Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – pola figur

Z kwadratowego kartonika odcięto cztery narożniki i otrzymano ośmiokąt foremny o bokach długości 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 20 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Z kwadratowego kartonika odcięto cztery narożniki i otrzymano ośmiokąt foremny o bokach długości 4. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Kartonik był kwadratem o boku 12.	P	F
Suma pól odciętych naroży jest równa 16.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Odcięte narożniki to trójkąty prostokątne równoramienne, a ich przeciwprostokątne stały się bokami ośmiokąta, czyli mają po $\textcolor{#16A06A}{4}$ .
Przyprostokątna takiego trójkąta: $\textcolor{#E0453A}{x} = \dfrac{\textcolor{#16A06A}{4}}{\sqrt2} = 2\sqrt2 \approx 2{,}83$ .
Zdanie 1. Bok kwadratu składa się z boku ośmiokąta i dwóch przyprostokątnych: $\textcolor{#16A06A}{4} + 2 \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} = 4 + 4\sqrt2 \approx 9{,}66$ .
To nie jest $12$ — fałsz.
Zdanie 2. Pole jednego narożnika: $\tfrac12 \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2\sqrt2} = \tfrac12 \cdot 8 = 4$ .
Cztery narożniki: $4 \cdot 4 = 16$ ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Przy liczeniu pola trójkąta z $2\sqrt2$ nie trzeba przybliżeń: $(2\sqrt2)^2 = 4 \cdot 2 = 8$ . Pierwiastek znika przy podnoszeniu do kwadratu.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: założenie, że skoro ośmiokąt ma bok 4, to kwadrat ma bok $3 \cdot 4 = 12$ . Odcięte kawałki mają długość $2\sqrt2 \approx 2{,}83$ , a nie 4.