Egzamin ósmoklasisty · matematyka · kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (kwiecień 2013) – pola figur

Kąt ostry rombu ma miarę 45°, a wysokość rombu jest równa h. Dokończ zdanie. Pole tego rombu można wyrazić wzorem

1pkt · trudniejsze

Zadanie 19 (kwiecień 2013, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

Kąt ostry rombu ma miarę

45°

, a wysokość rombu jest równa

h

. Dokończ zdanie.
Pole tego rombu można wyrazić wzorem

A. $P = h^2$
B. $P = h^2\sqrt{2}$
C. $P = \dfrac{h^2\sqrt{2}}{2}$
D. $P = \dfrac{h^2\sqrt{3}}{4}$

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B

Oznaczmy bok rombu przez $\textcolor{#16A06A}{a}$ . Wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ wraz z bokiem tworzy trójkąt prostokątny o kątach $45°$ , $45°$ , $90°$ .
W takim trójkącie przeciwprostokątna jest $\sqrt2$ razy dłuższa od przyprostokątnej. Tutaj przeciwprostokątną jest bok $\textcolor{#16A06A}{a}$ , a przyprostokątną wysokość $\textcolor{#E0453A}{h}$ :
$\textcolor{#16A06A}{a} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2$ .
Pole rombu liczymy jak dla równoległoboku — podstawa razy wysokość:
$P = \textcolor{#16A06A}{a} \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = \textcolor{#E0453A}{h}\sqrt2 \cdot \textcolor{#E0453A}{h} = h^2\sqrt2$ .
Odpowiedź B.

💡 Wskazówka: Trójkąt $45°$ – $45°$ – $90°$ to połówka kwadratu: przeciwprostokątna $=$ przyprostokątna $\cdot \sqrt2$ . Zapamiętaj kierunek — przeciwprostokątna jest dłuższa.

⚠ Najczęstszy błąd: odwrócenie zależności i przyjęcie $a = \tfrac{h}{\sqrt2}$ — wychodzi wtedy odpowiedź C. Bok rombu musi być dłuższy od wysokości, a nie krótszy.