Egzamin ósmoklasisty · matematyka · grudzień 2017

Zadanie z E8 (grudzień 2017) – obliczanie i przekształcanie wzorów

Wzór Picka: P = W + 1/2B - 1, gdzie W — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, B — liczba punktów kratowych na brzegu. Uzupełnij zdania.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 9 (grudzień 2017)1 pkttrudniejsze

Wzór Picka: $\;P = W + \dfrac{1}{2}B - 1$ , gdzie $W$ — liczba punktów kratowych wewnątrz wielokąta, $B$ — liczba punktów kratowych na brzegu.
Uzupełnij zdania.

Wielokąt, którego pole jest równe

15

, może mieć AB punktów kratowych leżących na brzegu.

A. $7$
B. $8$

Pole wielokąta, który ma dwukrotnie więcej punktów kratowych na brzegu niż wewnątrz, wyraża się liczbą CD.

C. parzystą
D. nieparzystą

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: B, D

Pierwsze zdanie. Podstawiamy $P = 15$ : $15 = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} - 1$ , czyli $\textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2}\textcolor{#E0453A}{B} = 16$ .
Kluczowa obserwacja: $\textcolor{#16A06A}{W}$ musi być liczbą całkowitą (to liczba punktów), więc $\dfrac12 \textcolor{#E0453A}{B}$ też musi być całkowite — a to znaczy, że $\textcolor{#E0453A}{B}$ jest parzyste.
Spośród podanych liczb parzysta jest tylko $\textcolor{#E0453A}{8}$ — odpowiedź B. (Wtedy $\textcolor{#16A06A}{W} = 16 - 4 = 12$ ✓)
Drugie zdanie. Warunek „dwa razy więcej na brzegu niż wewnątrz” zapisujemy jako $\textcolor{#E0453A}{B} = 2\textcolor{#16A06A}{W}$ .
Podstawiamy do wzoru: $P = \textcolor{#16A06A}{W} + \dfrac{1}{2} \cdot \textcolor{#E0453A}{2W} - 1 = \textcolor{#16A06A}{W} + \textcolor{#16A06A}{W} - 1 = 2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ .
Wyrażenie $2\textcolor{#16A06A}{W} - 1$ to zawsze liczba nieparzysta (parzysta minus jeden) — odpowiedź D. Razem: B, D.

💡 Wskazówka: Wzór Picka ma ukryte ograniczenie: skoro $W$ jest liczbą całkowitą, to $B$ musi być parzyste, jeśli pole ma być liczbą całkowitą (przy nieparzystym $B$ pole wychodzi „połówkowe”, np. 7,5). Warto to zapamiętać jako szybki filtr.

⚠ Najczęstszy błąd w drugim zdaniu: podstawienie konkretnych liczb (np. $W = 3$ , $B = 6$ ) i uznanie, że jeden przykład wystarczy. Trzeba pokazać ogólnie, że wynik ma postać $2W - 1$ .