Strona główna › Geometria przestrzenna › Graniastosłupy › Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

Graniastosłup prawidłowy czworokątny to bryła, której podstawami są dwa przystające kwadraty, a cztery ściany boczne to prostokąty. Ma $6$ ścian, $12$ krawędzi i $8$ wierzchołków — to po prostu prostopadłościan o kwadratowej podstawie, na przykład kostka masła albo wysoka paczka herbaty. Klucz do wszystkich wzorów: przekątna kwadratu ma długość $a\sqrt{2}$ .

Dział: Geometria przestrzennaPoziom: klasy 7–8 i liceum

Krótko: $P_p = a^2$ , $P_b = 4aH$ , $P_c = 2a^2 + 4aH$ , $V = a^2 \cdot H$ . Przekątna podstawy $a\sqrt{2}$ , przekątna bryły $d = \sqrt{2a^2 + H^2}$ . Przykład: $a = 3$ , $H = 5$ daje $V = 45$ i $P_c = 78$ .

Kalkulator graniastosłupa prawidłowego czworokątnego

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

Prawidłowy oznacza, że graniastosłup jest prosty, a w podstawie ma wielokąt foremny — tu kwadrat o czterech równych bokach i kątach prostych. Szerzej: graniastosłup prawidłowy.

element	ile	jakie
ściany	$6$	$2$ podstawy (kwadraty $a \times a$ ) i $4$ ściany boczne (prostokąty $a \times H$ )
krawędzie	$12$	$8$ krawędzi podstaw o długości $a$ i $4$ krawędzie boczne o długości $H$
wierzchołki	$8$	po $4$ w każdej podstawie

Suma długości krawędzi to $8a + 4H$ . Gdy $H = a$ , wszystkie ściany są kwadratami i bryła jest sześcianem; w każdym innym przypadku to prostopadłościan o kwadratowej podstawie.

Graniastosłup trójkątny, czworokątny i sześciokątny z liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi: dla podstawy o n bokach ściany n + 2, wierzchołki 2n, krawędzie 3n; kontrola Eulera — Ściany, krawędzie i wierzchołki — graniastosłup czworokątny ma ich 6, 12 i 8

2Podstawa — kwadrat

Podstawą jest kwadrat o boku $a$ . Wszystko, czego potrzeba do wzorów bryły, to trzy fakty o kwadracie:

pole podstawy: $P_p = a^2$ ,
przekątna podstawy: $a\sqrt{2}$ (z twierdzenia Pitagorasa: $a^2 + a^2 = 2a^2$ ),
obwód podstawy: $4a$ .

Podstawy graniastosłupa prawidłowego: trójkąt równoboczny, kwadrat i sześciokąt foremny z wzorami na pole podstawy i obwód — Podstawy graniastosłupów prawidłowych — w czworokątnym jest to kwadrat

Grupa A gratis · B–E w sklepie

Sprawdź, czy to już umieją: sprawdzian z kluczem z działu „Graniastosłupy i ostrosłupy” (klasa 8), gotowy do druku

Grupę A pobierzesz za darmo i sprawdzisz na niej, jak wygląda arkusz. Grupy B, C, D i E mają inne liczby w tych samych zadaniach, więc sąsiedzi w ławce nie przepiszą od siebie. Klucz z punktacją do każdej grupy.

Okładka: Graniastosłupy i ostrosłupy — cały dział, klasa 8 (6 pakietów)

Jeden arkuszgrupy B–E i klucze do wybranego testu3,90 zł NAJCZĘŚCIEJ WYBIERANECały dział „Graniastosłupy i ostrosłupy”6 arkuszy w jednym pliku11,90 zł~~23,40 zł~~−11,50 zł Cała klasa 8, na cały rok46 arkuszy, 1,52 zł za arkusz69,90 zł

Dodaj do koszyka · cały dział · 11,90 zł Pobierz darmową grupę A (PDF)

✓ PDF od razu po płatności BLIK✓ Bez zakładania konta✓ Faktura dla szkoły

3Pole powierzchni

pole	wzór	skąd
podstawy	$P_p = a^2$	kwadrat o boku $a$
boczne	$P_b = 4aH$	cztery prostokąty $a \times H$
całkowite	$P_c = 2P_p + P_b$	dwie podstawy i ściany boczne

Po podstawieniu: $P_c = 2a^2 + 4aH$ . Ogólne zasady liczenia pola graniastosłupa: pole powierzchni całkowitej graniastosłupa.

4Objętość

Wzór na objętość

$V = P_p \cdot H = a^2 \cdot H$

Jak każdy graniastosłup — pole podstawy razy wysokość, bez dzielenia przez $3$ . Więcej: objętość graniastosłupa.

5Przekątne podstawy, ściany i bryły

W tej bryle są trzy rodzaje przekątnych i to one najczęściej się mylą:

przekątna	długość	skąd
podstawy	$a\sqrt{2}$	przekątna kwadratu
ściany bocznej	$\sqrt{a^2 + H^2}$	przekątna prostokąta $a \times H$
bryły	$d = \sqrt{2a^2 + H^2}$	przekątna podstawy i wysokość

Przekątna bryły jest przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego, którego przyprostokątnymi są przekątna podstawy $a\sqrt{2}$ i wysokość $H$ — stąd twierdzenie Pitagorasa: $d^2 = (a\sqrt{2})^2 + H^2 = 2a^2 + H^2$ . Bryła ma $4$ przekątne, wszystkie tej samej długości, i przecinają się one w jej środku. Kąt nachylenia przekątnej bryły do podstawy spełnia $\operatorname{tg}\alpha = \dfrac{H}{a\sqrt{2}}$ .

6Przykłady krok po kroku

Przykład $1$ Pole i objętość

Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma $3$ cm, a wysokość $5$ cm. Oblicz pole całkowite i objętość.

Pole podstawy: $P_p = 3^2 = 9$ cm².
Pole boczne: $P_b = 4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ cm².
Pole całkowite: $P_c = 2 \cdot 9 + 60 = 78$ cm².
Objętość: $V = 9 \cdot 5 = 45$ cm³.

Odpowiedź: $P_c = 78$ cm², $V = 45$ cm³.

Przykład $2$ Przekątna bryły

Krawędź podstawy ma $4$ cm, wysokość $7$ cm. Oblicz długość przekątnej bryły.

Kwadrat przekątnej podstawy: $(4\sqrt{2})^2 = 32$ .
$d = \sqrt{32 + 7^2} = \sqrt{32 + 49} = \sqrt{81} = 9$ .

Odpowiedź: $d = 9$ cm.

Przykład $3$ Wysokość z przekątnej

Przekątna bryły ma $13$ cm, a krawędź podstawy $6$ cm. Oblicz wysokość graniastosłupa.

Kwadrat przekątnej podstawy: $2 \cdot 6^2 = 72$ .
$H^2 = 13^2 - 72 = 169 - 72 = 97$ , więc $H = \sqrt{97} \approx 9{,}85$ .

Odpowiedź: $H = \sqrt{97} \approx 9{,}85$ cm.

Przykład $4$ Wysokość z objętości

Objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi $72$ cm³, a krawędź podstawy $3$ cm. Oblicz wysokość.

Pole podstawy: $P_p = 3^2 = 9$ cm².
$H = \dfrac{V}{P_p} = \dfrac{72}{9} = 8$ .

Odpowiedź: $H = 8$ cm.

7Najczęstsze błędy

Przekątna bryły liczona z krawędzi zamiast z przekątnej podstawy.

Skąd się bierze: Wzór $\sqrt{a^2 + H^2}$ wygląda znajomo — to jednak przekątna ściany bocznej.

Jak zrobić dobrze: Przekątna bryły „stoi” na przekątnej podstawy $a\sqrt{2}$ : $d = \sqrt{2a^2 + H^2}$ .

Pole całkowite z jedną podstawą.

Skąd się bierze: Pudełko bez wieczka — w zadaniu o bryle zamkniętej to błąd.

Jak zrobić dobrze: Podstawy są dwie: $P_c = 2a^2 + 4aH$ .

Zamiana $a$ i $H$ w polu bocznym.

Skąd się bierze: W zadaniu „krawędź boczna” i „krawędź podstawy” brzmią podobnie.

Jak zrobić dobrze: Krawędź boczna to wysokość $H$ . Ściana boczna ma wymiary $a \times H$ , a ścian jest cztery.

Dzielenie objętości przez 3.

Skąd się bierze: Pomieszanie z ostrosłupem prawidłowym czworokątnym.

Jak zrobić dobrze: Graniastosłup: $V = a^2 \cdot H$ . Dzielenie przez $3$ jest tylko w ostrosłupie.

Sprawdź się na kartce

Wszystko na tej stronie zostaje darmowe. Gotowe kartkówki i sprawdziany PDF z kluczami: grupa A za darmo, pozostałe grupy w sklepie.

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Test z działu: elementy graniastosłupa, pole, objętość, jednostki.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy: objętość, pole powierzchni, przekątne.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

Płatny materiał · sklep

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

Sześcian i prostopadłościan: krawędzie, przekątne, pola i objętość.

3,90 zł (grupy B, C, D i E)

Grupa A za darmo, bez logowania →Zobacz w sklepie →

8Pytania i odpowiedzi

Co to jest graniastosłup prawidłowy czworokątny?

To graniastosłup prosty, którego podstawami są dwa przystające kwadraty. Cztery ściany boczne to prostokąty prostopadłe do podstaw — to prostopadłościan o kwadratowej podstawie.

Ile ścian, krawędzi i wierzchołków ma graniastosłup prawidłowy czworokątny?

Ma 6 ścian (2 kwadratowe podstawy i 4 prostokątne ściany boczne), 12 krawędzi i 8 wierzchołków.

Jaki jest wzór na objętość graniastosłupa prawidłowego czworokątnego?

V = a² · H, gdzie a to krawędź podstawy (bok kwadratu), a H wysokość bryły.

Jak obliczyć pole powierzchni graniastosłupa prawidłowego czworokątnego?

Pc = 2a² + 4aH: dwie kwadratowe podstawy mają razem 2a², a cztery prostokątne ściany boczne 4aH.

Jak obliczyć przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego?

Przekątna podstawy ma długość a√2, więc z twierdzenia Pitagorasa przekątna bryły to √(2a² + H²). Wszystkie cztery przekątne bryły są równe.

Czy sześcian jest graniastosłupem prawidłowym czworokątnym?

Tak. Sześcian to graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym wysokość jest równa krawędzi podstawy: H = a.

Czym różni się graniastosłup prawidłowy czworokątny od prostopadłościanu?

Każdy graniastosłup prawidłowy czworokątny jest prostopadłościanem, ale nie odwrotnie: w prostopadłościanie podstawą może być dowolny prostokąt, a tu podstawą musi być kwadrat.

Czytaj dalej

Graniastosłup prawidłowy trójkątnyPodstawa — trójkąt równoboczny, bryła bez przekątnych.Graniastosłup prawidłowy sześciokątnyPodstawa — sześć trójkątów, krótsza i dłuższa przekątna.Graniastosłup prawidłowyDefinicja i wzory dla wszystkich podstaw.Objętość graniastosłupaPole podstawy razy wysokość — dla każdej podstawy.

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki, autor „Nie każ mu liczyć”

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole — dziś w dwóch szkołach w Kaliszu. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Rozwiązania na tej stronie liczę sam, krok po kroku, i zapisuję dokładnie tak, jak tłumaczę je uczniowi na kartce.

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-25. Tekst redakcji „Nie każ mu liczyć”.

Graniastosłup prawidłowy czworokątny

1Budowa: ściany, krawędzie, wierzchołki

2Podstawa — kwadrat

3Pole powierzchni

4Objętość

5Przekątne podstawy, ściany i bryły

6Przykłady krok po kroku

7Najczęstsze błędy

Sprawdź się na kartce

Graniastosłupy — pole i objętość — test, klasa 7

Graniastosłupy — kartkówka, klasa 8

Graniastosłupy — sprawdzian, liceum klasa 3

8Pytania i odpowiedzi

Czytaj dalej

Kolorowy kod

Połącz te same kolory

Koncentracja
krok po kroku