Egzamin ósmoklasisty · matematyka · czerwiec 2019

Zadanie z E8 (czerwiec 2019) – obwody figur

W trójkącie ABC, w którym |AC| = |BC|, poprowadzono wysokość CD na podstawę AB. Obwód trójkąta ACD jest równy 24 cm, a obwód trójkąta ABC jest równy 36 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Zobacz rozwiązanie w obrazku

1pkt · trudniejsze

Zadanie 9 (czerwiec 2019)1 pkttrudniejsze

W trójkącie

ABC

, w którym

|AC| = |BC|

, poprowadzono wysokość

CD

na podstawę

AB

. Obwód trójkąta

ACD

jest równy 24 cm, a obwód trójkąta

ABC

jest równy 36 cm. Oceń prawdziwość podanych zdań.

Obwód trójkąta $BCD$ jest równy 18 cm.	P	F
Wysokość $CD$ ma długość 6 cm.	P	F

Zobacz rozwiązanie krok po kroku

Odpowiedź: F, P

Trójkąt jest równoramienny, więc wysokość $CD$ pada w środek podstawy — trójkąty $ACD$ i $BCD$ są przystające.
Zdanie 1. Skoro są przystające, mają identyczne obwody: $P_{BCD} = P_{ACD} = 24$ cm, a nie 18 cm — fałsz.
Zdanie 2. Oznaczmy: ramię $AC = BC = \textcolor{#16A06A}{b}$ , podstawa $AB = \textcolor{#16A06A}{a}$ , wysokość $CD = \textcolor{#E0453A}{h}$ .
Obwód całego trójkąta: $2\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#16A06A}{a} = 36$ .
Obwód $ACD$ (boki: ramię, wysokość, połowa podstawy): $\textcolor{#16A06A}{b} + \textcolor{#E0453A}{h} + \tfrac{\textcolor{#16A06A}{a}}{2} = 24$ .
Mnożymy drugie równanie przez 2: $2\textcolor{#16A06A}{b} + 2\textcolor{#E0453A}{h} + \textcolor{#16A06A}{a} = 48$ .
Odejmujemy od niego pierwsze: $2\textcolor{#E0453A}{h} = 48 - 36 = 12$ , czyli $\textcolor{#E0453A}{h} = 6$ cm ✓ — prawda.
Odpowiedzi: F, P.

💡 Wskazówka: Zauważ, że pierwsze zdanie da się rozstrzygnąć bez żadnych rachunków — wystarczy dostrzec przystawanie obu połówek. Warto zawsze szukać takich skrótów.

⚠ Najczęstszy błąd w zdaniu 1: przyjęcie, że skoro obwód całości to 36, a jednej połówki 24, to druga ma $36 - 24 = 12$ . Obwody połówek nie sumują się do obwodu całości — wysokość liczy się dwa razy.