontrola sensu: wysokość $4$ musi być krótsza od ramienia $5$ , bo ramię jest przeciwprostokątną ✓

Odpowiedź: $P = 52$ cm²

Trójka $3$ – $4$ – $5$ nie jest przypadkiem — autorzy zadań dobierają dane tak, żeby Pitagoras wychodził bez pierwiastków. Jeśli w twoim rachunku wychodzi brzydki pierwiastek, warto sprawdzić odejmowanie podstaw.

Przykład 3 Z pola do brakującej podstawy

Pole trapezu wynosi $84$ m², wysokość $7$ m, a jedna z podstaw $9$ m. Oblicz drugą podstawę.

Wychodzę ze wzoru $P = \frac{(a+b) \cdot h}{2}$ i mnożę obie strony przez $2$ : $2P = (a+b) \cdot h$ .
Podstawiam liczby: $2 \cdot 84 = (a + 9) \cdot 7$ , czyli $168 = (a + 9) \cdot 7$ .
Dzielę obie strony przez $7$ : $a + 9 = \frac{168}{7} = 24$ .
Odejmuję: $a = 24 - 9 = 15$ m.
Sprawdzenie podstawieniem do pierwotnego wzoru: $\frac{(15 + 9) \cdot 7}{2} = \frac{24 \cdot 7}{2} = \frac{168}{2} = 84$ ✓
Kontrola przedziałem: $9 \cdot 7 = 63$ , $15 \cdot 7 = 105$ , a $84$ leży dokładnie pośrodku ✓

Odpowiedź: Druga podstawa ma $15$ m.

Zamiast zapamiętywać przekształcony wzór, wykonuję dwa ruchy: mnożę przez $2$ i dzielę przez to, co stoi przy szukanej. Ta sama metoda działa, gdy szukana jest wysokość.

6Najczęstsze błędy

Cztery błędy — pierwszy odpowiada za większość utraconych punktów w tym temacie.

Pominięcie dzielenia przez 2

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{P = (9 + 15) \cdot 7 = 168}$ zamiast $84$ daje wynik dwa razy za duży. Bierze się z pośpiechu: suma i mnożenie idą w pamięci, a ułamek zostaje na papierze. Rachunek wygląda przy tym poprawnie, więc uczeń go nie sprawdza.

Jak zrobić dobrze: Po policzeniu sprawdź przedziałem: pole musi wypaść między $a \cdot h$ a $b \cdot h$ . Tu byłoby to między $63$ a $105$ — wynik $168$ wypada poza i widać to od razu.

Podstawienie ramienia zamiast wysokości

Skąd się bierze: W trapezie równoramiennym o podstawach $10$ i $16$ i ramionach $5$ uczeń bierze $h = 5$ i liczy $\textcolor{#9b1c14}{P = \frac{26 \cdot 5}{2} = 65}$ zamiast $52$ . Ramię jest przeciwprostokątną, więc zawsze dłuższe od wysokości — pole wychodzi zawyżone.

Jak zrobić dobrze: Zapytaj o kąt prosty: czy ten odcinek jest prostopadły do obu podstaw? Jeśli nie, to nie jest wysokość i trzeba ją dorysować, a długość wyliczyć Pitagorasem.

Dodanie ramion zamiast podstaw

Skąd się bierze: Wzór ma we wnętrzu sumę boków równoległych. Uczeń, który patrzy na rysunek zamiast na definicję, dodaje dwa boki leżące „po bokach”, czyli ramiona. Wynik nie ma wtedy żadnego związku z polem figury.

Jak zrobić dobrze: Zanim podstawisz, zaznacz na rysunku strzałkami, które boki są równoległe. Litery $a$ i $b$ we wzorze dotyczą wyłącznie tych dwóch — reszta rysunku jest w tym momencie nieistotna.

Mieszanie jednostek w jednym rachunku

Skąd się bierze: Podstawy w centymetrach, wysokość w metrach — i wynik jest bez sensu, choć każdy krok osobno wygląda dobrze. Do tego dochodzi zamiana po fakcie: $1$ m² to $10\,000$ cm², a nie $100$ , bo kwadrat obejmuje obie długości naraz.

Jak zrobić dobrze: Sprowadź wszystkie dane do jednej jednostki przed podstawieniem do wzoru — to jedna linijka pracy, która wyklucza cały ten rodzaj błędu.

Zadania maturalne — pole trapezu: skąd wziąć wysokość i drugą podstawę

Prawdziwe zadania z arkuszy matury z matematyki (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Zielone jest to, co dane w treści. Czerwone — to, co policzone po drodze. Wzór jest jeden i prosty:

P = \dfrac{a + b}{2} \cdot h

— średnia z podstaw razy wysokość.
Kłopot jest w tym, że żadne zadanie maturalne nie podaje wprost wszystkich trzech liczb. Cała praca polega na wydobyciu brakujących, i robi się to zawsze przez trójkąt prostokątny doklejony do trapezu:
• w trapezie prostokątnym ramię pochyłe wraz z wysokością i różnicą podstaw tworzy trójkąt prostokątny — stąd wysokość z tangensa albo z Pitagorasa;
• w trapezie równoramiennym oba ramiona rzutują się na dłuższą podstawę jednakowo, więc

a = b + 2 \cdot (\text{rzut ramienia})

, a rzut i wysokość dają cosinus i sinus kąta ostrego.
Trzeci sposób, gdy podstaw nie da się dosięgnąć wprost: przekątna. Skoro podstawy są równoległe, przekątna tworzy z nimi kąty naprzemianległe — ten sam kąt pojawia się po obu stronach trapezu i przenosi informację z jednego trójkąta do drugiego. A gdy przekątne są do siebie prostopadłe, wszystkie cztery trójkąty, na jakie dzielą trapez, są prostokątne.

Zadania zamknięte

Zadanie 5 (czerwiec 2014)1 pktśrednie

W trapezie

KLMN

, w którym

KL \parallel MN

, kąt

LKN

jest prosty oraz dane są:

|MN| = 3

|KN| = 4\sqrt{3}

|\sphericalangle KLM| = 60^\circ

.

Pole tego trapezu jest równe

A. $4 + 2\sqrt{3}$
B. $10\sqrt{3}$
C. $20\sqrt{3}$
D. $24 + 6\sqrt{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

We wzorze na pole trapezu potrzebne są obie podstawy i wysokość. Krótsza podstawa i wysokość są dane wprost — bo kąt przy $K$ jest prosty, więc ramię $KN$ jest jednocześnie wysokością. Brakuje dłuższej podstawy $KL$ .
Rzut pochyłego ramienia $LM$ na podstawę $KL$ to różnica podstaw, czyli $|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}$ . Leży on przy kącie $\textcolor{#16A06A}{60^\circ}$ , a wysokość $\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}$ naprzeciw niego — więc łączy je tangens:
$\operatorname{tg} \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}} \quad\Longrightarrow\quad \textcolor{#E0453A}{\sqrt3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{|KL| - \textcolor{#16A06A}{3}}$
$|KL| - \textcolor{#16A06A}{3} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4\sqrt3}}{\textcolor{#E0453A}{\sqrt3}} = \textcolor{#E0453A}{4} \quad\Longrightarrow\quad |KL| = \textcolor{#E0453A}{7}$
Teraz pole:
$P = \dfrac{|KL| + \textcolor{#16A06A}{|MN|}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{7} + \textcolor{#16A06A}{3}}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = 5 \cdot \textcolor{#16A06A}{4\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}$
Odpowiedź: C.
Kontrola przez podział figury: trapez rozpada się na prostokąt o bokach $3$ i $4\sqrt3$ oraz trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $4$ i $4\sqrt3$ . Pola: $12\sqrt3$ oraz $\tfrac12 \cdot 4 \cdot 4\sqrt3 = 8\sqrt3$ . Razem $20\sqrt3$ ✓ — inny rachunek, ten sam wynik.
Kontrola sensem: $20\sqrt3 \approx 34{,}6$ . Trapez mieści się w prostokącie o bokach $7$ i $4\sqrt3 \approx 6{,}93$ , czyli o polu $\approx 48{,}5$ , a zawiera prostokąt o polu $12\sqrt3 \approx 20{,}8$ . Wynik mieści się między tymi liczbami ✓.

💡 Wskazówka: Sprawdź najpierw, co już masz. W trapezie prostokątnym ramię przy kącie prostym jest wysokością — nie trzeba jej liczyć. Zwykle brakuje jednej podstawy i wtedy pracuje się na trójkącie odciętym przez pochyłe ramię: rzut leży przy kącie, wysokość naprzeciw, więc łączy je tangens.

⚠ Odpowiedź $B$ , czyli $10\sqrt3$ — to połowa poprawnej: powstaje z pomnożenia przez wysokość sumy podstaw zamiast jej połowy, a potem podzielenia przez dwa w złym miejscu, albo z użycia jako podstawy samego rzutu $4$ zamiast całego $|KL| = 7$ . Odpowiedzi $A$ i $D$ mają postać „liczba plus liczba z pierwiastkiem”, a pole tego trapezu jest czystą wielokrotnością $\sqrt3$ — bo obie podstawy są wymierne, a wysokość niewymierna. Sama postać wyniku pozwala je odrzucić.

Zadania otwarte

Zadanie 1 (sierpień 2023)2 pktłatwe

Dany jest trapez równoramienny

ABCD

, w którym podstawa

CD

ma długość

6

, ramię

AD

ma długość

4

, a kąty

BAD

oraz

ABC

mają miarę

60^\circ

(zobacz rysunek). Oblicz pole tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P = 16\sqrt3 \approx 27{,}71$

Krok 1 — co brakuje. Wzór na pole potrzebuje obu podstaw i wysokości. Mamy tylko krótszą podstawę $\textcolor{#16A06A}{6}$ ; dłuższej podstawy i wysokości trzeba dopiero wydobyć — i jedno i drugie z tego samego trójkąta prostokątnego.
Krok 2 — trójkąt prostokątny przy wierzchołku $A$ . Opuśćmy wysokość z wierzchołka $D$ na podstawę $AB$ i nazwijmy jej spodek $P$ . Trójkąt $APD$ jest prostokątny, jego przeciwprostokątną jest ramię $|AD| = \textcolor{#16A06A}{4}$ , a kąt przy $A$ ma $\textcolor{#16A06A}{60^\circ}$ . Wtedy
$|AP| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \cos \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac12} = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \text{(rzut ramienia na podstawę)}$
$h = |DP| = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \sin \textcolor{#16A06A}{60^\circ} = \textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{\tfrac{\sqrt3}{2}} = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} \qquad \text{(wysokość)}$
Krok 3 — dłuższa podstawa. Trapez jest równoramienny, więc oba ramiona rzutują się na $AB$ jednakowo — po $\textcolor{#E0453A}{2}$ z każdej strony. Środkowy fragment $AB$ ma tyle, co krótsza podstawa:
$|AB| = \textcolor{#E0453A}{2} + \textcolor{#16A06A}{6} + \textcolor{#E0453A}{2} = \textcolor{#E0453A}{10}$
Krok 4 — pole.
$P = \dfrac{|AB| + |CD|}{2} \cdot h = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = 16\sqrt3$
Odpowiedź: $P = 16\sqrt3 \approx 27{,}71$ .
Kontrola drogą inną niż wzór na trapez — przez rozcięcie na trzy części. Trapez składa się z prostokąta o wymiarach $\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$ i dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{2}$ i $\textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$ :
$P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} + 2 \cdot \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3} = \textcolor{#E0453A}{12\sqrt3} + \textcolor{#E0453A}{4\sqrt3} = 16\sqrt3$ ✓ ten sam wynik
Kontrola sensowności: trapez zawiera się w prostokącie o wymiarach $\textcolor{#E0453A}{10} \times \textcolor{#E0453A}{2\sqrt3}$ , czyli o polu $\textcolor{#E0453A}{20\sqrt3}$ , i zawiera prostokąt o polu $\textcolor{#E0453A}{12\sqrt3}$ . Wynik $16\sqrt3$ leży pomiędzy ✓

💡 Wskazówka: Schemat, który działa w każdym trapezie równoramiennym z podanym kątem: opuść wysokość z wierzchołka krótszej podstawy i popatrz na powstały trójkąt prostokątny. Ramię jest w nim przeciwprostokątną, więc rzut to $\text{ramię} \cdot \cos\alpha$ , a wysokość to $\text{ramię} \cdot \sin\alpha$ — dwie brakujące liczby jednym ruchem. Dłuższa podstawa to wtedy krótsza plus dwa rzuty, bo trapez jest równoramienny i rzuty po obu stronach są równe. Warto mieć w pamięci, że przy kącie $60^\circ$ rzut jest połową ramienia, a przy $45^\circ$ rzut równa się wysokości.

⚠ Dodanie tylko jednego rzutu, czyli $|AB| = 6 + 2 = 8$ , i pole $\tfrac{8+6}{2} \cdot 2\sqrt3 = 14\sqrt3$ . Trapez ma dwa ramiona i oba wystają za krótszą podstawę — rysunek to od razu pokazuje. Drugi błąd: pomylenie sinusa z cosinusem, czyli przyjęcie wysokości $4 \cdot \cos 60^\circ = 2$ i rzutu $4 \cdot \sin 60^\circ = 2\sqrt3$ . Kontrola jest prosta: przy kącie $60^\circ$ , czyli większym od $45^\circ$ , ramię jest bardziej „pionowe” niż „poziome”, więc wysokość musi być większa od rzutu; $2\sqrt3 \approx 3{,}46 > 2$ ✓ Odwrotnie byłoby dopiero dla kąta mniejszego od $45^\circ$ . Trzeci błąd: wstawienie do wzoru ramienia $4$ w miejsce wysokości — ramię jest pochyłe, więc jest dłuższe od wysokości i pole wyszłoby za duże.

Zadanie 2 (marzec 2012)2 pktłatwe

Podstawy trapezu prostokątnego mają długość

6

10

oraz tangens kąta ostrego jest równy

3

. Oblicz pole tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P = 96$

Krok 1 — gdzie w trapezie prostokątnym siedzi kąt ostry. Trapez prostokątny ma dwa kąty proste (przy krótszym ramieniu, które jest zarazem wysokością) oraz jeden kąt ostry i jeden rozwarty. Kąt ostry leży przy dłuższej podstawie, między nią i ramieniem pochyłym.
Krok 2 — trójkąt prostokątny z różnicy podstaw. Odetnijmy od trapezu prostokąt: zostaje trójkąt prostokątny, w którym
• jedna przyprostokątna to wysokość trapezu, czyli $h$ ,
• druga to różnica podstaw: $\textcolor{#16A06A}{10} - \textcolor{#16A06A}{6} = \textcolor{#E0453A}{4}$ ,
• kąt ostry przy dłuższej podstawie leży właśnie w tym trójkącie.
Krok 3 — tangens. Tangens kąta ostrego to stosunek przyprostokątnej przeciwległej do przyprostokątnej przyległej. Kąt leży przy dłuższej podstawie, więc przyległa jest różnica podstaw, a przeciwległa — wysokość:
$\text{tg}\,\alpha = \dfrac{h}{\textcolor{#E0453A}{4}} = \textcolor{#16A06A}{3} \qquad \Longrightarrow \qquad h = \textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#E0453A}{4} = \textcolor{#E0453A}{12}$
Krok 4 — pole.
$P = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{10} + \textcolor{#16A06A}{6}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = 96$
Odpowiedź: $P = 96$ .
Kontrola drogą inną — przez rozcięcie na prostokąt i trójkąt. Prostokąt ma wymiary $\textcolor{#16A06A}{6} \times \textcolor{#E0453A}{12}$ , a trójkąt przyprostokątne $\textcolor{#E0453A}{4}$ i $\textcolor{#E0453A}{12}$ :
$P = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} + \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{4} \cdot \textcolor{#E0453A}{12} = \textcolor{#E0453A}{72} + \textcolor{#E0453A}{24} = 96$ ✓
Kontrola sensowności: tangens większy od $1$ znaczy, że kąt ostry jest większy od $45^\circ$ , czyli ramię pochyłe jest bardziej pionowe niż poziome — a więc wysokość musi być większa od różnicy podstaw. I jest: $\textcolor{#E0453A}{12} > \textcolor{#E0453A}{4}$ ✓ Gdyby wyszła wysokość $\tfrac43$ , byłoby to sprzeczne z daną.

💡 Wskazówka: W trapezie prostokątnym cała robota siedzi w jednym trójkącie, który powstaje po odcięciu prostokąta. Jego przyprostokątne to wysokość i różnica podstaw — i to jest jedyna rzecz, którą trzeba zapamiętać, bo z niej wynika wszystko: tangens kąta ostrego, długość ramienia pochyłego z Pitagorasa, sinus i cosinus. Uwaga na kierunek tangensa: kąt ostry leży przy dłuższej podstawie, więc przyległą przyprostokątną jest różnica podstaw, a przeciwległą wysokość, czyli $\text{tg}\,\alpha = \tfrac{h}{a - b}$ . Szybka kontrola kierunku: $\text{tg}\,\alpha > 1$ oznacza kąt większy od $45^\circ$ , a więc wysokość większą od różnicy podstaw.

⚠ Odwrócenie tangensa, czyli $h = \tfrac{4}{3}$ , i pole $8 \cdot \tfrac43 = \tfrac{32}{3} \approx 10{,}7$ . Poza tym, że kierunek jest zły, wynik przeczy danej: tangens $3$ to kąt około $71^\circ$ , więc ramię jest niemal pionowe, a wysokość musi być kilka razy większa od różnicy podstaw, nie mniejsza. Drugi błąd: przyjęcie, że przyległą przyprostokątną jest dłuższa podstawa ( $10$ ), a nie różnica podstaw — wtedy wysokość wychodzi $30$ i pole $240$ . Trzeci błąd: uznanie liczby $3$ za długość — to tangens, wielkość bez jednostki, a nie wysokość ani ramię. Czwarty: policzenie pola jako iloczynu podstaw albo jako $\tfrac12 \cdot 6 \cdot 10$ ; wzór na pole trapezu bierze średnią z podstaw i mnoży ją przez wysokość.

Zadanie 3 (grudzień 2024)4 pkttrudniejsze

W trapezie prostokątnym

ABCD

dłuższa podstawa

AB

ma długość

7{,}5

. Krótsza przekątna

AC

ma długość równą

6

i dzieli trapez na dwa trójkąty prostokątne (zobacz rysunek). Oblicz pole trapezu

ABCD

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P = 22{,}14$

Krok 1 — dwa trójkąty i to, co je łączy. Przekątna $AC$ dzieli trapez na trójkąt $ACD$ (kąt prosty przy $D$ ) i trójkąt $ACB$ (kąt prosty przy $C$ ). W trójkącie $ACB$ znamy oba potrzebne boki: przeciwprostokątną $|AB| = \textcolor{#16A06A}{7{,}5}$ i przyprostokątną $|AC| = \textcolor{#16A06A}{6}$ . Od niego zaczynamy.
Krok 2 — druga przyprostokątna trójkąta $ACB$ .
$|CB|^2 = \textcolor{#16A06A}{7{,}5}^2 - \textcolor{#16A06A}{6}^2 = 56{,}25 - 36 = \textcolor{#E0453A}{20{,}25} \qquad \Longrightarrow \qquad |CB| = \textcolor{#E0453A}{4{,}5}$
Warto zauważyć, że $\textcolor{#16A06A}{6}$ , $\textcolor{#E0453A}{4{,}5}$ , $\textcolor{#16A06A}{7{,}5}$ to trójka $3$ , $4$ , $5$ pomnożona przez $1{,}5$ — rachunek można było przewidzieć.
Krok 3 — kąt, który przenosi informację. Teraz kluczowy ruch. Podstawy trapezu są równoległe: $DC \parallel AB$ . Przekątna $AC$ przecina te dwie proste, więc kąty $DCA$ i $CAB$ są naprzemianległe, czyli równe:
$\sphericalangle DCA = \sphericalangle CAB$
Ten sam kąt występuje więc w obu trójkątach — w jednym jako kąt przy $A$ , w drugim jako kąt przy $C$ . To on przenosi informację z trójkąta $ACB$ , w którym wszystko wiemy, do trójkąta $ACD$ , w którym nie wiemy nic poza przekątną.
Krok 4 — sinus i cosinus tego kąta z trójkąta $ACB$ . Kąt przy $A$ , przeciwprostokątna $\textcolor{#16A06A}{7{,}5}$ :
$\cos \sphericalangle CAB = \dfrac{|AC|}{|AB|} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{6}}{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}8}, \qquad \sin \sphericalangle CAB = \dfrac{|CB|}{|AB|} = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{4{,}5}}{\textcolor{#16A06A}{7{,}5}} = \textcolor{#E0453A}{0{,}6}$
Krok 5 — boki trójkąta $ACD$ . W tym trójkącie kąt prosty jest przy $D$ , przeciwprostokątną jest przekątna $|AC| = \textcolor{#16A06A}{6}$ , a kąt przy $C$ ma ten sam cosinus i sinus co policzone wyżej:
$|DC| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \cos \sphericalangle DCA = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}8} = \textcolor{#E0453A}{4{,}8} \qquad \text{(krótsza podstawa)}$
$|AD| = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \sin \sphericalangle DCA = \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{0{,}6} = \textcolor{#E0453A}{3{,}6} \qquad \text{(wysokość)}$
Krok 6 — pole.
$P = \dfrac{|AB| + |DC|}{2} \cdot |AD| = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{7{,}5} + \textcolor{#E0453A}{4{,}8}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = \textcolor{#E0453A}{6{,}15} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = 22{,}14$
Odpowiedź: $P = 22{,}14$ .
Kontrola drogą inną — jako suma pól dwóch trójkątów, na które przekątna dzieli trapez. Oba są prostokątne, więc ich pola to połowy iloczynów przyprostokątnych:
$P_{ACD} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{4{,}8} \cdot \textcolor{#E0453A}{3{,}6} = \textcolor{#E0453A}{8{,}64}, \qquad P_{ACB} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} \cdot \textcolor{#E0453A}{4{,}5} = \textcolor{#E0453A}{13{,}5}$
$P = \textcolor{#E0453A}{8{,}64} + \textcolor{#E0453A}{13{,}5} = 22{,}14$ ✓ ten sam wynik
Kontrola danych: sprawdźmy, że przekątna $AC$ naprawdę wychodzi $\textcolor{#16A06A}{6}$ przy policzonych bokach. Z Pitagorasa w trójkącie $ACD$ : $\sqrt{\textcolor{#E0453A}{4{,}8}^2 + \textcolor{#E0453A}{3{,}6}^2} = \sqrt{23{,}04 + 12{,}96} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{36}} = \textcolor{#16A06A}{6}$ ✓ i to zamyka rachunek.

💡 Wskazówka: Zadanie stoi na jednym spostrzeżeniu: przekątna przecina dwie równoległe podstawy, więc tworzy z nimi równe kąty naprzemianległe. Ten sam kąt pojawia się po obu stronach trapezu — dzięki temu można policzyć jego sinus i cosinus w trójkącie, w którym znamy wszystko, i użyć ich w trójkącie, w którym nie znamy nic. Bez tego przejścia trójkąt $ACD$ jest nierozwiązywalny: ma tylko jedną znaną długość. Praktyczna kolejność pracy: najpierw znajdź trójkąt z dwiema znanymi długościami i policz w nim wszystko, potem przenieś kąt. I jeszcze jedno — kąt prosty przy $C$ nie jest tu przypadkiem ani ozdobą rysunku; bez niego trójkąt $ACB$ też byłby nierozwiązywalny.

⚠ Przyjęcie, że przekątna dzieli trapez na dwa trójkąty podobne albo przystające, i przepisanie boków z jednego do drugiego. Oba są prostokątne i mają wspólny bok $AC$ , ale kąt prosty leży w nich w różnych miejscach — w $ACD$ przy $D$ , w $ACB$ przy $C$ — więc przekątna $AC$ jest w jednym przeciwprostokątną, a w drugim przyprostokątną. To dokładnie ta różnica, którą wykorzystuje rozwiązanie. Drugi błąd: wzięcie $|CB| = 4{,}5$ jako wysokości trapezu. Wysokością jest krótsze ramię $AD$ , prostopadłe do obu podstaw; $CB$ jest ramieniem pochyłym. Trzeci błąd: pominięcie kroku z kątem naprzemianległym i zgadnięcie, że $|DC|$ to połowa $|AB|$ albo że $|AD| = |CB|$ — nic w treści tego nie mówi. Czwarty błąd: policzenie pola jako $\tfrac12 \cdot 7{,}5 \cdot 3{,}6$ , czyli wzorem na trójkąt; trapez ma dwie podstawy i wchodzi ich średnia.

Zadanie 4 (czerwiec 2017)4 pkttrudniejsze

Ramię trapezu równoramiennego

ABCD

ma długość

\sqrt{26}

. Przekątne w tym trapezie są prostopadłe, a punkt ich przecięcia dzieli je w stosunku

2 : 3

. Oblicz pole tego trapezu.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: $P = 25$

Krok 1 — cztery trójkąty prostokątne. Przekątne są prostopadłe, więc dzielą trapez na cztery trójkąty, z których każdy ma kąt prosty w punkcie przecięcia. Nazwijmy ten punkt $S$ .
Krok 2 — dwa z nich są równoramienne. Trapez jest równoramienny, więc jest symetryczny względem prostej przechodzącej przez środki obu podstaw — a przekątne są względem tej symetrii wymienne. Stąd $|AS| = |BS|$ oraz $|CS| = |DS|$ . Trójkąty $ABS$ i $CDS$ są zatem prostokątne równoramienne.
Krok 3 — co znaczy stosunek $2 : 3$ . Punkt $S$ dzieli każdą przekątną w stosunku $\textcolor{#16A06A}{2} : \textcolor{#16A06A}{3}$ , przy czym dłuższe kawałki leżą po stronie dłuższej podstawy. Oznaczmy
$|AS| = |BS| = \textcolor{#16A06A}{3}t, \qquad |CS| = |DS| = \textcolor{#16A06A}{2}t$
Krok 4 — ramię z Pitagorasa. Ramię $AD$ jest przeciwprostokątną trójkąta $ADS$ , którego przyprostokątne to właśnie $|AS|$ i $|DS|$ — a kąt między nimi jest prosty, bo przekątne są prostopadłe:
$|AD|^2 = \left(\textcolor{#16A06A}{3}t\right)^2 + \left(\textcolor{#16A06A}{2}t\right)^2 = 9t^2 + 4t^2 = \textcolor{#E0453A}{13t^2}$
Podstawiamy daną $|AD| = \textcolor{#16A06A}{\sqrt{26}}$ :
$\textcolor{#E0453A}{13}t^2 = 26 \qquad \Longrightarrow \qquad t^2 = \textcolor{#E0453A}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad t = \textcolor{#E0453A}{\sqrt2}$
Krok 5 — długości przekątnych. Każda przekątna to suma dwóch kawałków:
$|AC| = |BD| = \textcolor{#16A06A}{3}t + \textcolor{#16A06A}{2}t = \textcolor{#E0453A}{5}t = \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2}$
Krok 6 — pole czworokąta o prostopadłych przekątnych. Gdy przekątne czworokąta są prostopadłe, jego pole to połowa ich iloczynu. Wzór ten znamy z rombu, ale prostopadłość przekątnych jest jedynym warunkiem, jaki jest do niego potrzebny:
$P = \tfrac12 \cdot |AC| \cdot |BD| = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5\sqrt2} = \tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{50} = 25$
Odpowiedź: $P = 25$ .
Kontrola drogą inną — przez wyznaczenie podstaw i wysokości, a potem zwykły wzór na pole trapezu. Trójkąt $ABS$ jest prostokątny równoramienny o przyprostokątnych $\textcolor{#16A06A}{3}t = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2}$ , więc
$|AB| = \textcolor{#E0453A}{3\sqrt2} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{6}, \qquad \text{a analogicznie} \qquad |CD| = \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} \cdot \sqrt2 = \textcolor{#E0453A}{4}$
Wysokość to suma odległości punktu $S$ od obu podstaw. W prostokątnym trójkącie równoramiennym wysokość opuszczona z kąta prostego jest połową przeciwprostokątnej, więc odległości te wynoszą $\textcolor{#E0453A}{3}$ i $\textcolor{#E0453A}{2}$ , a razem $h = \textcolor{#E0453A}{5}$ . Wtedy
$P = \dfrac{\textcolor{#E0453A}{6} + \textcolor{#E0453A}{4}}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#E0453A}{5} \cdot \textcolor{#E0453A}{5} = 25$ ✓ ten sam wynik
Kontrola danych: sprawdźmy ramię przy tych podstawach. Rzut ramienia na dłuższą podstawę to $\tfrac{\textcolor{#E0453A}{6} - \textcolor{#E0453A}{4}}{2} = \textcolor{#E0453A}{1}$ , więc $|AD| = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{1}^2 + \textcolor{#E0453A}{5}^2} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{26}}$ ✓ zgadza się z daną.

💡 Wskazówka: Dwa fakty otwierają to zadanie. Pierwszy: w czworokącie o prostopadłych przekątnych pole to połowa ich iloczynu — nie trzeba wtedy ani podstaw, ani wysokości. Drugi: w trapezie równoramiennym przekątne są równe i punkt przecięcia dzieli je w tym samym stosunku, a przy prostopadłości powstają dwa trójkąty prostokątne równoramienne — przy dłuższej i przy krótszej podstawie. Dzięki temu jedna niewiadoma $t$ opisuje cały trapez: wystarczy ją wyznaczyć z ramienia, które jest przeciwprostokątną trójkąta o przyprostokątnych $3t$ i $2t$ . Zwróć uwagę, że stosunek $2 : 3$ nie mówi, który kawałek jest przy której podstawie — rozstrzyga to zdrowy rozsądek: dłuższy kawałek leży przy dłuższej podstawie.

⚠ Zastosowanie wzoru „połowa iloczynu przekątnych” bez sprawdzenia prostopadłości — w dowolnym trapezie ten wzór jest fałszywy, a tutaj wolno go użyć wyłącznie dlatego, że treść podaje prostopadłość. Drugi błąd: przyjęcie, że przekątne mają długości $2$ i $3$ (albo że są w stosunku $2:3$ względem siebie). W trapezie równoramiennym przekątne są równe; stosunek $2:3$ dotyczy podziału każdej z nich przez punkt przecięcia. Trzeci błąd: potraktowanie ramienia $\sqrt{26}$ jako przekątnej albo jako przyprostokątnej — jest przeciwprostokątną trójkąta $ADS$ . Czwarty błąd, rachunkowy: z $13t^2 = 26$ wyciągnięcie $t = 2$ zamiast $t^2 = 2$ ; wtedy pole wychodzi $50$ , czyli dwa razy za dużo. Warto wynik zweryfikować, wracając do danej: przy $t = \sqrt2$ ramię wychodzi dokładnie $\sqrt{26}$ .

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

P = 16\sqrt3 \approx 27{,}71

P = 96

P = 22{,}14

P = 25

5. C

Treści zadań pochodzą z arkuszy matury z matematyki (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

7Pytania i odpowiedzi

Jaki jest wzór na pole trapezu?

$P = \frac{(a + b) \cdot h}{2}$ , gdzie $a$ i $b$ to długości podstaw, czyli boków równoległych, a $h$ to wysokość — odcinek prostopadły do obu podstaw. Ten sam wzór można czytać jako „średnia podstaw razy wysokość”.

Skąd się bierze wzór na pole trapezu?

Najprościej z przekątnej: dzieli ona trapez na dwa trójkąty o wspólnej wysokości $h$ i podstawach $a$ oraz $b$ . Suma ich pól to $\frac{ah}{2} + \frac{bh}{2} = \frac{(a+b)h}{2}$ . Drugie wyprowadzenie: dwa jednakowe trapezy składają się w równoległobok o podstawie $a+b$ .

Jak obliczyć pole trapezu bez wysokości?

Wysokość trzeba wyliczyć. W trapezie prostokątnym jest nią po prostu prostopadłe ramię. W równoramiennym opuszcza się wysokości z krótszej podstawy — powstają dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnej $\frac{a-b}{2}$ , z których wysokość wychodzi twierdzeniem Pitagorasa.

Czy we wzorze dodaje się podstawy, czy ramiona?

Podstawy, czyli boki równoległe. Ramiona w tym wzorze nie występują wcale — pojawiają się dopiero wtedy, gdy trzeba z nich wyliczyć wysokość. Dodanie ramion daje wynik niezwiązany z polem figury.

Jak obliczyć wysokość trapezu, znając pole?

Ze wzoru $h = \frac{2P}{a + b}$ . Powstaje z pomnożenia obu stron przez $2$ i podzielenia przez sumę podstaw. Dla pola $84$ , podstaw $9$ i $15$ daje to $h = \frac{168}{24} = 7$ .

Czy wzór na pole trapezu działa dla równoległoboku?

Tak. Równoległobok to trapez o równych podstawach, więc dla $a = b$ wzór daje $\frac{2a \cdot h}{2} = a \cdot h$ — dokładnie wzór na pole równoległoboku. Nie trzeba go pamiętać osobno.

Jaki jest wzór na trapez?

Pytając o wzór na trapez, ma się zwykle na myśli wzór na jego pole: suma podstaw przez dwa, razy wysokość. Sam trapez nie ma jednego wzoru — osobno liczy się pole, a osobno obwód, który jest po prostu sumą wszystkich czterech boków.

Czytaj dalej

Pola figurHub działu: wzory na pola wszystkich figur płaskich Trapez — własności figuryRodzaje trapezów i kąty; tu chodziło o samo pole Twierdzenie PitagorasaStąd bierze się wysokość, gdy nie ma jej w danych Wzory na pole trójkątaWyprowadzenie przez przekątną prowadzi wprost tutaj Obwody figurObwód trapezu to suma czterech boków, bez wysokości

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.