Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2019

Zadanie z E8 (czerwiec 2019) – prostopadłościan i sześcian

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zbudowano bryłę I — prostokątny blok o wymiarach 3 × 2 × 1 klocki. Następnie z górnej warstwy tej bryły usunięto dwa klocki i otrzymano schodkową bryłę II, w której każdy z czterech pozostałych klocków przylega ścianą do następnego. Dokończ…

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 10 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

Z sześciu jednakowych sześciennych klocków o krawędzi 1 cm zbudowano bryłę I — prostokątny blok o wymiarach 3 × 2 × 1 klocki. Następnie z górnej warstwy tej bryły usunięto dwa klocki i otrzymano schodkową bryłę II, w której każdy z czterech pozostałych klocków przylega ścianą do następnego. Dokończ zdanie.
Pole powierzchni bryły II jest mniejsze od pola powierzchni bryły I o

A. $2$ cm²
B. $4$ cm²
C. $7$ cm²
D. $10$ cm²
E. $12$ cm²

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Najprościej liczyć ścianki jednostkowe: każdy klocek ma 6 ścianek, a każde sklejenie chowa dwie z nich.
Bryła I. $\textcolor{#16A06A}{6}$ klocków, czyli $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{6} = 36$ ścianek. Sklejeń jest $\textcolor{#16A06A}{7}$ (cztery w poziomie i trzy w pionie).
$P_I = 36 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{7} = \textcolor{#E0453A}{22}$ cm².
Bryła II. $\textcolor{#16A06A}{4}$ klocki, czyli $6 \cdot \textcolor{#16A06A}{4} = 24$ ścianki. Klocki tworzą łańcuszek, więc sklejeń jest $\textcolor{#16A06A}{3}$ .
$P_{II} = 24 - 2 \cdot \textcolor{#16A06A}{3} = \textcolor{#E0453A}{18}$ cm².
Różnica: $\textcolor{#E0453A}{22} - \textcolor{#E0453A}{18} = 4$ cm².
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Reguła, która załatwia wszystkie takie zadania: $P = 6 \cdot (\text{liczba klocków}) - 2 \cdot (\text{liczba sklejeń})$ . Wystarczy policzyć miejsca, w których klocki się stykają.

⚠ Najczęstszy błąd: założenie, że usunięcie klocka zawsze zmniejsza pole. Klocek zabiera swoje ścianki, ale odsłania ścianki sąsiadów — czasem pole zostaje bez zmian, a nawet rośnie.