Strona główna › Ułamki › Mnożenie ułamków zwykłych

Mnożenie ułamków zwykłych

Q: Jak mnożyć ułamek przez liczbę naturalną?

Zapisz liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku 1, na przykład 12 = 12/1, i mnóż normalnie. W skrócie sprowadza się to do pomnożenia licznika przez tę liczbę, przy niezmienionym mianowniku: 2/3 · 12 = 24/3 = 8. Warto skrócić przed mnożeniem, jeśli się da.

Mnożenie ułamków jest łatwiejsze od dodawania — i to jedyny raz, kiedy mogę tak napisać o czymś w tym dziale. Nie trzeba wspólnego mianownika, nie trzeba niczego rozszerzać. Mnoży się licznik przez licznik i mianownik przez mianownik. Cała trudność polega na tym, żeby nie wykonać tu odruchowo tego, czego wymagało dodawanie.

Dział: UłamkiPoziom: klasy 5–6Zadań z E8: 7

Przejdź od razu do zadań (7) ↓

1Reguła: mnożymy wprost, bez wspólnego mianownika

Przy dodawaniu mianowniki musiały być równe, bo dodawaliśmy kawałki tej samej wielkości. Przy mnożeniu nie ma czego zliczać — bierzemy część części — więc żaden wspólny mianownik nie jest potrzebny.

Cała reguła

\frac{\textcolor{#E0453A}{3}}{\textcolor{#16A06A}{4}} \cdot \frac{\textcolor{#2F80D8}{2}}{\textcolor{#16A06A}{5}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{3} \cdot \textcolor{#2F80D8}{2}}{\textcolor{#16A06A}{4} \cdot \textcolor{#16A06A}{5}} = \frac{6}{20} = \frac{3}{10}

Czerwony z niebieskim na górze, zielony z zielonym na dole. Ostatni krok to skrócenie — wynik zawsze doprowadzamy do postaci nieskracalnej.

Reguła działa tak samo niezależnie od tego, czy mianowniki są równe, czy różne. To ważne, bo uczeń, który właśnie przerobił dodawanie, odruchowo szuka tu wspólnego mianownika. Szukanie nie da błędnego wyniku — da niepotrzebną robotę i większe liczby, w których łatwiej o pomyłkę.

2Co właściwie znaczy „ułamek razy ułamek”

Słowo „razy” przy ułamkach znaczy „z”. Zapis $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3}$ czytamy jako „połowa z jednej trzeciej” — i wtedy wynik przestaje dziwić.

Weź kartkę. Podziel ją na trzy równe pasy i weź jeden — to $\frac{1}{3}$ . Teraz przetnij ten pas na pół i weź połowę. Ile to całej kartki? Jedna szósta, bo gdybyś pociął tak samo wszystkie trzy pasy, miałbyś sześć kawałków.

\frac{\textcolor{#E0453A}{1}}{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \frac{\textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{\textcolor{#E0453A}{1} \cdot \textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{2} \cdot \textcolor{#16A06A}{3}} = \frac{1}{6}

Stąd bierze się rzecz, która uczniom najbardziej zgrzyta: mnożenie nie musi powiększać. Przy liczbach naturalnych mnożenie zawsze dawało więcej, tu jest inaczej — jeśli mnożysz przez ułamek mniejszy od jedynki, wynik maleje. Bo „połowa z czegoś” jest mniejsza od tego czegoś.

mnożenie przez ułamek mniejszy od $1$ — wynik mniejszy od pierwszego czynnika,
mnożenie przez $1$ (czyli $\frac{5}{5}$ , $\frac{8}{8}$ …) — wynik bez zmian; na tym stoi rozszerzanie ułamków,
mnożenie przez ułamek większy od $1$ — wynik większy.

Ta obserwacja jest też darmową kontrolą wyniku. Jeśli mnożysz przez $\frac{2}{3}$ , a wynik wyszedł większy od punktu wyjścia — gdzieś jest błąd.

3Skracanie przed mnożeniem

Można pomnożyć wszystko, a potem skrócić. Można też skrócić najpierw — i prawie zawsze się to opłaca, bo liczby zostają małe.

Kluczowa zasada: skracamy licznik z mianownikiem, i to dowolnym — także tym z drugiego ułamka. Nigdy licznik z licznikiem ani mianownik z mianownikiem.

\frac{3}{\textcolor{#16A06A}{4}} \cdot \frac{\textcolor{#E0453A}{2}}{5} \quad \longrightarrow \quad \frac{3}{\textcolor{#16A06A}{2}} \cdot \frac{\textcolor{#E0453A}{1}}{5} = \frac{3}{10}

Tu skróciliśmy dwójkę z licznika drugiego ułamka z czwórką z mianownika pierwszego — obie podzielone przez $2$ . Wynik ten sam co przy mnożeniu wprost, ale bez liczby $20$ po drodze.

Dlaczego wolno skracać „na krzyż”? Bo mnożenie ułamków i tak sprowadza wszystko do jednego ułamka: $\frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 5}$ . Skoro dwójka i czwórka spotkają się w tym samym ułamku — jedna w liczniku, druga w mianowniku — to można je skrócić od razu, zamiast czekać.

4Mnożenie przez liczbę naturalną

Każdą liczbę naturalną można zapisać jako ułamek o mianowniku $1$ : $12 = \frac{12}{1}$ . Po takim zapisie reguła jest ta sama co zawsze.

\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{2}{3} \cdot \frac{12}{1} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 1} = \frac{24}{3} = 8

W praktyce robi się to szybciej: liczbę naturalną mnożymy przez licznik, mianownik zostaje. Warto jednak raz zobaczyć, skąd ten skrót się bierze, bo inaczej łatwo pomnożyć przez mianownik.

To działanie ma też drugą nazwę — „ $\frac{2}{3}$ z $12$ ”. Kto pamięta ze strony o ułamkach zwykłych, że kreska ułamkowa to dzielenie, może policzyć wygodniej: $12 : 3 \cdot 2 = 8$ . Ten sam wynik, mniejsze liczby.

5Liczby mieszane — najpierw zamiana

Przy liczbach mieszanych jest jedna droga: zamienić je na ułamki niewłaściwe i dopiero mnożyć. Nie da się pomnożyć osobno całości i osobno ułamków — i to jest najdroższy błąd w tym temacie.

1\tfrac{1}{2} \cdot 2\tfrac{2}{3} = \frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4

Dlaczego osobno nie wolno? Bo $1\frac{1}{2}$ to $1 + \frac{1}{2}$ , a mnożenie dwóch sum wymaga pomnożenia każdego składnika przez każdy — tak jak przy wymnażaniu nawiasów w klasie siódmej. Pominięcie części iloczynów daje wynik za mały.

Przy dodawaniu ułamków sytuacja jest odwrotna: tam całości i ułamki można potraktować osobno, bo dodawanie na to pozwala. Warto mieć obie reguły obok siebie, bo mylą się właśnie przez to podobieństwo zapisu:

działanie	liczby mieszane	wspólny mianownik
dodawanie i odejmowanie	można osobno całości i ułamki	konieczny
mnożenie	trzeba zamienić na niewłaściwe	niepotrzebny

6Przykłady krok po kroku

Trzy przykłady: mnożenie ze skracaniem, mnożenie przez liczbę naturalną i liczby mieszane.

Przykład 1 Mnożenie ze skracaniem przed rachunkiem

Oblicz $\frac{4}{9} \cdot \frac{3}{8}$ .

Zanim pomnożę, szukam pary licznik–mianownik do skrócenia. Czwórka (licznik pierwszego) i ósemka (mianownik drugiego) dzielą się przez $4$ : zostaje $1$ i $2$ .
Trójka (licznik drugiego) i dziewiątka (mianownik pierwszego) dzielą się przez $3$ : zostaje $1$ i $3$ .
Po skróceniu zostało $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .
Mnożę: $\frac{\textcolor{#E0453A}{1} \cdot \textcolor{#2F80D8}{1}}{\textcolor{#16A06A}{3} \cdot \textcolor{#16A06A}{2}} = \frac{1}{6}$ .
Sprawdzenie bez skracania: $\frac{4 \cdot 3}{9 \cdot 8} = \frac{12}{72} = \frac{1}{6}$ ✓ — ten sam wynik, ale przez liczbę $72$ .
Kontrola sensu: mnożę przez $\frac{3}{8}$ , czyli przez mniej niż połowę, więc wynik musi być mniejszy od $\frac{4}{9}$ . Jedna szósta jest mniejsza ✓

Odpowiedź: $\frac{1}{6}$

Skracanie przed mnożeniem to nie ozdobnik — różnica między liczeniem na $\frac{12}{72}$ a na $\frac{1}{6}$ to różnica między szukaniem największego wspólnego dzielnika a jego brakiem.

Przykład 2 Ułamek razy liczba naturalna

W klasie jest $28$ uczniów. $\frac{3}{7}$ z nich pojechało na wycieczkę. Ilu uczniów pojechało?

„ $\frac{3}{7}$ z $28$ ” to mnożenie: $\frac{3}{7} \cdot 28$ .
Zapisuję liczbę naturalną jako ułamek: $28 = \frac{28}{1}$ .
Skracam przed mnożeniem: $28$ i $7$ dzielą się przez $7$ , zostaje $4$ i $1$ .
Mnożę to, co zostało: $\frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} = \frac{12}{1} = 12$ .
Sprawdzenie drugą drogą: $28 : 7 = 4$ , potem $4 \cdot 3 = 12$ ✓
Kontrola sensu: $\frac{3}{7}$ to trochę mniej niż połowa, a $12$ to trochę mniej niż połowa z $28$ ✓

Odpowiedź: Pojechało $12$ uczniów.

Wynik musi być liczbą całkowitą — uczniów nie da się podzielić. Gdyby wyszedł ułamek, znaczyłoby to, że dane w zadaniu nie pasują albo gdzieś jest błąd rachunkowy.

Przykład 3 Mnożenie liczb mieszanych

Prostokątna grządka ma wymiary $2\frac{1}{2}$ m na $1\frac{3}{5}$ m. Jakie ma pole?

Pole prostokąta to iloczyn boków, więc liczę $2\frac{1}{2} \cdot 1\frac{3}{5}$ .
Zamieniam obie liczby mieszane na ułamki niewłaściwe: $2\frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ , bo $2 \cdot 2 + 1 = 5$ , oraz $1\frac{3}{5} = \frac{8}{5}$ , bo $1 \cdot 5 + 3 = 8$ .
Skracam na krzyż: piątka z licznika pierwszego i piątka z mianownika drugiego dzielą się przez $5$ ; dwójka z mianownika pierwszego i ósemka z licznika drugiego — przez $2$ .
Zostaje $\frac{1}{1} \cdot \frac{4}{1} = 4$ .
Sprawdzenie bez skracania: $\frac{5 \cdot 8}{2 \cdot 5} = \frac{40}{10} = 4$ ✓
Kontrola sensu: boki to około $2{,}5$ m i $1{,}6$ m, więc pole powinno wynieść około $4$ m² ✓

Odpowiedź: Pole grządki to $4$ m².

Gdyby ktoś pomnożył osobno całości ( $2 \cdot 1 = 2$ ) i osobno ułamki ( $\frac{1}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{3}{10}$ ), dostałby $2\frac{3}{10}$ — czyli prawie o połowę za mało. To najdroższy błąd w tym temacie.

7Najczęstsze błędy

Cztery błędy, z których pierwszy bierze się wprost z dobrze opanowanego dodawania.

Szukanie wspólnego mianownika przy mnożeniu

Skąd się bierze: Uczeń świeżo po dodawaniu sprowadza $\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{4}$ do dwunastu i mnoży $\frac{8}{12} \cdot \frac{3}{12}$ . Wychodzi $\frac{24}{144} = \frac{1}{6}$ — czyli poprawnie, ale po dwóch niepotrzebnych krokach i z liczbą $144$ po drodze. Częściej jednak kończy się to pomyłką albo zapisem $\textcolor{#9b1c14}{\frac{8}{12} \cdot \frac{3}{12} = \frac{24}{12}}$ , gdzie mianownik nagle przestaje być mnożony.

Jak zrobić dobrze: Zapamiętaj różnicę zamiast dwóch reguł: wspólny mianownik jest potrzebny tylko przy dodawaniu i odejmowaniu. Przy mnożeniu mnożysz to, co widzisz — góra przez górę, dół przez dół.

Mnożenie całości osobno przy liczbach mieszanych

Skąd się bierze: Zapis $\textcolor{#9b1c14}{2\tfrac{1}{2} \cdot 1\tfrac{3}{5} = 2\tfrac{3}{10}}$ powstaje przez pomnożenie całości przez całości i ułamków przez ułamki. Wygląda symetrycznie i przy dodawaniu byłoby dobre — ale mnożenie sum wymaga pomnożenia każdego składnika przez każdy, więc dwa iloczyny po prostu wypadają. Poprawny wynik to $4$ .

Jak zrobić dobrze: Przy mnożeniu zawsze zamieniaj liczby mieszane na ułamki niewłaściwe. To jeden dodatkowy krok, który usuwa całą kategorię błędów.

Skracanie licznika z licznikiem

Skąd się bierze: Skoro wolno skracać „na krzyż”, uczeń uogólnia to na dowolną parę liczb i skraca np. $\textcolor{#9b1c14}{\frac{4}{9} \cdot \frac{8}{3} = \frac{1}{9} \cdot \frac{2}{3}}$ , dzieląc oba liczniki przez $4$ . To zmienia wartość iloczynu — i to mocniej, niż się wydaje: skoro obie liczby z góry zmalały czterokrotnie, cały iloczyn zmalał szesnastokrotnie. Zamiast $\frac{32}{27}$ wychodzi $\frac{2}{27}$ .

Jak zrobić dobrze: Skracanie to zawsze dzielenie licznika i mianownika przez tę samą liczbę — jednego z góry, drugiego z dołu. Nie ma znaczenia, z którego ułamka pochodzą, ale muszą być po przeciwnych stronach kreski.

Założenie, że mnożenie musi powiększać

Skąd się bierze: Cztery lata liczb naturalnych uczą, że po mnożeniu jest więcej. Gdy wychodzi mniej, uczeń szuka błędu w poprawnym rachunku albo „poprawia” wynik. Tymczasem $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$ jest mniejsze od obu czynników — i tak ma być.

Jak zrobić dobrze: Czytaj mnożenie przez ułamek jako „część z czegoś”. Połowa z jednej trzeciej musi być mniejsza od jednej trzeciej. Użyj tego jako kontroli: mnożenie przez mniej niż $1$ zmniejsza, przez więcej niż $1$ zwiększa, przez $1$ nie zmienia nic.

Zadania z egzaminu ósmoklasisty — działania na ułamkach

Prawdziwe zadania z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (CKE) — przy każdym podano sesję egzaminacyjną. Pod każdym zadaniem znajdziesz rozwiązanie krok po kroku wraz ze wskazówką i typowym błędem.

Kolor pokazuje, co w co się zamienia. Przy sprowadzaniu do wspólnego mianownika widać, przez ile rozszerzamy pierwszy ułamek, a przez ile drugi. Przy dzieleniu przez ułamek kolorem zaznaczamy ten, który się odwraca. W zwykłych rachunkach liczby zostają czarne.

Sprawdź się bez zaglądania do odpowiedzi. Wylosuję 5 zadań zamkniętych z tego zestawu — klucz i rozwiązania schowam do czasu sprawdzenia. Pula liczy 5 zadań, więc za każdym razem dostaniesz inny zestaw.

Zadania zamknięte

Zadanie 1 (czerwiec 2025)1 pktśrednie

Jurek przejechał rowerem 12 km, co stanowiło

\dfrac{2}{3}

długości zaplanowanej trasy. Dokończ zdanie.
Połowa zaplanowanej trasy ma długość

A. $6$ km
B. $8$ km
C. $9$ km
D. $10$ km

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Uwaga na pytanie — zadanie pyta o połowę trasy, a nie o całą trasę. Najpierw jednak musimy znaleźć całość.
Najprościej „przez jedną trzecią”: skoro $\textcolor{#16A06A}{\tfrac{2}{3}}$ trasy to 12 km, to $\tfrac13$ trasy to $12 : 2 = 6$ km.
Cała trasa ( $\tfrac33$ ) to $3 \cdot 6 = 18$ km.
Połowa trasy: $18 : 2 = 9$ km.
Odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Metoda „na jedną część” działa zawsze: podziel przez licznik, pomnóż przez mianownik. Tu $12 : 2 \cdot 3 = 18$ .

⚠ Najczęstszy błąd: zatrzymanie się na całej trasie (18 km) albo podanie $\tfrac13$ trasy (6 km — kusząca odpowiedź A). Zawsze wróć na koniec do pytania.

Zadanie 2 (maj 2024)1 pktśrednie

Dane są dwie liczby

x

y

\;x = \dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right)\;

oraz

\;y = \dfrac{4}{5} + \left(-\dfrac{4}{3}\right)

. Uzupełnij zdania.

Liczba

y

jest liczbą AB.

A. ujemną
B. dodatnią

Liczba

x

jest CD od liczby

y

C. mniejsza
D. większa

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A, C

Liczba $x$ — mnożymy ułamki: licznik razy licznik, mianownik razy mianownik. $\dfrac{4}{5} \cdot \left(-\dfrac{4}{3}\right) = -\dfrac{16}{15}$ .
Liczba $y$ — dodajemy, więc potrzebny wspólny mianownik 15: $\textcolor{#16A06A}{\dfrac{4}{5}} = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}}$ (razy 3), a $\textcolor{#E0453A}{\dfrac{4}{3}} = \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}}$ (razy 5).
$y = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{12}{15}} - \textcolor{#E0453A}{\dfrac{20}{15}} = -\dfrac{8}{15}$ — liczba ujemna, odpowiedź A.
Porównujemy $x = -\dfrac{16}{15}$ z $y = -\dfrac{8}{15}$ . Mianowniki są takie same, więc patrzymy na liczniki.
Przy liczbach ujemnych większy licznik oznacza mniejszą liczbę: $-\dfrac{16}{15} < -\dfrac{8}{15}$ .
Zatem $x$ jest mniejsza od $y$ — odpowiedź C. Razem: A, C.

💡 Wskazówka: Przydatna obserwacja: mnożąc ułamek przez liczbę większą od 1 (a $\tfrac43 > 1$ ), oddalamy się od zera. Dlatego $x$ leży dalej w lewo niż $y$ .

⚠ Najczęstszy błąd: porównywanie liczb ujemnych „jak dodatnich” — czyli uznanie, że skoro $16 > 8$ , to $-\tfrac{16}{15} > -\tfrac{8}{15}$ . Na osi liczbowej jest odwrotnie.

Zadanie 3 (czerwiec 2021)1 pkttrudniejsze

Dane są cztery wyrażenia:
I.

-16{,}55 + 6{,}05

· II.

-5\dfrac{3}{4} - 4{,}75

· III.

\dfrac{2}{3} \cdot \left(-15\dfrac{1}{4}\right)

· IV.

(-1{,}5) : \dfrac{1}{7}

Wartość którego wyrażenia nie jest równa

\left(-10\dfrac{1}{2}\right)

A. I
B. II
C. III
D. IV

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: C

Szukamy wartości $-10\tfrac12 = -10{,}5$ . Sprawdzamy po kolei.
I. $-16{,}55 + 6{,}05 = -10{,}5$ ✓
II. $-5\tfrac34 = -5{,}75$ , więc $-5{,}75 - 4{,}75 = -10{,}5$ ✓
III. $-15\tfrac14 = -\dfrac{61}{4}$ , zatem $\dfrac{2}{3} \cdot \left(-\dfrac{61}{4}\right) = -\dfrac{122}{12} = -\dfrac{61}{6} = -10\dfrac{1}{6}$ ✗
IV. Dzielenie przez ułamek to mnożenie przez jego odwrotność: $(-1{,}5) : \textcolor{#16A06A}{\dfrac{1}{7}} = (-1{,}5) \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = -10{,}5$ ✓
Jedyne wyrażenie o innej wartości to III — odpowiedź C.

💡 Wskazówka: Zanim policzysz III dokładnie, oszacuj: $\tfrac23$ z 15 to 10, a z $15\tfrac14$ trochę więcej — czyli około $10{,}17$ , nie $10{,}5$ . Szacowanie oszczędza czas.

⚠ Uwaga na wyrażenie IV: dzielenie przez $\tfrac17$ zwiększa liczbę siedmiokrotnie. Częsty błąd to potraktowanie tego jak dzielenia przez 7 i otrzymanie $-0{,}214$ .

Zadanie 4 (marzec 2021)1 pktśrednie

Dane są trzy wyrażenia:
I.

6 \cdot 1\dfrac{2}{3}

· II.

6 : 1{,}2

· III.

7{,}25 - 2\dfrac{1}{4}

Dokończ zdanie.
Liczbami całkowitymi są wartości wyrażeń

A. I, II i III.
B. Tylko I i II.
C. Tylko II i III.
D. Tylko I i III.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: A

I. Zamieniamy liczbę mieszaną na ułamek niewłaściwy: $1\dfrac23 = \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}}$ .
$6 \cdot \textcolor{#16A06A}{\dfrac{5}{3}} = \dfrac{30}{3} = 10$ — liczba całkowita ✓
II. $6 : 1{,}2$ — mnożymy obie liczby przez 10, żeby pozbyć się przecinka: $60 : 12 = 5$ — całkowita ✓
III. $2\dfrac14 = 2{,}25$ , więc $7{,}25 - 2{,}25 = 5$ — całkowita ✓
Wszystkie trzy dają liczby całkowite — odpowiedź A.

💡 Wskazówka: Przy dzieleniu przez liczbę z przecinkiem pomnóż obie liczby przez 10 (albo 100). Wynik dzielenia się nie zmieni, a rachunek robi się dużo prostszy.

⚠ Częsty błąd w I: pomnożenie 6 tylko przez część całkowitą ( $6 \cdot 1 = 6$ ) i osobne dodanie $\tfrac23$ . Liczbę mieszaną trzeba najpierw zamienić na ułamek niewłaściwy.

Zadanie 5 (kwiecień 2020)1 pktśrednie

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia

\dfrac{5}{7} - \dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right)

jest równa

A. $-\dfrac{15}{14}$
B. $-\dfrac{9}{14}$
C. $\dfrac{2}{7}$
D. $\dfrac{8}{7}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: D

Kolejność działań: najpierw mnożenie, dopiero potem odejmowanie.
$\dfrac{2}{7} \cdot \left(-\dfrac{3}{2}\right) = -\dfrac{6}{14} = -\dfrac{3}{7}$ (skracamy przez 2).
Wstawiamy do wyrażenia: $\dfrac{5}{7} - \left(-\dfrac{3}{7}\right)$ .
Odejmowanie liczby ujemnej to dodawanie: $\dfrac{5}{7} + \dfrac{3}{7} = \dfrac{8}{7}$ .
Odpowiedź D.

💡 Wskazówka: Skracaj przed mnożeniem: w $\tfrac{2}{7} \cdot \tfrac{3}{2}$ dwójki się skracają, zostaje od razu $\tfrac37$ — bez liczenia $\tfrac{6}{14}$ .

⚠ Najczęstszy błąd: pominięcie podwójnego minusa i wykonanie odejmowania ( $\tfrac57 - \tfrac37 = \tfrac27$ — kusząca odpowiedź C). „Minus razy minus daje plus” działa też przy odejmowaniu liczby ujemnej.

Zadanie 6 (marzec 2020)1 pktłatwe

Dokończ zdanie.
Wartość wyrażenia

\dfrac{4}{3} \cdot 3 - 2^3

jest równa

A. $-\dfrac{14}{3}$
B. $-4$
C. $-7$
D. $-\dfrac{8}{3}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najpierw potęga: $2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8$ .
Potem mnożenie: $\dfrac{4}{3} \cdot 3 = \dfrac{12}{3} = 4$ (trójki się skracają).
Na końcu odejmowanie: $4 - 8 = -4$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Mnożenie ułamka przez jego mianownik zawsze „zjada” mianownik — zostaje sam licznik. Stąd $\tfrac43 \cdot 3 = 4$ bez żadnych rachunków.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $2^3$ jako $2 \cdot 3 = 6$ (wyszłoby $-2$ ) albo pomnożenie tylko licznika i mianownika przez 3.

Zadania otwarte

Zadanie 7 (czerwiec 2025)3 pktśrednie

Kamil otrzymał 300 złotych na zakup koszulki i torby sportowej. Na koszulkę wydał

\dfrac{1}{5}

tej kwoty. Za torbę sportową zapłacił

\dfrac{3}{5}

kwoty, która została mu po zakupie koszulki. Oblicz, ile złotych zostało Kamilowi po zakupach. Zapisz obliczenia.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: 96 zł

Koszulka — $\dfrac{1}{5}$ z 300 zł: $300 : 5 = 60$ zł.
Po tym zakupie zostało mu: $300 - 60 = \textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
Torba — uwaga na kluczowe słowa: $\dfrac{3}{5}$ liczymy nie z 300 zł, tylko z tego, co zostało, czyli z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł.
$\dfrac{3}{5}$ z $\textcolor{#16A06A}{240}$ zł: $240 : 5 = 48$ , więc $3 \cdot 48 = 144$ zł.
Zostało: $\textcolor{#16A06A}{240} - 144 = 96$ zł.
Odpowiedź: Kamilowi zostało 96 zł.
Szybsza droga: skoro na torbę poszło $\tfrac35$ reszty, to zostało mu $\tfrac25$ reszty, czyli $\tfrac25 \cdot \textcolor{#16A06A}{240} = 96$ zł ✓

💡 Wskazówka: Zwróć uwagę na to, od czego liczymy ułamek. Tutaj podstawa zmienia się w trakcie zadania: najpierw 300 zł, potem 240 zł.

⚠ Najczęstszy błąd: policzenie $\tfrac35$ z 300 zł (czyli 180 zł) zamiast z reszty. Wtedy wyszłoby, że Kamilowi zostało 60 zł — i całe zadanie na zero punktów.

Odpowiedzi

Sam wynik do szybkiego sprawdzenia. Pełne rozwiązanie — z drogą dojścia, wskazówką i typowym błędem — rozwija się pod każdym zadaniem, więc nie trzeba wracać na górę.

1. C	2. A, C	3. C	4. A	5. D	6. B
7. 96 zł

Treści zadań pochodzą z arkuszy egzaminu ósmoklasisty (Centralna Komisja Egzaminacyjna, cke.gov.pl) — pochodzenie każdego zadania podano przy jego numerze. Rozwiązania, wskazówki i omówienia błędów są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.

8Pytania i odpowiedzi

Jak mnożyć ułamki zwykłe?

Mnożymy licznik przez licznik i mianownik przez mianownik, a wynik skracamy. Dla $\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{5}$ wychodzi $\frac{6}{20}$ , czyli po skróceniu $\frac{3}{10}$ . Wspólny mianownik nie jest do tego potrzebny — jest wymagany tylko przy dodawaniu i odejmowaniu.

Czy przy mnożeniu trzeba sprowadzać do wspólnego mianownika?

Nie. To najczęstsze nieporozumienie w tym temacie, przenoszone wprost z dodawania. Przy mnożeniu mianowniki po prostu się mnożą, więc mogą być zupełnie różne. Sprowadzanie do wspólnego mianownika nie zepsuje wyniku, ale doda dwa niepotrzebne kroki i powiększy liczby.

Jak mnożyć ułamek przez liczbę naturalną?

Zapisz liczbę naturalną jako ułamek o mianowniku $1$ , na przykład $12 = \frac{12}{1}$ , i mnóż normalnie. W skrócie sprowadza się to do pomnożenia licznika przez tę liczbę, przy niezmienionym mianowniku: $\frac{2}{3} \cdot 12 = \frac{24}{3} = 8$ . Warto skrócić przed mnożeniem, jeśli się da.

Jak mnożyć ułamki z całościami?

Najpierw zamień liczby mieszane na ułamki niewłaściwe, dopiero potem mnóż. Osobne mnożenie całości i osobne ułamków daje wynik za mały, bo pomija dwa z czterech iloczynów. Dla $1\frac{1}{2} \cdot 2\frac{2}{3}$ liczymy $\frac{3}{2} \cdot \frac{8}{3} = \frac{24}{6} = 4$ .

Kiedy skracać — przed mnożeniem czy po?

Obie drogi dają ten sam wynik, ale skracanie przed mnożeniem jest wygodniejsze, bo liczby zostają małe i nie trzeba potem szukać wspólnego dzielnika w dużym ułamku. Pamiętaj tylko, że skracamy licznik z mianownikiem — mogą pochodzić z różnych ułamków, ale muszą być po przeciwnych stronach kreski.

Dlaczego po pomnożeniu wyszło mniej, niż było?

Bo mnożyłeś przez ułamek mniejszy od jedynki, a to znaczy „weź część z czegoś”. Połowa z jednej trzeciej to jedna szósta — mniej niż jedna trzecia. Mnożenie powiększa tylko wtedy, gdy drugi czynnik jest większy od $1$ ; przy dokładnie $1$ nic się nie zmienia.

Czytaj dalej

Działania na ułamkachHub działu: dodawanie, dzielenie, skracanie i reszta Ułamki zwykłe od podstawLicznik, mianownik, ułamki właściwe i liczby mieszane Dodawanie i odejmowanie ułamkówTu wspólny mianownik jest konieczny — druga reguła obok tej Ułamki na egzaminie ósmoklasisty24 zadania z arkuszy CKE z rozwiązaniami krok po kroku

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-07-31. Zadania egzaminacyjne pochodzą z arkuszy CKE (cke.gov.pl); teoria, przykłady i rozwiązania są autorstwa redakcji „Nie każ mu liczyć”.