Egzamin ósmoklasisty · matematyka · listopad 2012, egzamin gimnazjalny

Zadanie z egzaminu gimnazjalnego (listopad 2012) – kąty w figurach

W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| oraz |∠ ABC| = 30°, poprowadzono wysokość CD (na podstawę AB ) i dwusieczną kąta ABC, przecinającą bok AC w punkcie E. Wysokość i dwusieczna przecinają się w punkcie F. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku
1pkt · trudniejsze

Zadanie 23 (listopad 2012, egzamin gimnazjalny)1 pkttrudniejsze

W trójkącie równoramiennym ABCABC, w którym ∣AC∣=∣BC∣|AC| = |BC| oraz ∣∠ABC∣=30°|\angle ABC| = 30°, poprowadzono wysokość CDCD (na podstawę ABAB) i dwusieczną kąta ABCABC, przecinającą bok ACAC w punkcie EE. Wysokość i dwusieczna przecinają się w punkcie FF. Oceń prawdziwość podanych zdań.
Trójkąt równoramienny ABC z wysokością CD i dwusieczną kąta ABC30°ABCD
∣∠BEC∣=45°|\angle BEC| = 45°PF
∣EF∣=∣EC∣|EF| = |EC|PF
Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: P, F

  1. Najpierw wszystkie kąty trójkąta. Skoro AC=BCAC = BC, kąty przy podstawie są równe: ∠CAB=∠CBA=30°\angle CAB = \angle CBA = \textcolor{#16A06A}{30°}.
  2. Kąt przy wierzchołku: ∠ACB=180°−30°−30°=120°\angle ACB = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{30°} - \textcolor{#16A06A}{30°} = \textcolor{#16A06A}{120°}.
  3. Dwusieczna dzieli kąt przy BB na pół: ∠EBC=15°\angle EBC = \textcolor{#16A06A}{15°}.
  4. Zdanie 1 — trójkąt BECBEC. Znamy dwa kąty: ∠EBC=15°\angle EBC = \textcolor{#16A06A}{15°} i ∠BCE=∠BCA=120°\angle BCE = \angle BCA = \textcolor{#16A06A}{120°}.
  5. ∠BEC=180°−15°−120°=45°\angle BEC = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{15°} - \textcolor{#16A06A}{120°} = 45° ✓ — prawda.
  6. Zdanie 2 — trójkąt CEFCEF. Wysokość CDCD w trójkącie równoramiennym dzieli kąt przy wierzchołku na pół, więc ∠ECF=120°:2=60°\angle ECF = \textcolor{#16A06A}{120°} : 2 = \textcolor{#16A06A}{60°}.
  7. Kąt ∠CEF\angle CEF to ten sam co ∠BEC\angle BEC, czyli 45°\textcolor{#16A06A}{45°}. Trzeci kąt: ∠CFE=180°−60°−45°=75°\angle CFE = \textcolor{#E0453A}{180°} - \textcolor{#16A06A}{60°} - \textcolor{#16A06A}{45°} = \textcolor{#16A06A}{75°}.
  8. Aby zachodziło ∣EF∣=∣EC∣|EF| = |EC|, trójkąt musiałby być równoramienny o wierzchołku EE, czyli kąty naprzeciw tych boków (60°\textcolor{#16A06A}{60°} i 75°\textcolor{#16A06A}{75°}) musiałyby być równe. Nie są — fałsz.
  9. Odpowiedzi: P, F.

💡 Wskazówka: Reguła „równe boki leżą naprzeciw równych kątów” działa w obie strony — żeby sprawdzić równość odcinków, wystarczy porównać kąty naprzeciw nich.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 2: uznanie równości „na oko” z rysunku. Odcinki EFEF i ECEC wyglądają podobnie, ale rachunek na kątach (60°60° kontra 75°75°) rozstrzyga jednoznacznie.

Rozwiązanie zadania – egzamin gimnazjalny (listopad 2012) — kąty w figurach: W trójkącie równoramiennym ABC, w którym |AC| = |BC| oraz |∠ ABC| = 30°, poprowadzono wysokość CD…
Rozwiązanie w obrazku: treść, odpowiedź i obliczenia krok po kroku.

Sklep Nie każ mu liczyć!

Przygotuj się do E8: kąty w figurach i pełne arkusze

Karty pracy i arkusze z kluczem — do druku od razu po zakupie.

E8 z matematyki: geometria płaska, kl. 8 — 12 kart PDF z kluczemE8 z matematyki: geometria płaska, kl. 8 — 12 kart PDF z kluczem12 kart z tego zakresu, z kluczem7,90 zł · PDF do drukuEgzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 1Egzamin ósmoklasisty z matematyki — 5 arkuszy z rozwiązaniami, cz. 15 pełnych arkuszy E8 z rozwiązaniami24,90 zł · PDF do druku10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczem10 minut do egzaminu ósmoklasisty — matematyka: 30 dni, PDF z kluczemCodziennie 10 minut przez 30 dni14,90 zł · PDF do druku

Podobne zadania z E8

Mateusz Będkowski — nauczyciel matematyki, autor serwisu Nie każ mu liczyć

Mateusz Będkowski

nauczyciel matematyki i pedagog

Uczę matematyki od 13 lat, w tym 7 lat w szkole. Magister pedagogiki ze specjalnością terapia pedagogiczna, po studiach podyplomowych z matematyki. Wszystkie materiały na tej stronie przygotowuję sam. Poznaj moje podejście →

Ostatnia aktualizacja: 2026-10-15