Zadanie z E8 (grudzień 2017) – prostopadłościan i sześcian

Odpowiedź: F, P

1. Rozcięcie na 27 daje układ $3 \times 3 \times 3$. Małe sześciany dzielą się na cztery rodzaje: $\textcolor{#16A06A}{8}$ narożnych (3 ściany na zewnątrz), $\textcolor{#16A06A}{12}$ krawędziowych (2 ściany), $\textcolor{#16A06A}{6}$ środkowych na ścianach (1 ściana) i $\textcolor{#16A06A}{1}$ całkiem wewnętrzny (0 ścian).
2. Czerwona jest jedna ściana dużego sześcianu, czyli dziewięć małych kwadratów.
3. Zdanie 1 — dokładnie jedna ściana biała. Trzeba policzyć dwie grupy:
4. — środkowe sześciany pięciu białych ścian: $\textcolor{#E0453A}{5}$ sztuk (ten na ścianie czerwonej ma jedną ścianę, ale czerwoną),
5. — sześciany na środkach czterech krawędzi ściany czerwonej: mają po dwie ściany na zewnątrz — jedną czerwoną i jedną białą, czyli dokładnie jedną białą: $\textcolor{#E0453A}{4}$ sztuki.
6. Razem $\textcolor{#E0453A}{5} + \textcolor{#E0453A}{4} = 9$, a nie cztery — fałsz.
7. Zdanie 2 — trzy ściany białe. Trzy zewnętrzne ściany mają tylko narożniki. Cztery narożniki leżą na ścianie czerwonej (mają po jednej ścianie czerwonej), a pozostałe $\textcolor{#E0453A}{4}$ — na przeciwległym końcu bryły — mają wszystkie trzy ściany białe ✓ — prawda.
8. Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: W sześcianie $3 \times 3 \times 3$ zawsze jest 8 narożnych, 12 krawędziowych, 6 środkowych na ścianach i 1 ukryty w środku: $8+12+6+1 = 27$ ✓ Ta czwórka liczb wraca w każdym takim zadaniu.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: policzenie tylko sześcianów mających w ogóle jedną ścianę na zewnątrz. Sześcian ze ściany czerwonej i ściany białej też ma „dokładnie jedną białą” — trzeba go doliczyć.