Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2017

Zadanie z E8 (grudzień 2017) – prostopadłościan i sześcian

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian przy narożniku: z pierwszej kostki mniejszy, z drugiej większy. Otrzymano bryłę I i bryłę II. Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II?

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 14 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Z każdej z dwóch jednakowych kostek sześciennych wycięto sześcian przy narożniku: z pierwszej kostki mniejszy, z drugiej większy. Otrzymano bryłę I i bryłę II. Czy całkowite pole powierzchni bryły I jest większe od całkowitego pola powierzchni bryły II?

A	Tak,	ponieważ	1.	z pierwszej kostki usunięto mniejszy sześcian niż z drugiej kostki.

			2.	całkowite pole powierzchni każdej z otrzymanych brył jest równe całkowitemu polu powierzchni początkowej kostki.
B	Nie,
			3.	pole powierzchni „wnęki” w II bryle jest większe niż pole powierzchni „wnęki” w I bryle.

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, 2

Przyjrzyjmy się, co dokładnie dzieje się z powierzchnią przy wycinaniu narożnika.
Wycięty sześcianik ma bok $\textcolor{#16A06A}{x}$ i styka się z narożnikiem trzema ścianami. Usuwając go:
tracimy trzy kwadraty $\textcolor{#16A06A}{x} \times \textcolor{#16A06A}{x}$ z zewnętrznych ścian kostki — razem $\textcolor{#E0453A}{3x^2}$ ,
zyskujemy trzy nowe kwadraty $\textcolor{#16A06A}{x} \times \textcolor{#16A06A}{x}$ na ściankach powstałej wnęki — też $\textcolor{#E0453A}{3x^2}$ .
Zysk i strata są identyczne, więc pole powierzchni w ogóle się nie zmienia — i to niezależnie od tego, jak duży sześcianik wycięliśmy.
Obie bryły mają zatem takie samo pole, równe polu wyjściowej kostki. Odpowiedź: B, 2.

💡 Wskazówka: Rozróżniaj objętość od pola powierzchni. Objętość przy wycinaniu zawsze maleje, ale pole potrafi zostać bez zmian (narożnik), zmaleć albo wzrosnąć.

⚠ Najczęstszy błąd: automatyczne „wycięliśmy więcej, więc pole mniejsze” (odpowiedź A, 1). Zmiana pola zależy od kształtu wycięcia, a nie od jego objętości.