Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2014) – graniastosłupy i ostrosłupy

Odpowiedź: Oba pola są równe i wynoszą $96\ \text{cm}^2$.

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — krawędź dużego sześcianu. $64 = 4^3$, więc sześcian ma $\textcolor{#16A06A}{4} \times \textcolor{#16A06A}{4} \times \textcolor{#16A06A}{4}$ kostki, czyli krawędź $\textcolor{#16A06A}{4}$ cm.
2. Krok $\boldsymbol{2}$ — pole dużego sześcianu.
3. $P = 6 \cdot \textcolor{#16A06A}{4}^2 = 6 \cdot \textcolor{#16A06A}{16} = 96$ cm².
4. Krok $\boldsymbol{3}$ — co zmienia usunięcie narożnika. Wycięta kostka stykała się z powierzchnią bryły trzema ściankami:
5. tracimy $\textcolor{#E0453A}{3}$ ścianki $1 \times 1$ z zewnątrz,
6. zyskujemy $\textcolor{#E0453A}{3}$ nowe ścianki $1 \times 1$ we wnęce.
7. Bilans wynosi zero — pole nie zmienia się ani o cm².
8. Krok $\boldsymbol{4}$ — wszystkie narożniki. Narożników jest $\textcolor{#16A06A}{8}$ i każdy zachowuje się tak samo, więc łączna zmiana to również zero.
9. Odpowiedź: pole powstałej bryły wynosi $\boldsymbol{96\ \text{cm}^2}$ — dokładnie tyle samo, co pole dużego sześcianu.

💡 Wskazówka: Ten sam bilans działa dla wnęki dowolnej wielkości — byle wycinany sześcian siedział w narożniku. Objętość maleje, ale pole zostaje.

⚠ Najczęstszy błąd: odjęcie od pola $8 \cdot 3 = 24$ cm² i podanie $72$ cm². Zapomina się wtedy o ściankach wnęki, które dochodzą do powierzchni bryły.