Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – graniastosłupy i ostrosłupy

Odpowiedź: krawędź podstawy $8\ \text{cm}$, krawędź boczna $\sqrt{41}\ \text{cm}$

1. Krok $\boldsymbol{1}$ — pole podstawy. Pole całkowite to podstawa plus pole boczne:
2. $\textcolor{#16A06A}{P_p} = 144 - 80 = \textcolor{#16A06A}{64}$ cm².
3. Krok $\boldsymbol{2}$ — krawędź podstawy. Podstawą jest kwadrat:
4. $\textcolor{#16A06A}{a} = \sqrt{\textcolor{#16A06A}{64}} = \textcolor{#16A06A}{8}$ cm.
5. Krok $\boldsymbol{3}$ — wysokość ściany bocznej. Pole boczne to cztery jednakowe trójkąty o podstawie $\textcolor{#16A06A}{8}$ i wysokości $\textcolor{#E0453A}{h}$:
6. $4 \cdot \tfrac12 \cdot \textcolor{#16A06A}{8} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = 80$, czyli $16\textcolor{#E0453A}{h} = 80$, więc $\textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{5}$ cm.
7. Krok $\boldsymbol{4}$ — krawędź boczna. Wysokość ściany dzieli ją na dwa trójkąty prostokątne o przyprostokątnych $\textcolor{#E0453A}{5}$ i $\textcolor{#16A06A}{8} : 2 = \textcolor{#16A06A}{4}$:
8. $\textcolor{#E0453A}{b} = \sqrt{\textcolor{#E0453A}{5}^2 + \textcolor{#16A06A}{4}^2} = \sqrt{25 + 16} = \sqrt{41}$ cm.
9. Odpowiedź: krawędź podstawy ma $\boldsymbol{8\ \text{cm}}$, a krawędź boczna $\sqrt{41}$ cm (czyli około $6{,}4$ cm).
10. Kontrola sensu: krawędź boczna musi być dłuższa od wysokości ściany bocznej ($\sqrt{41} > 5$) ✓

💡 Wskazówka: Zapisz sobie kolejność: pole całkowite → pole podstawy → krawędź podstawy → wysokość ściany bocznej → krawędź boczna. Każdy krok korzysta wyłącznie z poprzedniego.

⚠ Najczęstszy błąd: podzielenie pola bocznego przez $4$ i potraktowanie wyniku ($20$ cm²) jako pola prostokąta zamiast trójkąta — wychodzi wtedy $h = 2{,}5$ zamiast $5$. Ściany boczne ostrosłupa to trójkąty.