Strona główna › Działania pisemne › Odejmowanie sposobem pisemnym — pożyczanie krok po kroku

Odejmowanie sposobem pisemnym — pożyczanie krok po kroku

Q: Na czym polega pożyczanie?

Na przepakowaniu liczby, nie na jej zmianie. W 632 jedną dziesiątkę rozmieniamy na 10 jedności: zostaje 6 setek, 2 dziesiątki i 12 jedności, a to nadal jest 632. Dlatego po pożyczce trzeba koniecznie zmniejszyć sąsiednią cyfrę — inaczej liczba naprawdę by wzrosła.

Q: Jak sprawdzić, czy odejmowanie się zgadza?

Dodaj różnicę do odjemnika — musi wyjść odjemna. Dla 632 - 178 = 454 sprawdzasz 454 + 178 = 632. Druga, szybsza kontrola to szacowanie na zaokrąglonych liczbach, a trzecia najprostsza: różnica musi być mniejsza od odjemnej, o ile odejmujesz liczbę większą od zera (przy odjęciu zera różnica jest jej równa).

Q: Czy w odejmowaniu można zamienić liczby miejscami?

Nie. Przy dodawaniu wolno, bo 3 + 5 i 5 + 3 dają to samo. Przy odejmowaniu kolejność jest ustalona: 8 - 3 to 5, a 3 - 8 dałoby liczbę ujemną, której w klasie czwartej jeszcze nie ma. Odjemna musi być większa albo równa odjemnikowi.

Odejmowanie pisemne ma tylko jedno trudne miejsce i wszyscy je znają: pożyczanie. Reszta to przepisywanie cyfr. Cała sztuka polega na zrozumieniu, skąd bierze się ta pożyczona dziesiątka — bo uczeń, który wie tylko, że „stawia się kropkę i dopisuje jedynkę”, prędzej czy później zapomni zmniejszyć sąsiednią cyfrę. Ta strona tłumaczy pożyczanie tak, żeby nie było sztuczką, i osobno pokazuje najgorszy przypadek: odejmowanie od liczby z zerami.

Dział: Działania pisemnePoziom: klasa 4Zadań z E8: 5

Przejdź od razu do zadań (5) ↓

1Zapis: jedności pod jednościami

Liczby zapisujemy jedna pod drugą tak, żeby cyfry tego samego rzędu stały w jednej kolumnie: jedności pod jednościami, dziesiątki pod dziesiątkami, setki pod setkami.

Na górze odjemna — liczba, od której odejmujemy. Pod nią odjemnik — liczba, którą odejmujemy. Wynik nazywa się różnicą.

Trzy nazwy, które warto znać

$847 - 293 = 554$

Odjemna to $847$ , odjemnik to $293$ , różnica to $554$ .

Nazwy przydają się nie dla samych nazw: polecenia w zadaniach brzmią „o ile odjemna jest większa od odjemnika” albo „zwiększ odjemnik o…”, i bez nich nie da się ich zrozumieć.

Kolejność ma znaczenie. Przy dodawaniu wolno zamienić składniki miejscami i wynik się nie zmieni. Przy odejmowaniu nie wolno — $847 - 293$ to co innego niż $293 - 847$ . W klasie czwartej odjemna musi być większa albo równa odjemnikowi, bo inaczej wynik byłby liczbą ujemną — a liczby ujemne wchodzą dopiero w klasie szóstej.

Gdy liczby mają różną długość, wyrównujemy je do prawej strony — czyli do kolumny jedności. To ta sama zasada, tylko widziana od drugiej strony: $47$ ma zero setek, więc kolumna setek zostaje pusta.

2Odejmowanie bez pożyczania

Najprostszy przypadek: w każdej kolumnie cyfra u góry jest większa albo równa cyfrze na dole. Wtedy odejmujemy kolumna po kolumnie, od prawej do lewej, i nic więcej się nie dzieje.

7856 - 3421 = 4435

Kolumna po kolumnie: jedności $6 - 1 = 5$ , dziesiątki $5 - 2 = 3$ , setki $8 - 4 = 4$ , tysiące $7 - 3 = 4$ .

Zaczynamy zawsze od prawej strony, czyli od jedności. Powód jest ten sam co przy dodawaniu: dopiero po policzeniu jedności wiadomo, czy trzeba coś pożyczyć w następnej kolumnie.

Zero w odjemniku niczego nie komplikuje — odjęcie zera zostawia cyfrę bez zmian: $7856 - 3006 = 4850$ .

3Pożyczanie — skąd się bierze dziesiątka

Kłopot zaczyna się, gdy w kolumnie cyfra u góry jest mniejsza od tej na dole. W $632 - 178$ już w jednościach mamy $2 - 8$ , a tego nie da się wykonać w liczbach naturalnych.

Rozwiązanie: pożyczamy jedną dziesiątkę z sąsiedniej kolumny po lewej. Jedna dziesiątka to $10$ jedności, więc dwójka zamienia się w $12$ .

Co dokładnie się dzieje przy pożyczce

Liczbę $632$ można rozpisać jako $6$ setek $+$ $3$ dziesiątki $+$ $2$ jedności.

Pożyczka to przepakowanie: jedną dziesiątkę rozmieniamy na $10$ jedności. Zostaje $6$ setek $+$ $2$ dziesiątki $+$ $12$ jedności.

Liczba się nie zmieniła — $600 + 20 + 12 = 632$ ✓ Zmienił się tylko sposób jej zapisania, tak żeby dało się odjąć.

Dlatego po pożyczce trzeba zmniejszyć sąsiednią cyfrę o jeden. Bez tego liczba naprawdę by się zmieniła, a wynik byłby o $10$ za duży.

Wróćmy do rachunku. Po pożyczce: jedności $12 - 8 = 4$ , dziesiątki $2 - 7$ — znowu za mało, więc pożyczamy z setek: $12 - 7 = 5$ , a setki maleją do $5$ . Setki: $5 - 1 = 4$ .

632 - 178 = 454

Kontrola dodawaniem: $454 + 178 = 632$ ✓

Pożyczka zawsze idzie z kolumny bezpośrednio na lewo i zawsze zamienia się na dziesięć jednostek niższego rzędu: jedna setka to $10$ dziesiątek, jedna dziesiątka to $10$ jedności.

4Najtrudniejszy przypadek: pożyczanie przez zera

Co zrobić, gdy sąsiednia kolumna ma zero i nie ma z czego pożyczyć? Wtedy pożyczka wędruje dalej w lewo — i to jest miejsce, w którym gubi się najwięcej uczniów.

Weźmy $1000 - 247$ . W jednościach $0 - 7$ , a w dziesiątkach i setkach też stoją zera.

Idziemy w lewo aż do pierwszej niezerowej cyfry — to jedynka w rzędzie tysięcy.
Rozmieniamy ją: $1$ tysiąc to $10$ setek. Zostaje $0$ tysięcy i $10$ setek.
Z tych setek pożyczamy jedną na dziesiątki: $9$ setek i $10$ dziesiątek.
Z dziesiątek pożyczamy jedną na jedności: $9$ dziesiątek i $10$ jedności.

Po całym przepakowaniu $1000$ wygląda tak: $9$ setek $+$ $9$ dziesiątek $+$ $10$ jedności. Sprawdzenie: $900 + 90 + 10 = 1000$ ✓

Teraz odejmowanie idzie gładko: jedności $10 - 7 = 3$ , dziesiątki $9 - 4 = 5$ , setki $9 - 2 = 7$ .

1000 - 247 = 753

Skrót, który warto znać — i kiedy wolno go użyć

Przy odejmowaniu od okrągłej liczby zamiast rozmieniać przez wszystkie zera można odjąć od liczby o jeden mniejszej — kończącej się samymi dziewiątkami — a na końcu dodać $1$ .

$1000 - 247$ : liczę $999 - 247 = 752$ , potem $752 + 1 = 753$ ✓

Działa to dlatego, że $1000 = 999 + 1$ , a przy $999$ żadna pożyczka nie jest potrzebna — każda cyfra jest największa możliwa. Nie chodzi więc o to, by liczba pomocnicza składała się z samych dziewiątek: dla $5000$ jest nią $4999$ i skrót działa tak samo, bo $4999 - 1236 = 3763$ idzie bez pożyczki, a $3763 + 1 = 3764$ .

Skrót działa tylko wtedy, gdy odjemna jest okrągła. Dla $5004 - 1236$ już nie pomoże, bo czwórka na końcu psuje wzorzec — tam trzeba pożyczać normalnie.

5Sprawdzanie wyniku

Odejmowanie ma tę wygodną własność, że sprawdza się je dodawaniem — i to sprawdzenie jest natychmiastowe.

\text{różnica} + \text{odjemnik} = \text{odjemna}

Jeśli $632 - 178 = 454$ , to musi zachodzić $454 + 178 = 632$ . Gdy nie zachodzi, gdzieś jest błąd — najczęściej zapomniana pożyczka.

Druga kontrola: szacowanie. Zaokrąglij obie liczby do pełnych dziesiątek albo setek i policz w pamięci.

działanie	szacowanie	wynik	zgadza się?
$632 - 178$	$630 - 180 = 450$	$454$	tak
$1000 - 247$	$1000 - 250 = 750$	$753$	tak
$5004 - 1236$	$5000 - 1200 = 3800$	$3768$	tak
$7856 - 3421$	$7900 - 3400 = 4500$	$4435$	tak

Trzecia kontrola, najprostsza: różnica nigdy nie jest większa od odjemnej. Odejmowanie liczby dodatniej zawsze zmniejsza, więc gdy odjemnik jest większy od zera, różnica musi wyjść mniejsza od odjemnej; jedyny przypadek równości to odjęcie zera. Jeśli wynik wyszedł większy — błąd jest pewny i nie trzeba go nawet szukać w rachunku.

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady w kolejności rosnącej trudności: jedna pożyczka, pożyczanie przez zera i zadanie z treścią.

Przykład 1 Odejmowanie z pożyczką w trzech kolumnach

Oblicz $8342 - 2657$ .

Szacuję na start: $8300 - 2700 = 5600$ , więc wynik powinien być w okolicach $5600$ .
Jedności: $2 - 7$ się nie da. Pożyczam dziesiątkę: $12 - 7 = 5$ , a cyfra dziesiątek maleje z $4$ do $3$ .
Dziesiątki: $3 - 5$ się nie da. Pożyczam setkę: $13 - 5 = 8$ , a cyfra setek maleje z $3$ do $2$ .
Setki: $2 - 6$ się nie da. Pożyczam tysiąc: $12 - 6 = 6$ , a cyfra tysięcy maleje z $8$ do $7$ .
Tysiące: $7 - 2 = 5$ .
Wynik: $5685$ .
Kontrola dodawaniem: $5685 + 2657 = 8342$ ✓ Kontrola szacowaniem: $5685$ jest blisko $5600$ ✓

Odpowiedź: $8342 - 2657 = 5685$

Trzy pożyczki jedna po drugiej to typowy układ w zadaniach klasowych. Warto zapisywać zmniejszone cyfry nad odjemną od razu po pożyczce — inaczej przy trzeciej kolumnie łatwo zapomnieć, że dwie poprzednie już się zmieniły.

Przykład 2 Pożyczanie przez zera

Oblicz $5004 - 1236$ .

Szacuję: $5000 - 1200 = 3800$ .
Jedności: $4 - 6$ się nie da, a w dziesiątkach stoi zero — nie ma z czego pożyczyć bezpośrednio.
Idę w lewo do pierwszej niezerowej cyfry: to piątka w rzędzie tysięcy. Rozmieniam ją na $10$ setek, potem jedną setkę na $10$ dziesiątek, a na koniec jedną dziesiątkę na $10$ jedności — trzy wymiany, jedna po drugiej.
Po przepakowaniu odjemna wygląda tak: $4$ tysiące $+$ $9$ setek $+$ $9$ dziesiątek $+$ $14$ jedności. Sprawdzenie: $4000 + 900 + 90 + 14 = 5004$ ✓
Odejmuję: jedności $14 - 6 = 8$ , dziesiątki $9 - 3 = 6$ , setki $9 - 2 = 7$ , tysiące $4 - 1 = 3$ .
Wynik: $3768$ .
Kontrola dodawaniem: $3768 + 1236 = 5004$ ✓ Kontrola szacowaniem: blisko $3800$ ✓

Odpowiedź: $5004 - 1236 = 3768$

Krok czwarty — rozpisanie odjemnej po przepakowaniu i sprawdzenie, że dalej równa się $5004$ — zajmuje kilka sekund, a zamienia pożyczanie przez zera z magii w rachunek, który widać. Warto go robić, dopóki mechanizm nie wejdzie w nawyk.

Przykład 3 Zadanie z treścią — o ile więcej

Biblioteka miała $3250$ książek. W ciągu roku wypożyczono $1478$ , a $206$ zgubiono i skreślono z ewidencji. Ile książek pozostało na półkach na koniec roku, jeśli wszystkie wypożyczone wróciły?

Uważnie czytam: wypożyczone wróciły, więc nie zmniejszają stanu. Liczba $1478$ jest w zadaniu po to, żeby sprawdzić, czy nie odejmę jej odruchowo.
Zmniejsza stan tylko to, co zgubiono: $3250 - 206$ .
Jedności: $0 - 6$ się nie da, a w dziesiątkach stoi piątka — pożyczam stamtąd: $10 - 6 = 4$ , dziesiątki maleją z $5$ do $4$ .
Dziesiątki: $4 - 0 = 4$ . Setki: $2 - 2 = 0$ . Tysiące: $3 - 0 = 3$ .
Wynik: $3044$ książek.
Kontrola dodawaniem: $3044 + 206 = 3250$ ✓ Kontrola sensem: ubyło $206$ książek z ponad trzech tysięcy, więc wynik musiał być tylko trochę mniejszy od $3250$ ✓

Odpowiedź: Na półkach pozostało $3044$ książek.

Liczba $1478$ jest daną zbędną i takie zadania pojawiają się na sprawdzianach celowo. Zanim zaczniesz liczyć, zapytaj przy każdej liczbie: czy ona zmienia to, o co pytają? Wypożyczona i zwrócona książka wraca na półkę, więc nie zmienia nic.

7Najczęstsze błędy

Pierwsze trzy błędy dotyczą pożyczania, czwarty — czytania zadania.

Odejmowanie mniejszej cyfry od większej niezależnie od kolejności

Skąd się bierze: W kolumnie stoi $2 - 8$ , więc uczeń odwraca i zapisuje $6$ , zamiast pożyczyć. Rachunek wygląda schludnie, a wynik jest za duży. W $632 - 178$ taki skrót w jednościach daje $\textcolor{#9b1c14}{6}$ zamiast $4$ — i potem cały wynik jest błędny, choć „prawie dobry”.

Jak zrobić dobrze: Gdy górna cyfra jest mniejsza, zawsze pożyczaj. Zapamiętaj to jako regułę bez wyjątków: kolejność w odejmowaniu jest ustalona i nie wolno jej odwracać dla wygody, bo $2 - 8$ to nie to samo co $8 - 2$ .

Pożyczka bez zmniejszenia sąsiedniej cyfry

Skąd się bierze: Uczeń dopisuje dziesiątkę przy górnej cyfrze, ale zapomina zmniejszyć cyfrę po lewej. Wtedy odjemna po cichu rośnie o $10$ i wynik jest o tyle samo za duży. To najczęstszy błąd całego tematu, bo niczego nie widać w zapisie — brakuje tylko jednej skreślonej cyfry.

Jak zrobić dobrze: Traktuj pożyczkę jako przepakowanie, nie dopisywanie: jedna dziesiątka znika z jednego miejsca i pojawia się w drugim. Zapisuj obie zmiany naraz, jednym ruchem. Kontrola dodawaniem wyłapuje ten błąd natychmiast.

Zatrzymanie się na pierwszym zerze przy pożyczaniu

Skąd się bierze: W $1000 - 247$ uczeń próbuje pożyczyć z kolumny dziesiątek, widzi tam zero i albo pożycza „z zera” (co nic nie znaczy), albo wpisuje zero w wyniku i idzie dalej. Pożyczka musi wędrować w lewo aż do pierwszej niezerowej cyfry, a wszystkie mijane zera zamieniają się po drodze w dziewiątki.

Jak zrobić dobrze: Rozpisz odjemną po przepakowaniu i sprawdź, czy dalej równa się liczbie wyjściowej: $900 + 90 + 10 = 1000$ ✓ Jeśli się nie zgadza, przepakowanie było błędne. Przy okrągłych liczbach szybszy jest skrót przez dziewiątki: $999 - 247 = 752$ , plus $1$ daje $753$ .

Odejmowanie danej, która nie zmienia wyniku

Skąd się bierze: W zadaniach z treścią pojawiają się liczby zbędne — wypożyczone i zwrócone książki, przejechane i wrócone kilometry. Uczeń odejmuje wszystko, co widzi, i dostaje wynik mniejszy, niż powinien. Rachunek jest bez zarzutu, tylko odpowiada na inne pytanie.

Jak zrobić dobrze: Przy każdej liczbie w treści zadaj jedno pytanie: czy ona zmienia to, o co pytają? Jeśli nie — zostaw ją. Warto też sprawdzić na końcu, czy użyłeś wszystkich potrzebnych danych i czy któraś nie została celowo dołożona.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — zadania tekstowe

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem. W zestawie jest 1 zadanie z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (do 2019 roku) — dokładamy je jako dodatkowe ćwiczenie tych samych umiejętności. Zakres gimnazjum był miejscami szerszy niż wymagania dla klas 7–8, dlatego każde takie zadanie jest podpisane osobno.

Kolor pokazuje najważniejszą decyzję w każdym zadaniu tekstowym: zielona to wielkość, którą oznaczamy literą — zawsze ta, do której odnoszą się pozostałe. Czerwona to reszta, zapisana już przez nią. Dobry wybór zielonej rozwiązuje połowę zadania; zły — zamienia je w gąszcz ułamków.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (kwiecień 2012, egzamin gimnazjalny)1 pktśrednie

Połowa uczestników wycieczki urodziła się w Polsce, co trzeci urodził się w Niemczech, a pięciu pozostałych we Francji. W wycieczce brało udział

A. $26$ osób.
B. $30$ osób.
C. $46$ osób.
D. $60$ osób.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{n}$ liczbę wszystkich uczestników.
Polska: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n}$ . Niemcy („co trzeci”): $\tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n}$ . Francja: $\textcolor{#E0453A}{5}$ osób.
Wszyscy razem dają całość: $\tfrac12 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac13 \textcolor{#16A06A}{n} + \textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n}$ .
Sprowadzamy ułamki do mianownika 6: $\tfrac36 \textcolor{#16A06A}{n} + \tfrac26 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n}$ .
Zatem piątka to reszta: $\textcolor{#E0453A}{5} = \textcolor{#16A06A}{n} - \tfrac56 \textcolor{#16A06A}{n} = \tfrac16 \textcolor{#16A06A}{n}$ , więc $\textcolor{#16A06A}{n} = 30$ .
Odpowiedź B. Sprawdzenie: $15 + 10 + 5 = 30$ ✓

💡 Wskazówka: Zamiast układać równanie, można od razu policzyć jaką część stanowią Francuzi: $1 - \tfrac12 - \tfrac13 = \tfrac16$ . Skoro $\tfrac16$ to 5 osób, całość to 30.

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie $\tfrac12 + \tfrac13 = \tfrac25$ („licznik do licznika”) — wychodzi wtedy zupełnie inna reszta. Ułamki zawsze wymagają wspólnego mianownika.

Zadania otwarte

Zadanie 2 (czerwiec 2022)2 pktśrednie

W kasie są banknoty 20-złotowe i 50-złotowe. Liczba banknotów 20-złotowych jest taka sama jak liczba banknotów 50-złotowych. Łączna wartość wszystkich banknotów 50-złotowych jest o 6 tysięcy złotych większa od łącznej wartości banknotów 20-złotowych. Oblicz, ile banknotów 20-złotowych jest w kasie. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 200 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{b}$ liczbę banknotów każdego rodzaju — jest ich tyle samo.
Wartość banknotów 50-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{50b}$ . Wartość 20-złotowych: $\textcolor{#E0453A}{20b}$ .
Warunek: pięćdziesiątek jest o 6000 zł więcej: $\textcolor{#E0453A}{50\textcolor{#16A06A}{b}} - \textcolor{#E0453A}{20\textcolor{#16A06A}{b}} = 6000$ .
$30\textcolor{#16A06A}{b} = 6000$ , więc $\textcolor{#16A06A}{b} = 200$ .
Odpowiedź: w kasie jest 200 banknotów 20-złotowych.
Sprawdzenie: $200 \cdot 50 = 10\,000$ zł, $200 \cdot 20 = 4000$ zł, a różnica to $6000$ zł ✓

💡 Wskazówka: Skoro banknotów jest po tyle samo, każda para (jedna dwudziestka + jedna pięćdziesiątka) daje różnicę 30 zł. Wystarczy więc podzielić $6000 : 30$ .

⚠ Najczęstszy błąd: dodanie wartości zamiast odjęcia ( $70b = 6000$ ) albo pomylenie liczby banknotów z ich wartością. Sześć tysięcy to różnica kwot, nie liczba sztuk.

Zadanie 3 (maj 2021)2 pkttrudniejsze

Ania chciała kupić 10 jednakowych puszek karmy dla psa, ale zabrakło jej 11 złotych. Kupiła 6 takich puszek karmy i zostało jej 3,40 złotych. Ile kosztuje jedna puszka karmy? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 3,60 zł

Sprytne podejście: patrzymy na różnicę obu sytuacji, dzięki czemu nie musimy znać kwoty, którą Ania miała.
Gdyby kupiła 10 puszek, brakowałoby jej 11 zł. Kupując 6 puszek, zostało jej 3,40 zł.
Różnica w liczbie puszek: $10 - 6 = \textcolor{#E0453A}{4}$ puszki.
Różnica w pieniądzach: od „zostało 3,40 zł” do „brakuje 11 zł” to $3{,}40 + 11 = \textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł.
Zatem $\textcolor{#E0453A}{4}$ puszki kosztują $\textcolor{#16A06A}{14{,}40}$ zł, czyli jedna: $\textcolor{#16A06A}{14{,}40} : \textcolor{#E0453A}{4} = 3{,}60$ zł.
Odpowiedź: jedna puszka karmy kosztuje 3,60 zł.
Sprawdzenie: Ania miała $6 \cdot 3{,}60 + 3{,}40 = 25$ zł. Na 10 puszek trzeba $36$ zł, więc brakowałoby jej $11$ zł ✓

💡 Wskazówka: Klasyczny schemat „za mało / za dużo”: dodaj brakującą kwotę do reszty, żeby otrzymać wartość różnicy w sztukach. Nie trzeba wtedy dwóch niewiadomych.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie $11 - 3{,}40$ zamiast dodania. Brakujące 11 zł i pozostałe 3,40 zł są po przeciwnych stronach — dlatego się sumują.

Zadanie 4 (czerwiec 2019)2 pktśrednie

Pan Jan wybrał z bankomatu 2900 zł. Na tę kwotę składały się łącznie 22 banknoty 200-złotowe i 100-złotowe. Ile banknotów 100-złotowych wybrał pan Jan? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 15 banknotów

Oznaczamy przez $\textcolor{#16A06A}{d}$ liczbę banknotów dwustuzłotowych. Skoro wszystkich jest 22, setek jest $\textcolor{#E0453A}{22 - d}$ .
Zapisujemy wartość: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 100\textcolor{#E0453A}{(22 - d)} = 2900$ .
Opuszczamy nawias: $200\textcolor{#16A06A}{d} + 2200 - 100\textcolor{#16A06A}{d} = 2900$ .
$100\textcolor{#16A06A}{d} = 700$ , więc $\textcolor{#16A06A}{d} = 7$ banknotów po 200 zł.
Setek jest zatem $\textcolor{#E0453A}{22 - 7} = 15$ .
Odpowiedź: pan Jan wybrał 15 banknotów 100-złotowych.
Sprawdzenie: $7 \cdot 200 + 15 \cdot 100 = 1400 + 1500 = 2900$ zł ✓

💡 Wskazówka: Sposób „na wszystkie setki”: gdyby wszystkie 22 banknoty były po 100 zł, dałyby 2200 zł. Brakuje 700 zł, a każda zamiana setki na dwusetkę dodaje 100 zł — stąd 7 dwusetek.

⚠ Najczęstszy błąd: podanie liczby banknotów 200-złotowych (7) zamiast setek. Warto podkreślić w treści, o które banknoty pyta zadanie.

Zadanie 5 (czerwiec 2019)3 pkttrudniejsze

Bilet normalny na koncert kosztuje 45 zł, a cena biletu ulgowego stanowi

\dfrac{5}{9}

ceny biletu normalnego. Janek zakupił pięć razy więcej biletów normalnych niż ulgowych. Za wszystkie bilety zapłacił 500 zł. Ile biletów każdego rodzaju zakupił Janek? Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 2 ulgowe i 10 normalnych

Krok 1 — cena biletu ulgowego: $\dfrac{5}{9} \cdot 45 = \textcolor{#E0453A}{25}$ zł.
Krok 2 — oznaczenia. Niech $\textcolor{#16A06A}{u}$ to liczba biletów ulgowych (tych jest mniej). Normalnych jest pięć razy więcej: $\textcolor{#E0453A}{5u}$ .
Krok 3 — równanie na koszt: $\textcolor{#E0453A}{25}\textcolor{#16A06A}{u} + 45 \cdot \textcolor{#E0453A}{5\textcolor{#16A06A}{u}} = 500$ .
$25\textcolor{#16A06A}{u} + 225\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , czyli $250\textcolor{#16A06A}{u} = 500$ , więc $\textcolor{#16A06A}{u} = 2$ .
Biletów normalnych: $\textcolor{#E0453A}{5} \cdot 2 = 10$ .
Odpowiedź: Janek kupił 2 bilety ulgowe i 10 normalnych.
Sprawdzenie: $2 \cdot 25 + 10 \cdot 45 = 50 + 450 = 500$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zawsze oznaczaj literą tę wielkość, której jest mniej — wtedy drugą zapisujesz przez mnożenie. Gdybyśmy oznaczyli bilety normalne, ulgowe wyszłyby jako $\tfrac{n}{5}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie kroku z ceną ulgową i podstawienie $\tfrac59$ do równania kosztów. Najpierw policz konkretną cenę (25 zł), dopiero potem układaj równanie.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. B

2. 200 banknotów

3. 3,60 zł

4. 15 banknotów

5. 2 ulgowe i 10 normalnych

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty oraz z arkuszy egzaminu gimnazjalnego (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak odejmować sposobem pisemnym?

Zapisz liczby jedna pod drugą tak, żeby jedności stały pod jednościami, a odjemna była na górze. Odejmuj kolumnami od prawej strony. Gdy górna cyfra jest mniejsza od dolnej, pożycz jedną jednostkę z kolumny po lewej — zamienia się ona na dziesięć jednostek niższego rzędu, a cyfra, z której pożyczasz, maleje o jeden.

Na czym polega pożyczanie?

Na przepakowaniu liczby, nie na jej zmianie. W $632$ jedną dziesiątkę rozmieniamy na $10$ jedności: zostaje $6$ setek, $2$ dziesiątki i $12$ jedności, a to nadal jest $632$ . Dlatego po pożyczce trzeba koniecznie zmniejszyć sąsiednią cyfrę — inaczej liczba naprawdę by wzrosła.

Jak odjąć od liczby z zerami, na przykład

1000 - 247

Pożyczka wędruje w lewo aż do pierwszej niezerowej cyfry, a mijane zera zamieniają się w dziewiątki. Z $1000$ robi się $9$ setek, $9$ dziesiątek i $10$ jedności — razem nadal $1000$ . Szybszy skrót dla okrągłych liczb: policz $999 - 247 = 752$ i dodaj $1$ , co daje $753$ .

Jak sprawdzić, czy odejmowanie się zgadza?

Dodaj różnicę do odjemnika — musi wyjść odjemna. Dla $632 - 178 = 454$ sprawdzasz $454 + 178 = 632$ . Druga, szybsza kontrola to szacowanie na zaokrąglonych liczbach, a trzecia najprostsza: różnica musi być mniejsza od odjemnej, o ile odejmujesz liczbę większą od zera (przy odjęciu zera różnica jest jej równa).

Co to jest odjemna i odjemnik?

Odjemna to liczba, od której odejmujemy — stoi na górze. Odjemnik to liczba, którą odejmujemy — stoi pod nią. Wynik nazywa się różnicą. W działaniu $847 - 293 = 554$ odjemną jest $847$ , odjemnikiem $293$ , a różnicą $554$ .

Czy w odejmowaniu można zamienić liczby miejscami?

Nie. Przy dodawaniu wolno, bo $3 + 5$ i $5 + 3$ dają to samo. Przy odejmowaniu kolejność jest ustalona: $8 - 3$ to $5$ , a $3 - 8$ dałoby liczbę ujemną, której w klasie czwartej jeszcze nie ma. Odjemna musi być większa albo równa odjemnikowi.

Czytaj dalej

Liczby i działaniaHub działu: cztery działania pisemne i kolejność ich wykonywania Mnożenie sposobem pisemnymKolejny algorytm w słupku — z przenoszeniem zamiast pożyczania Dzielenie pisemneNajdłuższy z czterech algorytmów, oparty na odejmowaniu Kolejność wykonywania działańCo liczyć najpierw, gdy działań jest kilka Odejmowanie liczb z przecinkiemTen sam słupek, tylko z przecinkiem pod przecinkiem

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-08-01. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.